Función convexa propia

En el análisis matemático , en particular en los subcampos del análisis convexo y la optimización , una función convexa propia es una función convexa extendida de valores reales con un dominio no vacío , que nunca toma el valor${\displaystyle -\infty }$y tampoco es idénticamente igual a${\displaystyle +\infty .}$

En el análisis convexo y el análisis variacional , un punto (en el dominio) en el cual alguna función dada${\displaystyle f}$se minimiza lo que normalmente se busca, donde${\displaystyle f}$se valora en la recta numérica real extendida${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$^{[ 1 ]} Dicho punto, si existe, se denominapunto mínimo globalde la función y su valor en este punto se denominamínimo global(valor) de la función. Si la función toma${\displaystyle -\infty }$como valor entonces${\displaystyle -\infty }$es necesariamente el valor mínimo global y el problema de minimización puede ser resuelto; esta es, en última instancia, la razón por la cual la definición de " propio " requiere que la función nunca tome${\displaystyle -\infty }$como un valor. Suponiendo esto, si el dominio de la función está vacío o si la función es idénticamente igual a${\displaystyle +\infty }$Entonces, el problema de minimización vuelve a tener una respuesta inmediata. Las funciones reales extendidas para las cuales el problema de minimización no se resuelve con ninguno de estos tres casos triviales son precisamente las que se denominan funciones propias . Muchos resultados (aunque no todos) cuyas hipótesis requieren que la función sea propia añaden este requisito específicamente para excluir estos casos triviales.

Si el problema es en cambio un problema de maximización (lo cual estaría claramente indicado, por ejemplo, si la función es cóncava en lugar de convexa), entonces la definición de " propia " se define de manera análoga (aunque técnicamente diferente) pero con el mismo objetivo: excluir los casos en los que el problema de maximización se puede resolver inmediatamente. Específicamente, una función cóncava${\displaystyle g}$se llama propio si su negación${\displaystyle -g,}$que es una función convexa, es propia en el sentido definido anteriormente.

Supongamos que${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es una función que toma valores en la recta numérica real extendida${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ Si${\displaystyle f}$es una función convexa o si un punto mínimo de${\displaystyle f}$Se está buscando, entonces${\displaystyle f}$se llama apropiado si

${\displaystyle f(x)>-\infty }$    por cada${\displaystyle x\in X}$

y si también existe algún punto${\displaystyle x_{0}\in X}$de tal manera que

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

Es decir, una función es propia si nunca alcanza el valor${\displaystyle -\infty }$y su dominio efectivo no es vacío. ^{[ 2 ]} Esto significa que existe algún${\displaystyle x\in X}$en el cual${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle f}$tampoco es nunca igual a${\displaystyle -\infty .}$Las funciones convexas que no son propias se denominan funciones convexas impropias . ^{[ 3 ]}

Una función cóncava propia es, por definición, cualquier función${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$de tal manera que${\displaystyle f:=-g}$es una función convexa propia. Explícitamente, si${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$es una función cóncava o si un punto máximo de${\displaystyle g}$Se está buscando, entonces${\displaystyle g}$Se denomina propio si su dominio no está vacío, nunca toma el valor${\displaystyle +\infty ,}$y no es idénticamente igual a${\displaystyle -\infty .}$

Para cada función convexa propia${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$existen algunos${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot br}$

por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

La suma de dos funciones convexas propias es convexa, pero no necesariamente propia. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, si los conjuntos${\displaystyle A\subset X}$y${\displaystyle B\subset X}$son conjuntos convexos no vacíos en el espacio vectorial${\displaystyle X,}$luego las funciones características${\displaystyle I_{A}}$y${\displaystyle I_{B}}$son funciones convexas propias, pero si${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$entonces${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$es idénticamente igual a${\displaystyle +\infty .}$

La convolución ínfima de dos funciones convexas propias es convexa, pero no necesariamente propiamente convexa. ^{[ 5 ]}

• Dominio efectivo

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313OCLC 883392544​​