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Articulo de referencia

Teorema de Pick

Explosión solar de Farey de orden 6, con 1 punto interior ( rojo) y 96 puntos de contorno (verde) que dan un área de 1 + 96 / 2 − 1 = 48 [ 1 ] En geometría , el teorema de Pick ...

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Explosión solar de Farey de orden 6, con 1 punto interior ( rojo) y 96 puntos de contorno (verde) que dan un área de 1 + 96 / 2 − 1 = 48 [ 1 ]

En geometría , el teorema de Pick proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con coordenadas de vértice enteras , en función del número de puntos enteros dentro de él y en su frontera. El resultado fue descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899. [ 2 ] Hugo Steinhaus lo popularizó en inglés en la edición de 1950 de su libro Mathematical Snapshots . [ 3 ] [ 4 ] Tiene múltiples demostraciones y puede generalizarse a fórmulas para ciertos tipos de polígonos no simples.

Fórmula

i = 7 , b = 8 , A = i + ⁠ b / 2 ⁠ − 1 = 10

Supongamos que un polígono tiene coordenadas enteras para todos sus vértices. Seai{\displaystyle i}Sea el número de puntos enteros en el interior del polígono, y seab{\displaystyle b}Sea el número de puntos enteros en su límite (incluyendo tanto vértices como puntos a lo largo de los lados). Entonces el áreaA{\displaystyle A}de este polígono es: [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]A=i+b2−1.{\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.} El ejemplo mostrado tienei=7{\displaystyle i=7}puntos interiores yb=8{\displaystyle b=8}puntos límite, por lo que su área esA=7+82−1=10{\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}unidades cuadradas.

Pruebas

Mediante la fórmula de Euler

Una demostración de este teorema consiste en subdividir el polígono en triángulos con tres vértices enteros y ningún otro punto entero. Entonces se puede demostrar que cada triángulo subdividido tiene un área exactamente igual a 1.12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}Por lo tanto, el área del polígono completo es igual a la mitad del número de triángulos en la subdivisión. Tras relacionar el área con el número de triángulos de esta manera, la demostración concluye utilizando la fórmula poliédrica de Euler para relacionar el número de triángulos con el número de puntos de la cuadrícula en el polígono. [ 5 ]

Teselado del plano mediante copias de un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero, como se utiliza en la demostración del teorema de Pick.

La primera parte de esta demostración muestra que un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero tiene un área exactamente igual a cero.12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, como lo indica la fórmula de Pick. La demostración utiliza el hecho de que todos los triángulos recubren el plano , con triángulos adyacentes rotados 180° entre sí alrededor de su borde común. [ 9 ] Para recubrimientos con un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero, cada punto de la cuadrícula entera es un vértice de seis teselas. Debido a que el número de triángulos por punto de la cuadrícula (seis) es el doble del número de puntos de la cuadrícula por triángulo (tres), los triángulos son el doble de densos en el plano que los puntos de la cuadrícula. Cualquier región escalada del plano contiene el doble de triángulos (en el límite cuando el factor de escala tiende a infinito) que el número de puntos de la cuadrícula que contiene. Por lo tanto, cada triángulo tiene área12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, según sea necesario para la demostración. [ 5 ]

Paralelogramo convexo centrado en un punto entero interior, construido a partir de un triángulo entero.

Una prueba alternativa de que estos triángulos tienen área12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}utiliza el teorema de Minkowski que establece que un conjunto convexo simétrico centrado en un punto de la cuadrícula y sin ningún otro punto interior de la cuadrícula tiene área≤4{\displaystyle \leq 4}. Al aplicarlo a un paralelogramo construido a partir de ocho copias de un triángulo dado, se observa que el área del triángulo es como máximo12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}. Pero según la fórmula del cordón de zapato , el área de dicho triángulo es un semi-entero positivo , por lo que el área debe ser igual a12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}. [ 10 ]

Subdivisión de un polígono de cuadrícula en triángulos especiales.

