Escalamiento multidimensional

También se conoce como Análisis de Coordenadas Principales (PCoA), Escalamiento de Torgerson o Escalamiento de Torgerson-Gower. Toma una matriz de entrada que da las disimilitudes entre pares de elementos y produce una matriz de coordenadas cuya configuración minimiza una función de pérdida llamada deformación , ^{[ 2 ]} que viene dada por donde denotan vectores en el espacio N -dimensional, denota el producto escalar entre y , y son los elementos de la matriz definida en el paso 2 del siguiente algoritmo, que se calculan a partir de las distancias.$${\displaystyle {\text{Deformación}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Biggl (}{\frac {\sum _{i,j}{\bigl (}b_{ij}-x_{i}^{T}x_{j}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i,j}b_{ij}^{2}}}{\Biggr )}^{1/2},}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{T}x_{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle b_{ij}}$${\displaystyle B}$

Pasos de un algoritmo MDS clásico:

El MDS clásico utiliza el hecho de que la matriz de coordenadas se puede derivar mediante la descomposición en valores propios de . Y la matriz se puede calcular a partir de la matriz de proximidad utilizando el doble centrado. ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\textstyle B=XX'}$${\textstyle B}$${\textstyle D}$

1. Configurar la matriz de proximidad al cuadrado${\textstyle D^{(2)}=[d_{ij}^{2}]}$
2. Aplicar doble centrado: utilizando la matriz de centrado , donde es el número de objetos, es la matriz identidad y es una matriz de todos unos.${\textstyle B=-{\frac {1}{2}}CD^{(2)}C}$${\textstyle C=I-{\frac {1}{n}}J_{n}}$${\textstyle n}$${\textstyle I}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle J_{n}}$${\textstyle n\times n}$
3. Determinar los autovalores más grandes y los autovectores correspondientes de (donde es el número de dimensiones deseadas para la salida).${\textstyle m}$${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m}}$${\textstyle e_{1},e_{2},...,e_{m}}$${\textstyle B}$${\textstyle m}$
4. Ahora, , donde es la matriz de vectores propios y es la matriz diagonal de valores propios de .${\textstyle X=E_{m}\Lambda _{m}^{1/2}}$${\textstyle E_{m}}$${\textstyle m}$${\textstyle \Lambda _{m}}$${\textstyle m}$${\textstyle B}$

El escalamiento multidimensional clásico (MDS) asume distancias métricas. Por lo tanto, no es aplicable para las calificaciones de disimilitud directa.

Es un superconjunto del MDS clásico que generaliza el procedimiento de optimización a una variedad de funciones de pérdida y matrices de entrada de distancias conocidas con ponderaciones, etc. Una función de pérdida útil en este contexto se denomina estrés , que a menudo se minimiza mediante un procedimiento llamado mayorización de estrés . El MDS métrico minimiza la función de coste denominada "estrés", que es una suma residual de cuadrados:

${\displaystyle {\text{Stress}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\sqrt {\sum _{i\neq j=1,...,n}{\bigl (}d_{ij}-\|x_{i}-x_{j}\|{\bigr )}^{2}}}.}$

El escalamiento métrico utiliza una transformación de potencia con un exponente controlado por el usuario : y para la distancia. En el escalamiento clásico, el escalamiento no métrico se define mediante el uso de regresión isotónica para estimar de forma no paramétrica una transformación de las disimilitudes.${\textstyle p}$${\textstyle d_{ij}^{p}}$${\textstyle -d_{ij}^{2p}}$${\textstyle p=1.}$

A diferencia del escalamiento multidimensional métrico (MDS métrico), el MDS no métrico encuentra una relación monótona no paramétrica entre las disimilitudes en la matriz ítem-ítem y las distancias euclidianas entre los ítems, y la ubicación de cada ítem en el espacio de baja dimensión.

