Dominio efectivo

En el análisis convexo , una rama de las matemáticas, el dominio efectivo se extiende más allá del dominio de una función definida para funciones que toman valores en la recta real extendida.${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$

En el análisis convexo y el análisis variacional , se suele buscar un punto en el que se minimice una función real extendida dada , donde dicho punto se denomina punto de mínimo global . El dominio efectivo de esta función se define como el conjunto de todos los puntos en el dominio de esta función en los que su valor no es igual a${\displaystyle +\infty .}$^{[ 1 ]} Se define de esta manera porque solo estos puntos tienen una remota posibilidad de ser un punto mínimo global. De hecho, es práctica común en estos campos establecer una función igual a${\displaystyle +\infty }$en un punto específicamente para excluir ese punto incluso de ser considerado como una solución potencial (al problema de minimización). ^{[ 1 ]} Puntos en los que la función toma el valor${\displaystyle -\infty }$(si los hay) pertenecen al dominio efectivo porque tales puntos se consideran soluciones aceptables al problema de minimización, ^{[ 1 ]} con el razonamiento de que si tal punto no fuera aceptable como solución, entonces la función ya se habría establecido en${\displaystyle +\infty }$en ese momento en cambio.

Cuando un punto mínimo (en${\displaystyle X}$) de una función${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$se puede encontrar pero${\displaystyle f}$dominio${\displaystyle X}$es un subconjunto propio de algún espacio vectorial${\displaystyle V,}$entonces a menudo es técnicamente útil extender${\displaystyle f}$a todos${\displaystyle V}$al establecer${\displaystyle f(x):=+\infty }$en cada${\displaystyle x\in V\setminus X.}$^{[ 1 ]} Por definición, ningún punto de${\displaystyle V\setminus X}$pertenece al dominio efectivo de${\displaystyle f,}$lo cual es coherente con el deseo de encontrar un punto mínimo de la función original.${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$en lugar de la extensión recientemente definida a todo${\displaystyle V.}$

Si el problema es en cambio un problema de maximización (lo cual estaría claramente indicado), entonces el dominio efectivo consiste en todos los puntos en el dominio de la función en los que no es igual a${\displaystyle -\infty .}$

Suponer${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es un mapa valorado en la recta numérica real extendida${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$cuyo dominio, que se denota por${\displaystyle \operatorname {dominio} f,}$es${\displaystyle X}$(dónde${\displaystyle X}$se asumirá que es un subconjunto de algún espacio vectorial siempre que esta suposición sea necesaria). Entonces el dominio efectivo de${\displaystyle f}$se denota por${\displaystyle \operatorname {dom} f}$y normalmente se define como el conjunto ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$$ a menos que${\displaystyle f}$es una función cóncava o el máximo (en lugar del mínimo) de${\displaystyle f}$se está buscando, en cuyo caso el dominio efectivo de${\displaystyle f}$es en cambio el conjunto ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)>-\infty \}.}$$

En el análisis convexo y el análisis variacional ,${\displaystyle \operatorname {dom} f}$Por lo general se asume que${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$a menos que se indique claramente lo contrario.

Dejar${\displaystyle \pi _{X}:X\times \mathbb {R} \to X}$denotamos la proyección canónica sobre${\displaystyle X,}$que se define por${\displaystyle (x,r)\mapsto x.}$ El dominio efectivo de${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es igual a la imagen de${\displaystyle f}$epígrafe​${\displaystyle \operatorname {epi} f}$bajo la proyección canónica${\displaystyle \pi _{X}.}$Eso es

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\pi _{X}\left(\operatorname {epi} f\right)=\left\{x\in X~:~{\text{ existe }}y\in \mathbb {R} {\text{ tal que }}(x,y)\in \operatorname {epi} f\right\}.}$^{[ 4 ]}

Para un problema de maximización (como si el${\displaystyle f}$es cóncavo en lugar de convexo), el dominio efectivo es en cambio igual a la imagen bajo${\displaystyle \pi _{X}}$de${\displaystyle f}$hipógrafo de .

Si una función nunca toma el valor${\displaystyle +\infty ,}$Por ejemplo, si la función es de valor real , entonces su dominio y su dominio efectivo son iguales.

Una función${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es una función convexa propia si y solo si${\displaystyle f}$es convexo, el dominio efectivo de${\displaystyle f}$no es vacío, y${\displaystyle f(x)>-\infty }$por cada${\displaystyle x\in X.}$^{[ 4 ]}

• Función convexa propia : concepto en análisis convexo. 
• Epígrafe (matemáticas) – Región situada encima de un gráfico 
• Hipógrafo (matemáticas) – Región debajo de un gráfico 

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313OCLC 883392544​​