Impedancia acústica

Para un sistema lineal e invariante en el tiempo , la relación entre la presión acústica aplicada al sistema y el caudal volumétrico acústico resultante a través de una superficie perpendicular a la dirección de dicha presión en su punto de aplicación viene dada por:

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

o equivalentemente por

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

dónde

• p es la presión acústica;
• Q es el caudal volumétrico acústico;
• ${\displaystyle *}$es el operador de convolución ;
• R es la resistencia acústica en el dominio del tiempo ;
• G = R ⁻¹ es la conductancia acústica en el dominio del tiempo ( R ⁻¹ es la inversa de la convolución de R ).

La impedancia acústica , denotada Z , es la transformada de Laplace , o la transformada de Fourier , o la representación analítica de la resistencia acústica en el dominio del tiempo : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es el operador de la transformada de Laplace;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el operador de transformada de Fourier;
• El subíndice "a" es el operador de representación analítica;
• Q ⁻¹ es la inversa de convolución de Q.

La resistencia acústica , denotada por R , y la reactancia acústica , denotada por X , son la parte real y la parte imaginaria de la impedancia acústica, respectivamente:

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

dónde

• i es la unidad imaginaria ;
• en Z ( s ), R ( s ) no es la transformada de Laplace de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), Z ( s ) sí lo es;
• en Z ( ω ), R ( ω ) no es la transformada de Fourier de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), Z ( ω ) sí lo es;
• En Z ( t ), R ( t ) es la resistencia acústica en el dominio del tiempo y X ( t ) es la transformada de Hilbert de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), según la definición de la representación analítica.

La reactancia acústica inductiva , denotada X _L , y la reactancia acústica capacitiva , denotada X _C , son la parte positiva y la parte negativa de la reactancia acústica, respectivamente:

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

La admitancia acústica , denotada por Y , es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la conductancia acústica en el dominio del tiempo : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• Z ⁻¹ es la inversa de convolución de Z ;
• p ⁻¹ es la inversa de convolución de p .

La conductancia acústica , denotada por G , y la susceptancia acústica , denotada por B , son la parte real y la parte imaginaria de la admitancia acústica, respectivamente:

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

dónde

• En Y ( s ), G ( s ) no es la transformada de Laplace de la conductancia acústica en el dominio del tiempo G ( t ), Y ( s ) sí lo es;
• En Y ( ω ), G ( ω ) no es la transformada de Fourier de la conductancia acústica en el dominio del tiempo G ( t ), Y ( ω ) sí lo es;
• En Y ( t ), G ( t ) es la conductancia acústica en el dominio del tiempo y B ( t ) es la transformada de Hilbert de la conductancia acústica en el dominio del tiempo G ( t ), según la definición de la representación analítica.

La resistencia acústica representa la transferencia de energía de una onda acústica . La presión y el movimiento están en fase, por lo que se realiza trabajo sobre el medio que se encuentra delante de la onda. La reactancia acústica representa la presión que está desfasada con respecto al movimiento y no produce una transferencia de energía promedio. Por ejemplo, una bombilla cerrada conectada a un tubo de órgano tendrá aire entrando y presión, pero están desfasadas, por lo que no se transmite energía neta. Mientras la presión aumenta, el aire entra, y mientras disminuye, sale, pero la presión promedio cuando el aire entra es la misma que cuando sale, por lo que la potencia fluye de un lado a otro, pero sin una transferencia de energía promedio en el tiempo. Otra analogía eléctrica es un condensador conectado a una línea eléctrica: la corriente fluye a través del condensador, pero está desfasada con respecto al voltaje, por lo que no se transmite potencia neta .

Para un sistema lineal invariante en el tiempo , la relación entre la presión acústica aplicada al sistema y la velocidad de partícula resultante en la dirección de dicha presión en su punto de aplicación viene dada por

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

o equivalentemente por:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

dónde

• p es la presión acústica;
• v es la velocidad de la partícula;
• r es la resistencia acústica específica en el dominio del tiempo ;
• g = r ⁻¹ es la conductancia acústica específica en el dominio del tiempo ( r ⁻¹ es el inverso de convolución de r ).

La impedancia acústica específica , denotada por z, es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la resistencia acústica específica en el dominio del tiempo : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

donde v ⁻¹ es la inversa de convolución de v .

La resistencia acústica específica , denotada por r , y la reactancia acústica específica , denotada por x , son la parte real y la parte imaginaria de la impedancia acústica específica, respectivamente:

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

dónde

• en z ( s ), r ( s ) no es la transformada de Laplace de la resistencia acústica específica en el dominio del tiempo r ( t ), z ( s ) sí lo es;
• en z ( ω ), r ( ω ) no es la transformada de Fourier de la resistencia acústica específica en el dominio del tiempo r ( t ), z ( ω ) sí lo es;
• En z ( t ), r ( t ) es la resistencia acústica específica del dominio del tiempo y x ( t ) es la transformada de Hilbert de la resistencia acústica específica del dominio del tiempo r ( t ), según la definición de la representación analítica.

