Monomio

En matemáticas , un monomio es, en términos generales, un polinomio que tiene un solo término . Se pueden encontrar dos definiciones de monomio:

1. Un monomio, también llamado producto de potencias o monomio primitivo , ^{[ 1 ]} es un producto de potencias de variables con exponentes enteros no negativos , o, en otras palabras, un producto de variables, posiblemente con repeticiones. ^{[ 2 ]} Por ejemplo,${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$es un monomio. La constante${\displaystyle 1}$es un monomio primitivo, siendo igual al producto vacío y a${\displaystyle x^{0}}$cualquier variable${\displaystyle x}$. Si solo hay una variable${\displaystyle x}$se considera, esto significa que un monomio es o${\displaystyle 1}$o un poder${\displaystyle x^{n}}$de${\displaystyle x}$, con${\displaystyle n}$un número entero positivo. Si se consideran varias variables, por ejemplo,${\displaystyle x,y,z,}$entonces a cada uno se le puede dar un exponente de modo que cualquier monomio sea de la forma${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$con${\displaystyle a,b,c}$enteros no negativos (teniendo en cuenta que cualquier exponente${\displaystyle 0}$hace que el factor correspondiente sea igual a${\displaystyle 1}$).
2. Un monomio en el primer sentido se multiplica por una constante distinta de cero, llamada coeficiente del monomio. ^{[ 1 ]} Un monomio primitivo es un caso especial de un monomio en este segundo sentido, donde el coeficiente es${\displaystyle 1}$. Por ejemplo, en esta interpretación,${\displaystyle -7x^{5}}$y${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$son monomios (en el segundo ejemplo, las variables son${\displaystyle x,y,z,}$y el coeficiente es un número complejo ).

En el contexto de los polinomios de Laurent y las series de Laurent , los exponentes de un monomio pueden ser negativos, y en el contexto de las series de Puiseux , los exponentes pueden ser números racionales .

En análisis matemático , es común considerar polinomios escritos en términos de una variable desplazada.${\displaystyle {\bar {x}}=xc}$por alguna constante${\displaystyle c}$en lugar de una variable${\displaystyle x}$solo, como en el estudio de las series de Taylor . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Mediante un ligero abuso de notación , monomios de variables desplazadas, por ejemplo${\displaystyle 2{\bar {x}}^{3}=2(xc)^{3},}$pueden denominarse monomios en el sentido de monomios desplazados o monomios centrados , donde${\displaystyle c}$es el centro o${\displaystyle -c}$es el cambio .

Dado que la palabra «monomio», al igual que la palabra «polinomio», proviene del latín tardío «binomium» (binomial), al cambiar el prefijo «bi-» (dos en latín), un monomio debería, en teoría, llamarse «mononomio». «Monomial» es una síncopa por haplología de «mononomio». ^{[ 5 ]}

Con cualquiera de las dos definiciones, el conjunto de monomios es un subconjunto de todos los polinomios que es cerrado bajo la multiplicación.

Ambos usos de esta noción pueden encontrarse, y en muchos casos la distinción simplemente se ignora; véanse, por ejemplo, los ejemplos del primer ^{[ 6 ]} y segundo ^{[ 7 ]} significado. En discusiones informales, la distinción rara vez es importante, y la tendencia es hacia el segundo significado, más amplio. Sin embargo, al estudiar la estructura de los polinomios, a menudo se necesita una noción con el primer significado. Este es el caso, por ejemplo, al considerar una base monomial de un anillo de polinomios , o un ordenamiento monomial de esa base. Un argumento a favor del primer significado es que no hay otra noción obvia disponible para designar estos valores, aunque el monomio primitivo está en uso y deja clara la ausencia de constantes. ^{[ 1 ]}

El resto de este artículo parte del primer significado de "monomio".

El hecho más obvio acerca de los monomios (primer significado) es que cualquier polinomio es una combinación lineal de ellos ^{[ 8 ] [ 9 ]} , por lo que forman una base del espacio vectorial de todos los polinomios, llamada base monomial , un hecho de uso implícito constante en matemáticas. ^{[ 10 ]}

El número de monomios de grado${\displaystyle d}$en${\displaystyle n}$variables es el número de multicombinaciones de${\displaystyle d}$elementos elegidos entre los${\displaystyle n}$variables (una variable puede elegirse más de una vez, pero el orden no importa), que viene dado por el coeficiente del multiconjunto${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$. Esta expresión también puede darse en forma de coeficiente binomial , como una expresión polinómica en${\displaystyle d}$o utilizando una potencia factorial creciente de${\displaystyle d+1}$:

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Estas últimas formas son particularmente útiles cuando se fija el número de variables y se deja variar el grado. De estas expresiones se observa que, para un n fijo , el número de monomios de grado d es una expresión polinómica en${\displaystyle d}$de grado${\displaystyle n-1}$con coeficiente principal${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$.

Por ejemplo, el número de monomios en tres variables (${\displaystyle n=3}$) de grado d es${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$; estos números forman la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, ... de números triangulares .

La serie de Hilbert es una forma compacta de expresar el número de monomios de un grado dado: el número de monomios de grado${\displaystyle d}$en${\displaystyle n}$Las variables son el coeficiente de grado${\displaystyle d}$de la expansión formal en serie de potencias de

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

El número de monomios de grado como máximo d en n variables es${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$Esto se deduce de la correspondencia uno a uno entre los monomios de grado${\displaystyle d}$en${\displaystyle n+1}$variables y los monomios de grado como máximo${\displaystyle d}$en${\displaystyle n}$variables, que consiste en sustituir por 1 la variable extra.

La notación de índice múltiple suele ser útil para tener una notación compacta, especialmente cuando hay más de dos o tres variables. Si las variables que se utilizan forman una familia indexada como${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$uno puede establecer

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

y

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

Entonces el monomio

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

Con esta notación, el producto de dos monomios se expresa simplemente mediante la suma de vectores exponenciales:

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

El grado de un monomio se define como la suma de todos los exponentes de las variables, incluyendo los exponentes implícitos de 1 para las variables que aparecen sin exponente; por ejemplo, en el ejemplo de la sección anterior, el grado es${\displaystyle a+b+c}$. El grado de${\displaystyle xyz^{2}}$es 1+1+2=4. El grado de una constante distinta de cero es 0. Por ejemplo, el grado de −7 es 0.

El grado de un monomio a veces se denomina orden, principalmente en el contexto de series. También se le llama grado total cuando es necesario distinguirlo del grado de una de las variables.

El grado monomial es fundamental para la teoría de polinomios univariados y multivariados. Explícitamente, se utiliza para definir el grado de un polinomio y la noción de polinomio homogéneo , así como para los ordenamientos monomiales graduados que se utilizan en la formulación y el cálculo de bases de Gröbner . Implícitamente, se utiliza para agrupar los términos de una serie de Taylor en varias variables .

En geometría algebraica, las variedades definidas por ecuaciones monomiales${\displaystyle x^{\alpha }=0}$Para algún conjunto de α, existen propiedades especiales de homogeneidad. Esto puede expresarse en el lenguaje de los grupos algebraicos , en términos de la existencia de una acción de grupo de un toro algebraico (o, equivalentemente, de un grupo multiplicativo de matrices diagonales ). Esta área se estudia bajo el nombre de incrustaciones de toro .

• Representación monomial
• Matriz monomial
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• Forma multilineal
• Gráfico logarítmico-logarítmico
• Ley de potencia
• Polinomio disperso