recuperación de fase

La reducción de errores es una generalización del algoritmo de Gerchberg-Saxton . Resuelve para${\displaystyle f(x)}$a partir de mediciones de${\displaystyle |F(u)|}$mediante la iteración de un proceso de cuatro pasos. Para el ${\displaystyle k}$En la iteración n, los pasos son los siguientes:

Paso (1):${\displaystyle G_{k}(u)}$,${\displaystyle \phi _{k}}$, y ${\displaystyle g_{k}(x)}$son estimaciones de, respectivamente,${\displaystyle F(u)}$,${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle f(x)}$. En el primer paso calculamos la transformada de Fourier de${\displaystyle g_{k}(x)}$:

${\displaystyle G_{k}(u)=|G_{k}(u)|e^{i\phi _{k}(u)}={\mathcal {F}}(g_{k}(x)).}$

Paso (2): El valor experimental de${\displaystyle |F(u)|}$, calculado a partir del patrón de difracción mediante la ecuación de señal , se sustituye entonces por${\displaystyle |G_{k}(u)|}$, dando una estimación de la transformada de Fourier:

${\displaystyle G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)},}$

donde el ' denota un resultado intermedio que se descartará posteriormente.

Paso (3): la estimación de la transformada de Fourier${\displaystyle G'_{k}(u)}$Luego se aplica la transformada inversa de Fourier:

${\displaystyle g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u)).}$

Paso (4): ${\displaystyle g'_{k}(x)}$entonces debe cambiarse de modo que la nueva estimación del objeto,${\displaystyle g_{k+1}(x)}$, satisface las restricciones del objeto .${\displaystyle g_{k+1}(x)}$Por lo tanto, se define por partes como:

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\0,&x\in \gamma ,\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es el dominio en el que${\displaystyle g'_{k}(x)}$no satisface las restricciones del objeto. Una nueva estimación${\displaystyle g_{k+1}(x)}$se obtiene y se repite el proceso de cuatro pasos.

Este proceso continúa hasta que se satisfacen tanto la restricción de Fourier como la restricción del objeto. Teóricamente, el proceso siempre converge [ ^{1 ] ,} pero la gran cantidad de iteraciones necesarias para producir una imagen satisfactoria (generalmente >2000) hace que el algoritmo de reducción de errores por sí solo no sea adecuado para aplicaciones prácticas.

El algoritmo híbrido de entrada-salida es una modificación del algoritmo de reducción de errores; las tres primeras etapas son idénticas. Sin embargo,${\displaystyle g_{k}(x)}$ya no actúa como una estimación de${\displaystyle f(x)}$, pero la función de entrada corresponde a la función de salida${\displaystyle g'_{k}(x)}$, que es una estimación de${\displaystyle f(x)}$. ^{[ 1 ]} En el cuarto paso, cuando la función${\displaystyle g'_{k}(x)}$viola las restricciones del objeto, el valor de ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$se fuerza a cero, pero óptimamente no a cero. La principal ventaja del algoritmo híbrido de entrada-salida es que la función${\displaystyle g_{k}(x)}$Contiene información de retroalimentación sobre iteraciones anteriores, lo que reduce la probabilidad de estancamiento. Se ha demostrado que el algoritmo híbrido de entrada-salida converge a una solución significativamente más rápido que el algoritmo de reducción de errores. Su tasa de convergencia puede mejorarse aún más mediante algoritmos de optimización del tamaño de paso. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)},&x\in \gamma .\end{cases}}}$

Aquí${\displaystyle \beta }$es un parámetro de retroalimentación que puede tomar un valor entre 0 y 1. Para la mayoría de las aplicaciones,${\displaystyle \beta \approx 0.9}$proporciona resultados óptimos. { Scientific Reports  volumen 8, número de artículo: 6436 (2018) }

