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Roger Cotes

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Roger Cotes (10 de julio de 1682 - 5 de junio de 1716) fue un matemático inglés , conocido por su estrecha colaboración con Isaac Newton , revisando la segunda edición de su famoso libro, los Principia , antes de su publicación. También ideó las fórmulas de cuadratura conocidas como fórmulas de Newton-Cotes , que se originaron a partir de la investigación de Newton, [ 4 ] y formuló un argumento geométrico que puede interpretarse como una versión logarítmica de la fórmula de Euler . [ 5 ] Fue el primer profesor Plumiano de la Universidad de Cambridge desde 1707 hasta su muerte.

Primeros años de vida

Cotes nació en Burbage, Leicestershire . Sus padres fueron Robert, el rector de Burbage, y su esposa, Grace, de soltera Farmer. Roger tenía un hermano mayor, Anthony (nacido en 1681), y una hermana menor, Susanna (nacida en 1683), quienes fallecieron jóvenes. Al principio, Roger asistió a la Leicester School, donde se reconoció su talento matemático. Su tía Hannah se había casado con el reverendo John Smith, quien asumió el rol de tutor para fomentar el talento de Roger. El hijo de los Smith, Robert Smith , se convirtió en un estrecho colaborador de Roger Cotes durante toda su vida. Posteriormente, Cotes estudió en la St Paul's School de Londres e ingresó en el Trinity College de Cambridge en 1699. [ 6 ] Se graduó como licenciado en 1702 y como máster en 1706. [ 2 ]

Astronomía

Las contribuciones de Roger Cotes a los métodos computacionales modernos se centran principalmente en los campos de la astronomía y las matemáticas. Cotes inició su trayectoria académica con especialización en astronomía . En 1707, ingresó en el Trinity College y, a los 26 años, se convirtió en el primer profesor Plumiano de Astronomía y Filosofía Experimental. Tras su nombramiento como profesor, abrió una lista de suscripción con el fin de financiar un observatorio para el Trinity College. Lamentablemente, el observatorio aún no estaba terminado cuando Cotes falleció y fue demolido en 1797. [ 2 ]

En correspondencia con Isaac Newton, Cotes diseñó un telescopio heliostato con un espejo que giraba mediante un mecanismo de relojería. [ 7 ] [ 8 ] Recalculó las tablas solares y planetarias de Giovanni Domenico Cassini y John Flamsteed , y tenía la intención de crear tablas del movimiento de la luna , basadas en principios newtonianos. Finalmente, en 1707 fundó una escuela de ciencias físicas en Trinity en colaboración con William Whiston . [ 2 ]

Los Principia

Entre 1709 y 1713, Cotes se involucró profundamente en la segunda edición de los Principia de Newton , un libro que explicaba la teoría de la gravitación universal de Newton . La primera edición de los Principia tuvo solo unas pocas copias impresas y necesitaba una revisión para incluir las obras y los principios de la teoría lunar y planetaria de Newton. [ 2 ] Al principio, Newton se tomó la revisión con ligereza, ya que prácticamente había abandonado el trabajo científico. Sin embargo, gracias a la vigorosa pasión mostrada por Cotes, el afán científico de Newton se reavivó. Los dos dedicaron casi tres años y medio a colaborar en la obra, en la que dedujeron completamente, a partir de las leyes del movimiento de Newton , la teoría de la Luna , los equinoccios y las órbitas de los cometas . Solo se imprimieron 750 copias de la segunda edición [ 2 ] , aunque también se distribuyeron copias piratas de Ámsterdam para satisfacer la demanda. Como recompensa, Cotes recibió una parte de las ganancias y 12 copias propias. La contribución original de Cotes a la obra fue un prefacio que defendía la superioridad científica de los principios de Newton sobre la entonces popular teoría de la gravedad basada en vórtices, defendida por René Descartes . Cotes concluyó que la ley de gravitación de Newton se confirmaba mediante la observación de fenómenos celestes que eran incompatibles con la teoría de vórtices. [ 2 ]