Esto ya demuestra la fórmula de Pick para un polígono que es uno de estos triángulos especiales. Cualquier otro polígono se puede subdividir en triángulos especiales: se añaden segmentos de línea que no se cruzan dentro del polígono entre pares de puntos de la cuadrícula hasta que no se puedan añadir más segmentos de línea. Los únicos polígonos que no se pueden subdividir de esta manera son los triángulos especiales considerados anteriormente; por lo tanto, solo pueden aparecer triángulos especiales en la subdivisión resultante. Debido a que cada triángulo especial tiene área12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, un polígono de áreaA{\displaystyle A}se subdividirá en2A{\displaystyle 2A}triángulos especiales. [ 5 ]

La subdivisión del polígono en triángulos forma un grafo planar y la fórmula de EulerV−mi+F=2{\displaystyle V-E+F=2}proporciona una ecuación que se aplica al número de vértices, aristas y caras de cualquier grafo planar. Los vértices son simplemente los puntos de la cuadrícula del polígono; hayV=i+b{\displaystyle V=i+b}de ellos. Las caras son los triángulos de la subdivisión y la única región del plano fuera del polígono. El número de triángulos es2A{\displaystyle 2A}, por lo que en total hayF=2A+1{\displaystyle F=2A+1}caras. Para contar las aristas, observe que hay6A{\displaystyle 6A}lados de los triángulos en la subdivisión. Cada arista interior al polígono es el lado de dos triángulos. Sin embargo, hayb{\displaystyle b}aristas de triángulos que se encuentran a lo largo del límite del polígono y forman parte de un solo triángulo. Por lo tanto, el número de lados de los triángulos obedece la ecuación6A=2mi−b{\displaystyle 6A=2E-b}, a partir de lo cual se puede calcular el número de aristas,mi=6A+b2{\displaystyle E={\tfrac {6A+b}{2}}}. Sustituyendo estos valores porV{\displaystyle V},mi{\displaystyle E}, yF{\displaystyle F}en la fórmula de EulerV−mi+F=2{\displaystyle V-E+F=2}da (i+b)−6A+b2+(2A+1)=2.{\displaystyle (i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.} La fórmula de Pick se obtiene resolviendo esta ecuación lineal paraA{\displaystyle A}. [ 5 ] Un cálculo alternativo pero similar implica demostrar que el número de aristas de la misma subdivisión esmi=3i+2b−3{\displaystyle E=3i+2b-3}, lo que lleva al mismo resultado. [ 11 ]

También es posible ir en la dirección opuesta, utilizando el teorema de Pick (demostrado de una manera diferente) como base para una demostración de la fórmula de Euler. [ 6 ] [ 12 ]

Otras pruebas

Entre las demostraciones alternativas del teorema de Pick que no utilizan la fórmula de Euler se incluyen las siguientes.

  • Se puede descomponer recursivamente un polígono dado en triángulos, permitiendo que algunos triángulos de la subdivisión tengan un área mayor que 1/2. Tanto el área como el número de puntos utilizados en la fórmula de Pick se suman de la misma manera, por lo que la veracidad de la fórmula de Pick para polígonos generales se deduce de su veracidad para triángulos. Cualquier triángulo subdivide su caja delimitadora en el propio triángulo y triángulos rectángulos adicionales , y las áreas tanto de la caja delimitadora como de los triángulos rectángulos son fáciles de calcular. La combinación de estos cálculos de área da como resultado la fórmula de Pick para triángulos, y la combinación de triángulos da como resultado la fórmula de Pick para polígonos arbitrarios. [ 7 ] [ 8 ] [ 13 ]
  • Alternativamente, en lugar de usar cuadrados de la cuadrícula centrados en los puntos de la cuadrícula, es posible usar cuadrados de la cuadrícula cuyos vértices coincidan con los puntos de la cuadrícula. Estos cuadrados de la cuadrícula dividen el polígono dado en piezas, que pueden reorganizarse (haciendo coincidir pares de cuadrados a lo largo de cada borde del polígono) para formar un poliomino con la misma área. [ 14 ]
  • El teorema de Pick también puede demostrarse basándose en la integración compleja de una función doblemente periódica relacionada con las funciones elípticas de Weierstrass . [ 15 ]
  • La aplicación de la fórmula de suma de Poisson a la función característica del polígono conduce a otra demostración. [ 16 ]