Para un problema de recuperación de fase bidimensional, existe una degeneración de soluciones como${\displaystyle f(x)}$y su conjugado${\displaystyle f^{*}(-x)}$tienen el mismo módulo de Fourier. Esto conduce a la "gemelación de imágenes" en la que el algoritmo de recuperación de fase se estanca produciendo una imagen con características tanto del objeto como de su conjugado . ^{[ 3 ]} La técnica shrinkwrap actualiza periódicamente la estimación del soporte mediante el filtrado de paso bajo de la estimación actual de la amplitud del objeto (por convolución con una gaussiana ) y la aplicación de un umbral, lo que conduce a una reducción de la ambigüedad de la imagen. ^{[ 4 ]}

Dada una señal discreta${\displaystyle \mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}}$que se muestrea de${\displaystyle f(x)}$. Utilizamos una ventana de longitud W :${\displaystyle \mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}}$para calcular la STFT de${\displaystyle \mathrm {f} }$, denotado por${\displaystyle \mathbf {Y} }$:

${\displaystyle Y[m,r]=\sum _{n=0}^{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}}}}$

para${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$y${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$donde el parámetro${\displaystyle L}$denota la separación en el tiempo entre secciones cortas adyacentes y el parámetro${\displaystyle R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil }$indica el número de secciones de corta duración consideradas.

La otra interpretación (llamada interpretación de ventana deslizante) de la STFT se puede utilizar con la ayuda de la transformada discreta de Fourier (DFT).${\displaystyle w_{r}[n]=w[rL-n]}$denota el elemento de ventana obtenido a partir de la ventana desplazada y volteada${\displaystyle \mathbf {w} }$. Entonces tenemos

${\displaystyle \mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]}$, dónde${\displaystyle \mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}}$.

Dejar${\displaystyle {Z}_{w}[m,r]=|Y[m,r]|^{2}}$ser el${\displaystyle N\times R}$mediciones correspondientes al cuadrado de la magnitud de la STFT de${\displaystyle \mathbf {x} }$,${\displaystyle \mathbf {W} _ {r}}$ser el${\displaystyle N\times N}$matriz diagonal con elementos diagonales${\displaystyle \left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).}$La recuperación de fase STFT se puede expresar de la siguiente manera:

Encontrar${\displaystyle \mathbf {x} }$de tal manera que${\displaystyle Z_{w}[m,r]=\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}}$para${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$y${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$, dónde${\displaystyle \mathbf {f} _{m}}$es el${\displaystyle m}$-ésima columna de la${\displaystyle N}$Matriz DFT inversa de -puntos .

Intuitivamente, la complejidad computacional aumenta con${\displaystyle N}$hace que el método sea poco práctico. De hecho, sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos solo necesitamos considerar las mediciones correspondientes a${\displaystyle 0\leq m\leq M}$, para cualquier parámetro${\displaystyle M}$satisfactorio${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$.

Para ser más específicos, si tanto la señal como la ventana no se desvanecen , es decir, ${\displaystyle x[n]\neq 0}$a pesar de${\displaystyle 0\leq n\leq N-1}$y${\displaystyle w[n]\neq 0}$a pesar de${\displaystyle 0\leq }$${\displaystyle n\leq W-1}$señal${\displaystyle \mathbf {x} }$Se puede identificar de forma unívoca a partir de la magnitud de su STFT si se cumplen los siguientes requisitos:

1. ${\displaystyle L<W\leq N/2}$,
2. ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$.

La prueba se puede encontrar en el trabajo de Jaganathan, ^{[ 5 ]} que reformula la recuperación de fase STFT como el siguiente problema de mínimos cuadrados:

${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^{2}}$.

El algoritmo, aunque carece de garantías teóricas de recuperación, es capaz empíricamente de converger al mínimo global cuando existe una superposición sustancial entre secciones cortas adyacentes.

Para establecer garantías de recuperación, una forma es formular los problemas como un programa semidefinido (SDP), incrustando el problema en un espacio de mayor dimensión utilizando la transformación${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }}$y relajar la restricción de rango uno para obtener un programa convexo. El problema reformulado se enuncia a continuación:

Obtener${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$resolviendo:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aligned}}}$$para${\displaystyle 1\leq m\leq M}$y${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$

Una vez${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$Si se encuentra, podemos recuperar la señal.${\displaystyle \mathbf {x} }$mediante la mejor aproximación de rango uno.