Hiperfunción

En matemáticas , las hiperfunciones son generalizaciones de funciones, como un "salto" de una función holomorfa a otra en un límite, y pueden considerarse informalmente como distribuciones de orden infinito. Las hiperfunciones fueron introducidas por Mikio Sato en 1958 en japonés ( 1959 , 1960 en inglés), basándose en trabajos previos de Laurent Schwartz , Grothendieck y otros.

Una hiperfunción en la recta real puede concebirse como la "diferencia" entre una función holomorfa definida en el semiplano superior y otra en el semiplano inferior. Es decir, una hiperfunción se especifica mediante un par ( f , g ), donde f es una función holomorfa en el semiplano superior y g es una función holomorfa en el semiplano inferior. 

De manera informal, la hiperfunción es la diferencia que existiría en la recta real. Esta diferencia no se ve afectada al sumar la misma función holomorfa a f y g , por lo que si h es una función holomorfa en todo el plano complejo , las hiperfunciones ( f , g ) y ( f + h , g + h ) se definen como equivalentes.${\displaystyle fg}$      

• Si f es cualquier función holomorfa en todo el plano complejo, entonces la restricción de f al eje real es una hiperfunción, representada por ( f ,  0) o (0,  − f ).
• La función escalón de Heaviside se puede representar como donde es el valor principal del logaritmo complejo de z .$${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).}$$${\displaystyle \log(z)}$
• La función delta de Dirac se representa mediante Esto es, en realidad, una reformulación de la fórmula integral de Cauchy . Para verificarlo, se puede calcular la integral de f justo debajo de la recta real y restar la integral de g justo encima de la recta real, ambas de izquierda a derecha. Nótese que la hiperfunción puede ser no trivial, incluso si los componentes son una continuación analítica de la misma función. Esto también se puede comprobar fácilmente derivando la función de Heaviside.$${\displaystyle \left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).}$$
• Si g es una función continua (o más generalmente una distribución ) en la recta real con soporte contenido en un intervalo acotado I , entonces g corresponde a la hiperfunción ( f ,  − f ), donde f es una función holomorfa en el complemento de I definida por Esta función f salta en valor en g ( x ) cuando cruza el eje real en el punto x . La fórmula para f se deduce del ejemplo anterior escribiendo g como la convolución de sí misma con la función delta de Dirac.$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.}$$
• Utilizando una partición de la unidad, se puede escribir cualquier función continua (distribución) como una suma localmente finita de funciones (distribuciones) con soporte compacto. Esto se puede aprovechar para extender la incrustación anterior a una incrustación.${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$
• Si f es una función holomorfa en todas partes excepto en una singularidad esencial en 0 (por ejemplo, e¹ ^{/ z} ), entonces es una hiperfunción con soporte 0 que no es una distribución. Si f tiene un polo de orden finito en 0, entonces es una distribución; por lo tanto, cuando f tiene una singularidad esencial, se comporta como una "distribución de orden infinito" en 0. (Cabe destacar que las distribuciones siempre tienen orden finito en cualquier punto).${\displaystyle (f,-f)}$${\displaystyle (f,-f)}$${\displaystyle (f,-f)}$

Sea cualquier subconjunto abierto.${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$

• Por definición, es un espacio vectorial tal que la suma y la multiplicación con números complejos están bien definidas. Explícitamente:${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$$${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})}$$
• Los mapas de restricción obvios se convierten en un haz (que de hecho es flácido ).${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
• La multiplicación con funciones analíticas reales y la diferenciación están bien definidas: con estas definiciones se convierte en un D-módulo y la incrustación es un morfismo de D-módulos.${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Un punto se denomina punto holomorfo de si se restringe a una función analítica real en algún entorno pequeño de Si son dos puntos holomorfos, entonces la integración está bien definida: donde son curvas arbitrarias con Las integrales son independientes de la elección de estas curvas porque el semiplano superior e inferior están simplemente conectados .${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle a\leqslant b}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz}$$${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$
• Sea el espacio de hiperfunciones con soporte compacto. Mediante la forma bilineal se asocia a cada hiperfunción con soporte compacto una función lineal continua en Esto induce una identificación del espacio dual , con Un caso especial que vale la pena considerar es el caso de funciones continuas o distribuciones con soporte compacto: Si se considera (o ) como un subconjunto de mediante la inmersión anterior, entonces esto calcula exactamente la integral de Lebesgue tradicional. Además: Si es una distribución con soporte compacto, es una función analítica real, y entonces Por lo tanto, esta noción de integración da un significado preciso a expresiones formales como que no están definidas en el sentido usual. Además: Debido a que las funciones analíticas reales son densas en es un subespacio de . Esta es una descripción alternativa de la misma inmersión .${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)}$$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U).}$${\displaystyle C_{\text{c}}^{0}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Si es una aplicación analítica real entre conjuntos abiertos de , entonces la composición con es un operador bien definido de a :${\displaystyle \Phi :U\to V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$$${\displaystyle f\circ \Phi$$ :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}

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