Símbolo de Levi-Civita

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , análisis tensorial y geometría diferencial , el símbolo de Levi-Civita o épsilon de Levi-Civita representa un conjunto de números definidos a partir del signo de una permutación de los números naturales $1, 2, ..., n$ , para algún entero positivo $n$ . Recibe su nombre del matemático y físico italiano Tullio Levi-Civita . Otros nombres incluyen símbolo de permutación , símbolo antisimétrico o símbolo alternante , que hacen referencia a su propiedad antisimétrica y a su definición en términos de permutaciones.

Las letras estándar para denotar el símbolo de Levi-Civita son la letra griega minúscula épsilon $ε$ o $ϵ$ , o, con menos frecuencia, la letra latina minúscula $e$ . La notación de índice permite mostrar permutaciones de una manera compatible con el análisis tensorial: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ donde cada índice $i 1, i 2, ..., i n$ toma los valores $1, 2, ..., n$ . Hay $n n$ valores indexados de $ε i 1 i 2 ... i n$ , que pueden organizarse en una matriz $n$ -dimensional. La propiedad clave que define el símbolo es la antisimetría total en los índices. Cuando se intercambian dos índices cualesquiera, sean iguales o no, el símbolo se niega: $\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.$

Si dos índices cualesquiera son iguales, el símbolo es cero. Cuando todos los índices son diferentes, tenemos: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},$ donde $p$ (llamado paridad de la permutación) es el número de intercambios de índices por pares necesarios para descifrar $i 1, i 2, ..., i n$ en el orden $1, 2, ..., n$ , y el factor $(-1) p$ se llama signo o signatura de la permutación. El valor $ε 1 2 ... n$ debe estar definido, de lo contrario, los valores particulares del símbolo para todas las permutaciones son indeterminados. La mayoría de los autores eligen $ε 1 2 ... n = +1$ , lo que significa que el símbolo de Levi-Civita es igual al signo de una permutación cuando todos los índices son diferentes. Esta elección se utiliza a lo largo de este artículo.

El término " símbolo de Levi-Civita $n-$ dimensional" se refiere al hecho de que el número de índices del símbolo $n$ coincide con la dimensionalidad del espacio vectorial en cuestión, que puede ser euclidiano o no euclidiano , por ejemplo, $\mathbb {R} ^{3}$ o espacio de Minkowski . Los valores del símbolo de Levi-Civita son independientes de cualquier tensor métrico y sistema de coordenadas . Además, el término específico "símbolo" enfatiza que no es un tensor debido a cómo se transforma entre sistemas de coordenadas; sin embargo, puede interpretarse como una densidad tensorial .

El símbolo de Levi-Civita permite expresar el determinante de una matriz cuadrada y el producto vectorial de dos vectores en el espacio euclidiano tridimensional en notación de índices de Einstein .

Definición

El símbolo de Levi-Civita se utiliza con mayor frecuencia en tres y cuatro dimensiones, y en cierta medida en dos, por lo que se incluyen aquí antes de definir el caso general.

Dos dimensiones

En dos dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: $\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}$ Los valores se pueden organizar en una matriz antisimétrica de 2 × 2 : ${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

El uso del símbolo bidimensional es común en la materia condensada y en ciertos temas especializados de alta energía como la supersimetría ^{[ 1 ]} y la teoría de twistores ^{[ 2 ]} donde aparece en el contexto de 2- espinores .

Tres dimensiones

En tres dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^{[ 3 ]} $\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j,k){\text{ es }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ o }}(3,1,2),\\-1&{\text{si }}(i,j,k){\text{ es }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ o }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j,{\text{ o }}j=k,{\text{ o }}k=i\end{cases}}$

Es decir, $ε ijk$ es $1$ si $(i, j, k)$ es una permutación par de $(1, 2, 3)$ , $-1$ si es una permutación impar y 0 si se repite algún índice. En tres dimensiones, las permutaciones cíclicas de $(1, 2, 3)$ son todas pares, y de forma similar, las permutaciones anticíclicas son todas impares. Esto significa que en 3D basta con tomar permutaciones cíclicas o anticíclicas de $(1, 2, 3)$ para obtener fácilmente todas las permutaciones pares o impares.

De forma análoga a las matrices bidimensionales, los valores del símbolo tridimensional de Levi-Civita se pueden organizar en una matriz de 3 × 3 × 3 :

donde $i$ es la profundidad ( azul : $i = 1$ ; rojo : $i$ $= 2$ ; verde : $i$ $= 3$ ), $j$ es la fila y $k$ es la columna.

