Extensión simple

En teoría de cuerpos , una extensión simple es una extensión de cuerpo generada por la adición de un único elemento, denominado elemento primitivo . Las extensiones simples se comprenden bien y pueden clasificarse completamente.

El teorema del elemento primitivo establece que toda extensión separable finita es una extensión simple. Para un cuerpo de característica 0, como los racionales, esto significa que todas las extensiones finitas son simples.

Una extensión de campo L / K se llama extensión simple si existe un elemento θ en L con

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Esto significa que cada elemento de L puede expresarse como una fracción racional en θ , con coeficientes en K ; es decir, se produce a partir de θ y elementos de K mediante las operaciones de campo +, −, •, /. De forma equivalente, L es el cuerpo más pequeño que contiene tanto a K como a θ .

Existen dos tipos diferentes de extensiones simples (véase la sección  Estructura de las extensiones simples más adelante):

1. El elemento θ puede ser trascendental sobre K , lo que significa que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes en K. En este caso${\displaystyle K(\theta )}$es isomorfo al campo de las funciones racionales${\displaystyle K(X).}$
2. De lo contrario, θ es algebraico sobre K ; es decir, θ es una raíz de un polinomio sobre K. El polinomio mónico${\displaystyle p(X)}$de grado mínimo n , con θ como raíz, se llama polinomio mínimo de θ . Su grado es igual al grado de la extensión del campo , es decir, la dimensión de L vista como un espacio vectorial K. En este caso, cada elemento de${\displaystyle K(\theta )}$puede expresarse de forma única como un polinomio en θ de grado menor que n , y${\displaystyle K(\theta )}$es isomorfo al anillo cociente${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

En ambos casos, el elemento θ se denomina elemento generador o elemento primitivo para la extensión; también se dice que L es generado sobre K por θ .

Por ejemplo, todo cuerpo finito es una extensión simple del cuerpo primo de la misma característica . Más precisamente, si p es un número primo y${\displaystyle q=p^{n},}$el campo${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$de q elementos es una simple extensión del grado n de${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$De hecho, L se genera como un campo por cualquier elemento θ que sea raíz de un polinomio irreducible de grado n en${\displaystyle K[X]}$.

Sin embargo, en el caso de campos finitos, el término elemento primitivo se suele reservar para una noción más fuerte, un elemento γ que genera${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$como un grupo multiplicativo , de modo que cada elemento no nulo de L es una potencia de γ , es decir, se produce a partir de γ utilizando únicamente la operación de grupo • . Para distinguir estos significados, se utiliza el término «generador» o elemento primitivo de campo para el significado más débil, reservando «elemento primitivo» o elemento primitivo de grupo para el significado más fuerte. ^{[ 1 ]} (Véase Campo finito §  Estructura multiplicativa y Elemento primitivo (campo finito) ).

Sea L una extensión simple de K generada por θ . Para el anillo de polinomios K [ X ], una de sus propiedades principales es el homomorfismo de anillos único.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Pueden darse dos casos:

1. Si${\displaystyle \varphi }$es inyectivo , puede extenderse inyectivamente al campo de fracciones K ( X ) de K [ X ]. Dado que L es generado por θ , esto implica que${\displaystyle \varphi }$es un isomorfismo de K ( X ) sobre L . Esto implica que cada elemento de L es igual a una fracción irreducible de polinomios en θ , y que dos de dichas fracciones irreducibles son iguales si y solo si una puede pasar de una a la otra multiplicando el numerador y el denominador por el mismo elemento no nulo de K .
2. Si${\displaystyle \varphi }$no es inyectivo, sea p ( X ) un generador de su núcleo , que es por lo tanto el polinomio mínimo de θ . La imagen de${\displaystyle \varphi }$es un subanillo de L y, por lo tanto, un dominio de integridad . Esto implica que p es un polinomio irreducible y, por lo tanto, que el anillo cociente${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$es un campo. Como L es generado por θ ,${\displaystyle \varphi }$es sobreyectiva y${\displaystyle \varphi }$induce un isomorfismo de${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$sobre L. Esto implica que cada elemento de L es igual a un polinomio único en θ de grado menor que el grado${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$. Es decir, tenemos una base K de L dada por${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$.

• C / R generado por${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$.
• Q (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) / Q generado por${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$.
• Cualquier cuerpo numérico (es decir, una extensión finita de Q ) es una extensión simple Q ( θ ) para algún θ . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$es generado por${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$.
• F ( X ) / F, un campo de funciones racionales, es generado por la variable formal X .

• Matriz complementaria para el mapa de multiplicación en una extensión de campo simple

• Roman, Steven (1995). Teoría de campos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  158. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001 .