El teorema de Pick se incluyó en una lista web de 1999 de los "100 mejores teoremas matemáticos", que posteriormente fue utilizada por Freek Wiedijk como conjunto de referencia para probar la potencia de diferentes asistentes de demostración . A partir de 2024El teorema de Pick había sido formalizado y demostrado en solo dos de los diez asistentes de prueba registrados por Wiedijk. [ 17 ]

Generalizaciones

i = 2 , b = 12 , h = 1 , A = i + ⁠ b / 2 ⁠ + h − 1 = 8

Las generalizaciones del teorema de Pick a polígonos no simples son más complicadas y requieren más información que solo el número de vértices interiores y de frontera. [ 3 ] [ 18 ] Por ejemplo, un polígono con h agujeros delimitado por polígonos enteros simples, disjuntos entre sí y de la frontera, tiene un área [ 19 ]A=i+b2+h−1.{\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}+h-1.}

También es posible generalizar el teorema de Pick a regiones delimitadas por grafos planos rectilíneos más complejos con coordenadas de vértice enteras, utilizando términos adicionales definidos mediante la característica de Euler de la región y su frontera, [ 18 ] o a polígonos con un único polígono de frontera que puede cruzarse a sí mismo, utilizando una fórmula que involucra el número de vueltas del polígono alrededor de cada punto entero, así como su número total de vueltas. [ 3 ]

Tetraedros de Reeve que demuestran que el teorema de Pick no se aplica en dimensiones superiores.

Los tetraedros de Reeve en tres dimensiones tienen cuatro vértices enteros y no contienen otros vértices enteros, pero no todos tienen el mismo volumen. Por lo tanto, no existe un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un poliedro como una función únicamente del número de sus vértices interiores y de frontera. [ 20 ] Sin embargo, estos volúmenes pueden expresarse mediante polinomios de Ehrhart . [ 21 ] [ 22 ]

Varios otros temas matemáticos relacionan las áreas de las regiones con el número de puntos de la cuadrícula. El teorema de Blichfeldt establece que toda figura puede trasladarse para contener al menos su área en puntos de la cuadrícula. [ 23 ] El problema del círculo de Gauss trata de acotar el error entre las áreas y el número de puntos de la cuadrícula en círculos. [ 24 ] El problema de contar puntos enteros en poliedros convexos surge en varias áreas de las matemáticas y la informática. [ 25 ] En áreas de aplicación, el planímetro de puntos es un dispositivo basado en la transparencia para estimar el área de una figura contando los puntos de la cuadrícula que contiene. [ 26 ] La sucesión de Farey es una sucesión ordenada de números racionales con denominadores acotados cuyo análisis involucra el teorema de Pick. [ 27 ]

Otro método sencillo para calcular el área de un polígono es la fórmula del cordón . Esta fórmula proporciona el área de cualquier polígono simple como la suma de términos calculados a partir de las coordenadas de pares consecutivos de sus vértices. A diferencia del teorema de Pick, la fórmula del cordón no requiere que los vértices tengan coordenadas enteras. [ 28 ]

Referencias

  1. ↑ Kiradjiev, Kristian (octubre de 2018). "Conectando los puntos con el teorema de Pick" (PDF) . Matemáticas Hoy . págs. 212–214 . 
  2. ^ Elegir, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre" . Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" en Praga . (Neue Folge). 19 : 311– 319. JFM 33.0216.01 . CiteBank:47270
  3. 1 2 3 Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (febrero de 1993). " Teorema de Pick". The American Mathematical Monthly . 100 (2): 150– 161. doi : 10.2307/2323771 . JSTOR 2323771. MR 1212401 .  
  4. ↑ Steinhaus, H. (1950). Instantáneas matemáticas . Oxford University Press. pág. 76. MR 0036005 .  
  5. 1 2 3 4 5 Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2018). "Tres aplicaciones de la fórmula de Euler: el teorema de Pick". Demostraciones de EL LIBRO (6.ª ed.). Springer. págs. 93–94 . doi : 10.1007/978-3-662-57265-8 . ISBN   978-3-662-57265-8.
  6. 1 2 Wells, David (1991). "Teorema de Pick". The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Penguin Books. pp. 183–184 . 
  7. 1 2 Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Teorema de Pick". Cálculo discreto de lo continuo: enumeración de puntos enteros en poliedros . Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer. págs. 40–43 . doi : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN   978-1-4939-2968-9MR 3410115 .​ 
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