Matemáticas

La obra original más importante de Cotes fue en matemáticas, especialmente en los campos del cálculo integral , los logaritmos y el análisis numérico . Publicó solo un artículo científico en vida, titulado Logometria , en el que construye con éxito la espiral logarítmica . [ 9 ] [ 10 ] Después de su muerte, muchos de los artículos matemáticos de Cotes fueron editados por su primo Robert Smith y publicados en un libro, Harmonia mensurarum . [ 2 ] [ 11 ] Los trabajos adicionales de Cotes fueron publicados más tarde en The Doctrine and Application of Fluxions de Thomas Simpson . [ 9 ] Aunque el estilo de Cotes era algo oscuro, su enfoque sistemático de la integración y la teoría matemática fue muy apreciado por sus colegas. Cotes descubrió un teorema importante sobre las raíces n -ésimas de la unidad , [ 12 ] previó el método de mínimos cuadrados , [ 13 ] y descubrió un método para integrar fracciones racionales con denominadores binomiales . [ 9 ] [ 14 ] También fue elogiado por sus esfuerzos en métodos numéricos, especialmente en métodos de interpolación y sus técnicas de construcción de tablas. [ 9 ] Fue considerado uno de los pocos matemáticos británicos capaces de continuar el poderoso trabajo de Sir Isaac Newton.

Muerte y evaluación

Cotes murió de una fiebre violenta en Cambridge en 1716 a la temprana edad de 33 años. Isaac Newton comentó: «Si hubiera vivido, habríamos sabido algo». [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gowing 2002, pág. 5.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meli (2004)
  3. ↑ Rusnock (2004) " Jurin, James (bautizado en 1684, fallecido en 1750) ", Oxford Dictionary of National Biography , Oxford University Press, consultado el 6 de septiembre de 2007 (se requiere suscripción, acceso a la biblioteca de Wikipedia o ser miembro de una biblioteca pública del Reino Unido ).
  4. ↑ Iliffe, Rob; Smith, George E. , eds. (2016). The Cambridge Companion to Newton (2.ª  ed.). Cambridge University Press . p.  411. doi : 10.1017/cco9781139058568 . ISBN 978-1-139-05856-8.
  5. ^ Cotes escribió: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumando radio CE pro Modulo, arcus erit rationis intermiincógnita+incógnitado−1{\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}& CE mensura ducta en−1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}." (Así, si cualquier arco de un cuadrante de un círculo, descrito por el radio CE , tiene seno CX y seno del complemento al cuadrante XE ; tomando el radio CE como módulo, el arco será la medida de la razón entremiincógnita+incógnitado−1{\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}y CE multiplicado por−1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}.) Es decir, consideremos un círculo con centro E (en el origen del plano (x, y)) y radio CE . Consideremos un ángulo θ con vértice en E , que tiene el eje x positivo como un lado y un radio CE como el otro. La perpendicular desde el punto C del círculo al eje x es el "seno" CX ; la línea entre el centro del círculo E y el punto X en la base de la perpendicular es XE , que es el "seno del complemento al cuadrante" o "coseno". La razón entremiincógnita+incógnitado−1{\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}y CE es, por lo tanto,porque⁡θ+−1pecado⁡θ {\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }En la terminología de Cotes, la "medida" de una cantidad es su logaritmo natural, y el "módulo" es un factor de conversión que transforma una medida de ángulo en longitud de arco circular (aquí, el módulo es el radio ( CE ) del círculo). Según Cotes, el producto del módulo y la medida (logaritmo) de la razón, cuando se multiplica por−1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}, es igual a la longitud del arco circular subtendido por θ , que para cualquier ángulo medido en radianes es CE • θ . Por lo tanto,−1domiln⁡(porque⁡θ+−1pecado⁡θ) =(domi)θ{\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }. Esta ecuación tiene el signo incorrecto: el factor de−1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}debe estar en el lado derecho de la ecuación, no en el izquierdo. Si se realiza este cambio, entonces, después de dividir ambos lados por CE y elevar ambos lados a la potencia, el resultado es: porque⁡θ+−1pecado⁡θ=mi−1θ{\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}, que es la fórmula de Euler. Véase:
