Análisis variacional

En matemáticas , el análisis variacional es la combinación y extensión de métodos de optimización convexa y el cálculo de variaciones clásico a una teoría más general. ^{[ 1 ]} Esto incluye los problemas más generales de la teoría de la optimización , incluidos temas en el análisis de conjuntos , por ejemplo, derivadas generalizadas .

En el esquema de clasificación de materias de matemáticas (MSC2010), el campo de "Análisis variacional y de conjuntos" está codificado como "49J53". ^{[ 2 ]}

Aunque esta área de las matemáticas tiene una larga historia, el primer uso del término "análisis variacional" en este sentido se dio en un libro homónimo de R. Tyrrell Rockafellar y Roger JB Wets . ^{[ 1 ]}

Un resultado clásico es que una función semicontinua inferior en un conjunto compacto alcanza su mínimo. Resultados del análisis variacional, como el principio variacional de Ekeland, permiten extender este resultado a funciones semicontinuas inferiores en conjuntos no compactos, siempre que la función tenga una cota inferior y a costa de añadir una pequeña perturbación a la función. Una variante suave se conoce como el principio variacional de Borwein-Press. ^{[ 3 ]}

El teorema clásico de Fermat establece que si una función diferenciable alcanza su mínimo en un punto, y ese punto es un punto interior de su dominio, entonces su derivada debe ser cero en ese punto. Para problemas donde se debe minimizar una función suave sujeta a restricciones que pueden expresarse como que otras funciones suaves sean iguales a cero, el método de los multiplicadores de Lagrange , otro resultado clásico, proporciona condiciones necesarias en términos de las derivadas de la función.

Las ideas de estos resultados clásicos pueden extenderse a funciones convexas no diferenciables generalizando la noción de derivada a la de subderivada . Una mayor generalización de la noción de derivada, como el gradiente generalizado de Clarke, permite extender los resultados a funciones localmente Lipschitz no suaves. ^{[ 4 ]}

• Análisis convexo : matemáticas de funciones y conjuntos convexos. 
• Análisis funcional – Área de las matemáticas 
• Geometría proyectiva orientada
• Mejoramiento

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313OCLC 883392544​​ https://doi.org/10.1007/978-3-642-02431-3
• Ekeland, Ivar; Te ́ mam, Roger; Análisis convexo y problemas variacionales 1999 SIAM https://doi.org/10.1137/1.9781611971088
• Borwein, Jonathan M.; Zhu, Qiji J.; Técnicas de análisis variacional 2005 Springer https://doi.org/10.1007/0-387-28271-8

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