Capacidad cuántica

En la teoría de la comunicación cuántica , la capacidad cuántica es la tasa máxima a la que se puede comunicar información cuántica a través de múltiples usos independientes de un canal cuántico ruidoso , desde un emisor a un receptor. También es igual a la tasa máxima a la que se puede generar entrelazamiento a través del canal, y la comunicación clásica directa no puede mejorarla. El teorema de la capacidad cuántica es importante para la teoría de la corrección de errores cuánticos y, en general, para la teoría de la computación cuántica . El teorema que proporciona una cota inferior para la capacidad cuántica de cualquier canal se conoce coloquialmente como el teorema de Lloyd-Shor-Devetak (LSD), en honor a los autores Seth Lloyd , ^{[ 1 ]} Peter Shor , ^{[ 2 ]} e Igor Devetak, ^{[ 3 ]} quienes lo demostraron con estándares de rigor cada vez mayores. ^{[ 4 ]}

El teorema LSD establece que la información coherente de un canal cuántico es una tasa alcanzable para una comunicación cuántica fiable. Para un canal de Pauli , la información coherente tiene una forma simple y la demostración de su alcanzabilidad es particularmente sencilla. Demostramos el teorema para este caso particular utilizando códigos estabilizadores aleatorios y corrigiendo únicamente los errores probables que produce el canal.

Teorema (límite de hash). Existe un código de corrección de errores cuánticos estabilizador que alcanza el límite de hash.${\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}$para un canal Pauli de la siguiente forma:$${\displaystyle \rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}$$dónde${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}$y${\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}$es la entropía de este vector de probabilidad.

Demostración . Consideremos corregir únicamente los errores típicos. Es decir, consideremos definir el conjunto típico de errores de la siguiente manera:$${\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}$$dónde${\displaystyle a^{n}}$es alguna secuencia que consta de las letras${\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}$y${\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}$es la probabilidad de que un canal de Pauli IID emita algún error de producto tensorial${\ Displaystyle E_ {a ^ {n}} \ equiv E_ {a_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes E_ {a_ {n}}}$. Este conjunto típico consta de los errores probables en el sentido de que$${\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$$a pesar de${\displaystyle \epsilon >0}$y suficientemente grande${\displaystyle n}$. Las condiciones de corrección de errores ^{[ 5 ]} para un código estabilizador${\displaystyle {\mathcal {S}}}$en este caso son que${\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}$es un conjunto de errores corregibles si

$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},}$$para todos los pares de errores${\displaystyle E_{a^{n}}}$y${\displaystyle E_{b^{n}}}$de tal manera que${\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}$dónde${\displaystyle N({\mathcal {S}})}$es el normalizador de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Además, consideramos la esperanza de la probabilidad de error bajo una elección aleatoria de un código estabilizador.

Proceda de la siguiente manera:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}$$La primera igualdad se deduce por definición:${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es una función indicadora igual a uno si${\displaystyle E_{a^{n}}}$es incorregible según${\displaystyle {\mathcal {S}}}$y cero en caso contrario. La primera desigualdad se deduce, ya que corregimos solo los errores típicos porque el conjunto de errores atípicos tiene una masa de probabilidad insignificante. La segunda igualdad se deduce intercambiando la esperanza y la suma. La tercera igualdad se deduce porque la esperanza de una función indicadora es la probabilidad de que ocurra el evento que selecciona.

Continuando, tenemos:$${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}$$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}$

La primera igualdad se deduce de las condiciones de corrección de errores para un código estabilizador cuántico, donde${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$es el normalizador de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$La primera desigualdad se deduce ignorando cualquier posible degeneración en el código; consideramos que un error es incorregible si reside en el normalizador.${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$y la probabilidad solo puede ser mayor porque${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}$La segunda igualdad se deduce al darse cuenta de que las probabilidades para el criterio de existencia y la unión de eventos son equivalentes. La segunda desigualdad se deduce al aplicar la cota de unión. La tercera desigualdad se deduce del hecho de que la probabilidad para un operador fijo${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}$que no es igual a la identidad que conmuta con los operadores estabilizadores de un estabilizador aleatorio puede ser acotado superiormente de la siguiente manera: ${\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.}$ El razonamiento aquí es que la elección aleatoria de un código estabilizador es equivalente a la fijación de operadores.${\displaystyle Z_{1}}$, ...,${\displaystyle Z_{n-k}}$y realizando una operación unitaria de Clifford uniformemente aleatoria. La probabilidad de que un operador fijo conmute con ${\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}$, ...,${\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}}$es entonces simplemente el número de operadores no identidad en el normalizador (${\displaystyle 2^{n+k}-1}$) dividido por el número total de operadores distintos de la identidad (${\displaystyle 2^{2n}-1}$). Después de aplicar el límite anterior, aprovechamos los siguientes límites de tipicidad: $${\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}$$$${\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}$$ Concluimos que siempre que la tasa${\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }$, la expectativa de la probabilidad de error se vuelve arbitrariamente pequeña, de modo que existe al menos una opción de un código estabilizador con el mismo límite en la probabilidad de error.

El límite de hash también se utiliza como referencia para la construcción de códigos de corrección de errores cuánticos explícitos. En 2025, Daiki Komoto y Kenta Kasai informaron sobre códigos CSS de verificación de paridad de baja densidad para el canal despolarizador, cuyo rendimiento de decodificación numérica se aproximó al límite de hash utilizando un decodificador suma-producto con un coste computacional lineal en el número de cúbits físicos. ^{[ 6 ]}

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