Sea la disimilitud entre puntos . Sea la distancia euclidiana entre puntos incrustados .${\displaystyle d_{ij}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle {\hat {d}}_{ij}=\|x_{i}-x_{j}\|}$${\displaystyle x_{i},x_{j}}$

Ahora, para cada elección de los puntos incrustados y siendo una función monótonamente creciente , defina la función de "estrés":${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(x_{1},...,x_{n};f)={\sqrt {\frac {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}}}.}$

El factor en el denominador es necesario para evitar un "colapso". Supongamos que definimos en su lugar , entonces se puede minimizar trivialmente estableciendo , y luego colapsamos cada punto al mismo punto.${\displaystyle \sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}$${\displaystyle S={\sqrt {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij})^{2}}}}$${\displaystyle f=0}$

Existen varias variantes de esta función de coste. Los programas MDS minimizan automáticamente el estrés para obtener la solución MDS.

El núcleo de un algoritmo MDS no métrico reside en un proceso de optimización doble. En primer lugar, se debe encontrar la transformación monótona óptima de las proximidades. En segundo lugar, los puntos de una configuración deben disponerse de forma óptima, de modo que sus distancias coincidan lo más posible con las proximidades escaladas.

NMDS necesita optimizar dos objetivos simultáneamente. Esto generalmente se hace de forma iterativa:

1. Inicializar aleatoriamente, por ejemplo, mediante muestreo de una distribución normal.${\displaystyle x_{i}}$
2. Hacer hasta que se cumpla un criterio de parada (por ejemplo, ) ${\displaystyle S<\epsilon }$
   1. Resolver mediante regresión isotónica .${\displaystyle f=\arg \min _{f}S(x_{1},...,x_{n};f)}$
   2. Resuélvalo mediante descenso de gradiente u otros métodos.${\displaystyle x_{1},...,x_{n}=\arg \min _{x_{1},...,x_{n}}S(x_{1},...,x_{n};f)}$
3. Regresar y${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f}$

El análisis del espacio más pequeño (SSA, por sus siglas en inglés) de Louis Guttman es un ejemplo de un procedimiento MDS no métrico.

Una extensión del escalamiento multidimensional métrico, en el que el espacio objetivo es un espacio no euclidiano suave arbitrario. En los casos en que las disimilitudes son distancias en una superficie y el espacio objetivo es otra superficie, GMDS permite encontrar la incrustación de mínima distorsión de una superficie en otra. ^{[ 5 ]}

Una extensión del MDS, conocida como Super MDS, incorpora información tanto de distancia como de ángulo para una mejor localización de la fuente. A diferencia del MDS tradicional, que utiliza únicamente mediciones de distancia, Super MDS procesa algebraicamente (sin iteración) los datos de distancia y ángulo de llegada (AOA) para lograr una mayor precisión. ^{[ 6 ]}

El método se desarrolla en los siguientes pasos:

1. Construir el núcleo Gram de aristas reducido: Para una red de fuentes en un espacio de -dimensiones, definimos los vectores de aristas como . La disimilitud viene dada por . Ensamblamos estos en el núcleo completo , y luego formamos el núcleo reducido usando los vectores independientes: ,${\displaystyle N}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle v_{i}=x_{m}-x_{n}}$${\displaystyle k_{i,j}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$${\displaystyle K=VV^{T}}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle {\bar {K}}=[V]_{(N-1)\times \eta }\ [V]_{(N-1)\times \eta }^{T}}$
2. Descomposición propia: Calcule la descomposición propia de ,${\displaystyle {\bar {K}}}$
3. Estimar vectores de borde: Recuperar los vectores de borde como ,${\displaystyle {\hat {V}}={\Bigl (}U_{M\times \eta }\,\Lambda _{\eta \times \eta }^{\odot {\frac {1}{2}}}{\Bigr )}^{T}}$
4. Alineación de Procrustes: Recuperar desde mediante la transformación de Procrustes,${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle V}$
5. Calcular coordenadas: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales para calcular las estimaciones de las coordenadas.${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\vline \mathbf {0} _{1\times N-1}\\\hline \mathbf {[C]} _{N-1\times N}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {X} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {V} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}},}$

Este enfoque conciso reduce la necesidad de múltiples puntos de anclaje y mejora la precisión de la localización aprovechando las restricciones angulares.