Hipersuperficie

En geometría , una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano , curva plana y superficie . Una hipersuperficie es una variedad o una variedad algebraica de dimensión $n - 1$ , que está incrustada en un espacio ambiente de dimensión $n$ , generalmente un espacio euclidiano , un espacio afín o un espacio proyectivo . ^{[ 1 ]} Las hipersuperficies comparten, con las superficies en un espacio tridimensional , la propiedad de estar definidas por una única ecuación implícita , al menos localmente (cerca de cada punto), y a veces globalmente.

Una hipersuperficie en un espacio (euclidiano, afín o proyectivo) de dimensión dos es una curva plana. En un espacio de dimensión tres, es una superficie.

Por ejemplo, la ecuación

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

define una hipersuperficie algebraica de dimensión $n - 1$ en el espacio euclidiano de dimensión $n$ . Esta hipersuperficie es también una variedad diferenciable y se denomina hiperesfera o $(n - 1)$ -esfera .

hipersuperficie lisa

Una hipersuperficie que es una variedad diferenciable se denomina hipersuperficie diferenciable .

En $R n$ , una hipersuperficie suave es orientable . ^{[ 2 ]} Toda hipersuperficie suave compacta conexa es un conjunto de nivel y separa R ⁿ en dos componentes conexas; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer . ^[³^]

Hipersuperficie algebraica afín

Una hipersuperficie algebraica es una variedad algebraica que puede definirse mediante una única ecuación implícita de la forma

p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,

donde $p$ es un polinomio multivariado . Generalmente, se supone que el polinomio es irreducible . Cuando esto no es así, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino solo un conjunto algebraico . Puede depender de los autores o del contexto si un polinomio reducible define una hipersuperficie. Para evitar ambigüedades, se suele utilizar el término hipersuperficie irreducible .

En cuanto a las variedades algebraicas, los coeficientes del polinomio definitorio pueden pertenecer a cualquier cuerpo fijo $k$ , y los puntos de la hipersuperficie son los ceros de $p$ en el espacio afín. $K^{n},$ donde $K$ es una extensión algebraicamente cerrada de $k$ .

Una hipersuperficie puede tener singularidades , que son los ceros comunes, si los hay, del polinomio que la define y sus derivadas parciales. En particular, una hipersuperficie algebraica real no es necesariamente una variedad.

Propiedades

Las hipersuperficies poseen algunas propiedades específicas que no comparten con otras variedades algebraicas.

Una de las principales propiedades de este tipo es el Nullstellensatz de Hilbert , que afirma que una hipersuperficie contiene un conjunto algebraico dado si y solo si el polinomio que define la hipersuperficie tiene una potencia que pertenece al ideal generado por los polinomios que definen el conjunto algebraico.

Una consecuencia de este teorema es que, si dos polinomios irreducibles (o, más generalmente, dos polinomios libres de cuadrados ) definen la misma hipersuperficie, entonces uno es el producto del otro por una constante distinta de cero.

Las hipersuperficies son precisamente las subvariedades de dimensión $n - 1$ de un espacio afín de dimensión $n$ . Esta es la interpretación geométrica del hecho de que, en un anillo de polinomios sobre un cuerpo, la altura de un ideal es 1 si y solo si el ideal es un ideal principal . En el caso de hipersuperficies posiblemente reducibles, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: las hipersuperficies son precisamente los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreducibles tienen dimensión $n - 1$ .

Puntos reales y racionales

Una hipersuperficie real es una hipersuperficie definida por un polinomio con coeficientes reales . En este caso, el campo algebraicamente cerrado sobre el cual se definen los puntos es generalmente el campo $\mathbb {C}$ de números complejos . Los puntos reales de una hipersuperficie real son los puntos que pertenecen a $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ El conjunto de los puntos reales de una hipersuperficie real constituye la parte real de dicha hipersuperficie. A menudo, el contexto deja a su criterio si el término hipersuperficie se refiere a todos los puntos o únicamente a la parte real.