    • Roger Cotes (1714) «Logometria», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338)  : 5-45; véase especialmente la página 32. Disponible en línea en: HathiTrust
    • Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum ... (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Logometria", p. 28 .
  6. ↑ "Cotes, Roger (CTS699R)" . Base de datos de antiguos alumnos de Cambridge . Universidad de Cambridge.
  7. ↑ Edleston, J., ed. (1850) Correspondencia de Sir Isaac Newton y el profesor Cotes, … (Londres, Inglaterra: John W. Parker), "Carta XCVIII. Cotes a John Smith." (10 de febrero de 1708), págs. 197–200.
  8. ↑ Kaw, Autar (1 de enero de 2003). "cotes - Una anécdota histórica" . mathforcollege.com . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
  9. 1 2 3 4 O'Connor y Robertson (2005)
  10. ↑ En Logometria , Cotes evaluó e, la base de los logaritmos naturales , con 12 decimales. Véase: Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338) : 5-45; véase especialmente la parte inferior de la página 10. De la página 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Además, la misma razón existe entre 2,718281828459… y 1, … )
  11. ↑ Harmonia mensurarum contiene un capítulo de comentarios sobre la obra de Cotes, escrito por Robert Smith. En la página 95, Smith dapor primera vez el valor de 1 radián . Véase: Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, parte superior de la página 95. De la página 95: Después de afirmar que 180° corresponden a una longitud de π (3,14159…) a lo largo de un círculo unitario (es decir, π radianes), Smith escribe: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 &c." (De donde aparecerá el factor de conversión de la medida trigonométrica, 57,2957795130… [grados por radián]).
  12. ^ Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum ... (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per metodum mensurarum ulterius extensam" (Teoremas, algunos logorítmicos, otros trigonométricos, que producen los flujos de fluxiones dadas mediante el método de medidas desarrollado más adelante), páginas 113-114.
  13. ↑ Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum ... (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Aestimatio errorum in mixta mathesis per variations partium trianguli plani et sphaerici" Harmonia mensurarum..., páginas 1-22, véase especialmente la página 22. De la página 22: "Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus,... ejus loco tutissime haberi potest." (Sea p la ubicación de un objeto definida por observación, y q, r, s, las ubicaciones del mismo objeto en observaciones posteriores. Sean también pesos P, Q, R, S recíprocamente proporcionales a los desplazamientos que puedan surgir de los errores en las observaciones individuales, y que se obtienen a partir de los límites de error establecidos; y supongamos que los pesos P, Q, R, S están ubicados en p, q, r, s, y se halla su centro de gravedad Z: afirmo que el punto Z es la ubicación más probable del objeto, y puede considerarse con mayor seguridad su ubicación real. [Ronald Gowing, 1983, p. 107])
  14. ↑ Cotes presentó su método en una carta a William Jones, fechada el 5 de mayo de 1716. Un extracto de la carta que analiza el método se publicó en: [Anon.] (1722), Reseña de libro: "An account of a book, intitled, Harmonia Mensurarum , … ," Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 32  : 139-150 ; véanse las páginas 146-148.

Fuentes

  • [Anónimo] "Cotes, Roger" . Encyclopædia Britannica . Vol. 7 (11.ª ed.). 1911.   
  • Cohen, IB (1971). Introducción a los "Principia" de Newton . Harvard: Harvard University Press. ISBN 0-674-46193-2.
  • Edleston, J., ed. (1850). Correspondencia de Sir Isaac Newton y el profesor Cotes .a través de Internet Archive
  • Gowing, R. (2002). Roger Cotes: Filósofo natural . Londres: Cambridge University Press. ISBN 0-521-52649-3.
  • Koyré, A. (1965). Estudios newtonianos . Londres: Chapman & Hall. págs. 273–282 . ISBN  0-412-42300-6.
  • Price, DJ (1952). "Los primeros instrumentos del observatorio del Trinity College, Cambridge". Annals of Science . 8 : 1–12 . doi : 10.1080/00033795200200012 .
  • Turnbull, HW; et  al. (1975–1976). La correspondencia de Isaac Newton (ed. 7 vols  .). Londres: Cambridge University Press. vols. 5–6.
  • Whitman, A., ed. (1972). Isaac Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica: The Third Edition (1726) with Variant Readings . Londres: Cambridge University Press. pp. 817–26 . ISBN  0-521-07960-8.