La reactancia acústica inductiva específica , denotada por x _L , y la reactancia acústica capacitiva específica , denotada por x _C , son la parte positiva y la parte negativa de la reactancia acústica específica, respectivamente:

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

La admitancia acústica específica , denotada por y , es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la conductancia acústica específica en el dominio del tiempo : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• z ⁻¹ es la inversa de convolución de z ;
• p ⁻¹ es la inversa de convolución de p .

La conductancia acústica específica , denotada por g , y la susceptancia acústica específica , denotada por b , son la parte real y la parte imaginaria de la admitancia acústica específica, respectivamente:

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

dónde

• en y ( s ), g ( s ) no es la transformada de Laplace de la conductancia acústica en el dominio del tiempo g ( t ), y ( s ) sí lo es;
• en y ( ω ), g ( ω ) no es la transformada de Fourier de la conductancia acústica en el dominio del tiempo g ( t ), y ( ω ) sí lo es;
• en y ( t ), g ( t ) es la conductancia acústica en el dominio del tiempo y b ( t ) es la transformada de Hilbert de la conductancia acústica en el dominio del tiempo g ( t ), según la definición de la representación analítica.

La impedancia acústica específica z es una propiedad intensiva de un medio particular (por ejemplo, se puede especificar la z del aire o del agua); por otro lado, la impedancia acústica Z es una propiedad extensiva de un medio y una geometría particulares (por ejemplo, se puede especificar la Z de un conducto particular lleno de aire).

El ohmio acústico es una unidad de medida de la impedancia acústica. La unidad del SI para la presión es el pascal y para el caudal es el metro cúbico por segundo, por lo que el ohmio acústico es igual a 1  Pa·s/ ^m³ .

El ohmio acústico puede aplicarse al flujo de fluidos fuera del ámbito de la acústica. Para tales aplicaciones, se puede utilizar un ohmio hidráulico con una definición idéntica. La medición del ohmio hidráulico se define como la relación entre la presión hidráulica y el caudal volumétrico hidráulico.

Para una onda unidimensional que pasa a través de una abertura con área A , el caudal volumétrico acústico Q es el volumen de medio que pasa por segundo a través de la abertura; si el flujo acústico se mueve una distancia d x = v d t , entonces el volumen de medio que pasa a través es d V = A d x , por lo tanto:

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

Si la onda es unidimensional, produce

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

La ley constitutiva de la acústica lineal no dispersiva en una dimensión da una relación entre tensión y deformación: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

dónde

• p es la presión acústica en el medio;
• ρ es la densidad de masa volumétrica del medio;
• c es la velocidad de las ondas sonoras que viajan en el medio;
• δ es el desplazamiento de la partícula ;
• x es la variable espacial a lo largo de la dirección de propagación de las ondas sonoras.

Esta ecuación es válida tanto para fluidos como para sólidos.

• fluidos , ρc ² = K ( K representa el módulo de compresibilidad );
• sólidos , ρc ² = K + 4/3 G ( G representa el módulo de corte ) para ondas longitudinales y ρc ² = G para ondas transversales .

La segunda ley de Newton aplicada localmente en el medio da como resultado: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Al combinar esta ecuación con la anterior, se obtiene la ecuación de onda unidimensional :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

Las ondas planas

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

que son soluciones de esta ecuación de onda están compuestas por la suma de dos ondas planas progresivas que viajan a lo largo del eje x con la misma velocidad y en direcciones opuestas :

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

de la cual se puede derivar

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Para ondas planas progresivas :

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

o

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Finalmente, la impedancia acústica específica z es

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$

El valor absoluto de esta impedancia acústica específica se denomina a menudo impedancia acústica específica característica y se denota z ₀ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Las ecuaciones también muestran que

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

La temperatura influye en la velocidad del sonido y la densidad de masa y, por lo tanto, en la impedancia acústica específica.

Para una onda unidimensional que pasa a través de una abertura con área A , Z = z / A , por lo que si la onda es una onda plana progresiva , entonces:

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

El valor absoluto de esta impedancia acústica se denomina a menudo impedancia acústica característica y se denota Z ₀ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

y la impedancia acústica específica característica es

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Si la abertura de área A es el inicio de un tubo y se envía una onda plana al interior del mismo, la onda que pasa a través de la abertura es una onda plana progresiva en ausencia de reflexiones, y las reflexiones habituales del otro extremo del tubo, ya sea abierto o cerrado, son la suma de las ondas que viajan de un extremo al otro. ^{[ 3 ]} (Es posible que no haya reflexiones cuando el tubo es muy largo, debido al largo tiempo que tardan las ondas reflejadas en regresar y a su atenuación por pérdidas en la pared del tubo. ^{[ 3 ]} ) Dichas reflexiones y las ondas estacionarias resultantes son muy importantes en el diseño y funcionamiento de los instrumentos musicales de viento. ^{[ 4 ]}