Si los coeficientes del polinomio definitorio pertenecen a un cuerpo $k$ que no es algebraicamente cerrado (típicamente el cuerpo de los números racionales , un cuerpo finito o un cuerpo numérico ), se dice que la hipersuperficie está definida sobre $k$ , y los puntos que pertenecen a $k^{n}$ son racionales sobre $k$ (en el caso del campo de los números racionales, generalmente se omite "sobre $k$ ").

Por ejemplo, la $n$ -esfera imaginaria definida por la ecuación

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

es una hipersuperficie real sin ningún punto real, que está definida sobre los números racionales. No tiene ningún punto racional, pero tiene muchos puntos que son racionales sobre los racionales gaussianos .

Hipersuperficie algebraica proyectiva

Una hipersuperficie proyectiva (algebraica) de dimensión $n - 1$ en un espacio proyectivo de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ se define mediante un polinomio homogéneo. $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ en $n + 1$ indeterminadas. Como es habitual, polinomio homogéneo significa que todos los monomios de $P$ tienen el mismo grado, o, equivalentemente, que $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ para cada constante $c$ , donde $d$ es el grado del polinomio. Los puntos de la hipersuperficie son los puntos del espacio proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de $P.$

Si se elige el hiperplano de ecuación $x_{0}=0$ como hiperplano en el infinito , el complemento de este hiperplano es un espacio afín , y los puntos de la hipersuperficie proyectiva que pertenecen a este espacio afín forman una hipersuperficie afín de ecuación $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ Por el contrario, dada una hipersuperficie afín de ecuación $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ define una hipersuperficie proyectiva, llamada su completación proyectiva , cuya ecuación se obtiene homogeneizando $p$ . Es decir, la ecuación de la completación proyectiva es $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ con

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

donde $d$ es el grado de $P.$

Estos dos procesos —completación proyectiva y restricción a un subespacio afín— son inversos entre sí. Por lo tanto, una hipersuperficie afín y su completación proyectiva poseen esencialmente las mismas propiedades y, a menudo, se consideran dos puntos de vista para la misma hipersuperficie.

Sin embargo, puede ocurrir que una hipersuperficie afín sea no singular , mientras que su completación proyectiva tenga puntos singulares. En este caso, se dice que la superficie afín es singular en el infinito . Por ejemplo, el cilindro circular de ecuación

x^{2}+y^{2}-1=0

en el espacio afín de dimensión tres tiene un único punto singular, que se encuentra en el infinito, en la dirección $x = 0, y = 0$ .

Véase también

Referencias

↑ Lee, Jeffrey (2009). «Curvas e hipersuperficies en el espacio euclidiano» . Variedades y geometría diferencial . Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188 . ISBN 978-0-8218-4815-9.
↑ Hans Samelson (1969) "Orientabilidad de hipersuperficies en R ⁿ ", Actas de la Sociedad Matemática Americana 22(1): 301,2
↑ Lima, Elon L. (1988). "El teorema de separación de Jordan-Brouwer para hipersuperficies suaves". The American Mathematical Monthly . 95 (1): 39– 42. doi : 10.1080/00029890.1988.11971963 .

"Hipersuperficie" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1969), Fundamentos de geometría diferencial, vol. II, Wiley Interscience
PA Simionescu y D. Beal (2004) Visualización de hipersuperficies y funciones multivariables (objetivas) mediante globalización parcial , The Visual Computer 20(10):665 – 81.

[1] Lee, Jeffrey (2009). «Curvas e hipersuperficies en el espacio euclidiano» . Variedades y geometría diferencial . Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188 . ISBN 978-0-8218-4815-9.

[2] Hans Samelson (1969) "Orientabilidad de hipersuperficies en R ⁿ ", Actas de la Sociedad Matemática Americana 22(1): 301,2

[Lima-3] Lima, Elon L. (1988). "El teorema de separación de Jordan-Brouwer para hipersuperficies suaves". The American Mathematical Monthly . 95 (1): 39– 42. doi : 10.1080/00029890.1988.11971963 .

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