Función escalón

En matemáticas, una función definida sobre los números reales se denomina función escalonada si puede expresarse como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos . En términos informales, una función escalonada es una función constante definida a trozos que solo tiene un número finito de partes.

Una función${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$Se denomina función escalón si se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$para todos los números reales${\displaystyle x}$

dónde${\displaystyle n\geq 0}$,${\displaystyle \alpha _{i}}$son números reales,${\displaystyle A_{i}}$son intervalos y${\displaystyle \chi _{A_{i}}}$es la función indicadora de${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A_{i}\\0&{\text{if }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

En esta definición, los intervalos${\displaystyle A_{i}}$Se puede suponer que tiene las dos propiedades siguientes:

1. Los intervalos son disjuntos dos a dos :${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$para${\displaystyle i\neq j}$
2. La unión de los intervalos es toda la recta real:${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

De hecho, si ese no es el caso desde el principio, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los que se cumplan estas suposiciones. Por ejemplo, la función escalón.

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

se puede escribir como

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

• Una función constante es un ejemplo trivial de función escalonada. Entonces solo hay un intervalo,${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• La función signo sgn( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, es la función escalón no constante más simple.
• La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función signo, salvo un desplazamiento y una escala de rango (${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$). It is the mathematical concept behind some test signals, such as those used to determine the step response of a dynamical system.

• The rectangular function, the normalized boxcar function, is used to model a unit pulse.

• The sum and product of two step functions is again a step function. The product of a step function with a number is also a step function. As such, the step functions form an algebra over the real numbers.
• A step function takes only a finite number of values. If the intervals ${\displaystyle A_{i},}$ for ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ in the above definition of the step function are disjoint and their union is the real line, then ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ for all ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• The definite integral of a step function is a piecewise linear function.
• The Lebesgue integral of a step function ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ is ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ where ${\displaystyle \ell (A)}$ is the length of the interval ${\displaystyle A}$, and it is assumed here that all intervals ${\displaystyle A_{i}}$ have finite length. In fact, this equality (viewed as a definition) can be the first step in constructing the Lebesgue integral.^[7]
• A discrete random variable is sometimes defined as a random variable whose cumulative distribution function is piecewise constant.^[8] In this case, it is locally a step function (globally, it may have an infinite number of steps). Usually however, any random variable with only countably many possible values is called a discrete random variable, in this case their cumulative distribution function is not necessarily locally a step function, as infinitely many intervals can accumulate in a finite region.

• Crenel function
• Piecewise
• Sigmoid function
• Simple function
• Step detection
• Heaviside step function
• Piecewise-constant valuation