Matriz de centrado

En matemáticas y estadística multivariante , la matriz de centrado ^{[ 1 ]} es una matriz simétrica e idempotente , que cuando se multiplica por un vector tiene el mismo efecto que restar la media de los componentes del vector a cada componente de ese vector.

La matriz de centrado de tamaño n se define como la matriz n por n

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

dónde${\displaystyle I_{n}\,}$es la matriz identidad de tamaño n y${\displaystyle J_{n}}$es una matriz de n por n de todos los 1 .

Por ejemplo

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$,

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

Dado un vector columna,${\displaystyle \mathbf {v} \,}$de tamaño n , la propiedad de centrado de${\displaystyle C_{n}\,}$puede expresarse como

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

dónde${\displaystyle J_{n,1}}$es un vector columna de unos y${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$es la media de los componentes de${\displaystyle \mathbf {v} \,}$.

${\displaystyle C_{n}\,}$es simétrica semidefinida positiva .

${\displaystyle C_{n}\,}$es idempotente , de modo que${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$, para${\displaystyle k=1,2,\ldots }$Una vez que se ha eliminado la media, esta es cero y eliminarla de nuevo no tiene ningún efecto.

${\displaystyle C_{n}\,}$es singular . Los efectos de aplicar la transformación${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$No se puede revertir.

${\displaystyle C_{n}\,}$tiene el valor propio 1 de multiplicidad n − 1 y el valor propio 0 de multiplicidad 1.  

${\displaystyle C_{n}\,}$tiene un espacio nulo de dimensión 1, a lo largo del vector${\displaystyle J_{n,1}}$.

${\displaystyle C_{n}\,}$es una matriz de proyección ortogonal . Es decir,${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$es una proyección de${\displaystyle \mathbf {v} \,}$sobre el subespacio ( n − 1)-dimensional que es ortogonal al espacio nulo  ${\displaystyle J_{n,1}}$(Este es el subespacio de todos los vectores de n componentes cuya suma es cero).

El rastro de${\displaystyle C_{n}}$es${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$.

Aunque la multiplicación por la matriz de centrado no es una forma computacionalmente eficiente de eliminar la media de un vector, es una herramienta analítica conveniente. Se puede utilizar no solo para eliminar la media de un solo vector, sino también de múltiples vectores almacenados en las filas o columnas de una matriz de m por n.${\displaystyle X}$.

La multiplicación de la izquierda por${\displaystyle C_{m}}$resta un valor medio correspondiente de cada una de las n columnas, de modo que cada columna del producto${\displaystyle C_{m}\,X}$tiene una media cero. De manera similar, la multiplicación por${\displaystyle C_{n}}$a la derecha se resta un valor medio correspondiente de cada una de las m filas, y cada fila del producto${\displaystyle X\,C_{n}}$tiene una media cero. La multiplicación en ambos lados crea una matriz doblemente centrada.${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$, cuyas medias de fila y columna son iguales a cero.

La matriz de centrado proporciona, en particular, una forma concisa de expresar la matriz de dispersión .${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$de una muestra de datos${\displaystyle X\,}$, dónde${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$es la media muestral . La matriz de centrado nos permite expresar la matriz de dispersión de forma más compacta como

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$es la matriz de covarianza de la distribución multinomial , en el caso especial donde los parámetros de esa distribución son${\displaystyle k=n}$, y${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$.