Algunos ejemplos: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}$

Cuatro dimensiones

En cuatro dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: $\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Estos valores se pueden organizar en una matriz de 4 × 4 × 4 × 4 , aunque en 4 dimensiones o más esto es difícil de representar gráficamente.

Algunos ejemplos: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$

Generalización a n dimensiones

De manera más general, en $n$ dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^{[ 4 ]} $\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Por lo tanto, es el signo de la permutación en el caso de una permutación, y cero en caso contrario.

Utilizando la notación pi mayúscula $Π$ para la multiplicación ordinaria de números, una expresión explícita para el símbolo es: ${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$ donde la función signo (denotada $sgn$ ) devuelve el signo de su argumento, descartando el valor absoluto si es distinto de cero. La fórmula es válida para todos los valores de índice y para cualquier $n$ (cuando $n = 0$ o $n = 1$ , se trata del producto vacío ). Sin embargo, calcular la fórmula anterior de forma ingenua tiene una complejidad temporal de $O(n²)$ , mientras que el signo se puede calcular a partir de la paridad de la permutación de sus ciclos disjuntos con un coste de solo $O(n log(n)$ $)$ .

Propiedades

Un tensor cuyos componentes en una base ortonormal están dados por el símbolo de Levi-Civita (un tensor de rango covariante $n$ ) a veces se denomina tensor de permutación .

Según las reglas de transformación habituales para tensores, el símbolo de Levi-Civita permanece inalterado ante rotaciones puras, lo cual es coherente con su definición, ya que es el mismo en todos los sistemas de coordenadas relacionados por transformaciones ortogonales. Sin embargo, el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor porque, bajo una transformación ortogonal con determinante jacobiano −1 (por ejemplo, una reflexión en un número impar de dimensiones), adquiriría un signo negativo si fuera un tensor. Dado que no cambia en absoluto, el símbolo de Levi-Civita es, por definición, un pseudotensor.

Como el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor, el resultado de tomar un producto vectorial es un pseudovector , no un vector. ^{[ 5 ]}

Bajo un cambio de coordenadas general , los componentes del tensor de permutación se multiplican por el jacobiano de la matriz de transformación . Esto implica que, en sistemas de coordenadas distintos de aquel en el que se definió el tensor, sus componentes pueden diferir de las del símbolo de Levi-Civita por un factor global. Si el sistema es ortonormal, el factor será ±1 dependiendo de si la orientación del sistema es la misma o no. ^{[ 5 ]}

En la notación tensorial sin índices, el símbolo de Levi-Civita se reemplaza por el concepto del dual de Hodge .

Los símbolos de sumatoria se pueden eliminar utilizando la notación de Einstein , donde un índice repetido entre dos o más términos indica la sumatoria sobre ese índice. Por ejemplo,

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}

.

En los siguientes ejemplos se utiliza la notación de Einstein.

Dos dimensiones

En dos dimensiones, cuando todos los $i, j, m, n$ toman los valores 1 y 2: ^{[ 3 ]}

Tres dimensiones

Valores de índice y símbolo

En tres dimensiones, cuando todos los $i, j, k, m, n, p, q$ toman los valores 1, 2 y 3: ^{[ 3 ]}

Producto

El símbolo de Levi-Civita está relacionado con la delta de Kronecker . En tres dimensiones, la relación viene dada por las siguientes ecuaciones (las líneas verticales denotan el determinante): ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}

Un caso especial de este resultado se produce cuando uno de los índices se repite y se suma:

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

En la notación de Einstein, la duplicación del índice $i$ implica la suma sobre $i$ . Lo anterior se denota entonces como $ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km$ .

Si se repiten dos índices (y se suman), esto se reduce aún más a:

\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}

n dimensiones

Valores de índice y símbolo

En $n$ dimensiones, cuando todos $los i 1, ..., i n, j 1, ..., j n$ toman los valores $1, 2, ..., n$ :

donde el signo de exclamación ( $!$ ) denota el factorial , y $δ α ... β ...$ es la delta de Kronecker generalizada . Para cualquier $n$ , la propiedad

\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!

Se deduce de los hechos que

Cada permutación es par o impar,
$(+1) 2 = (-1) 2 = 1$ , y
El número de permutaciones de cualquier conjunto de n elementos es $exactamente$ $n!.$

El caso particular de ( 8 ) con ${\textstyle k=n-2}$ es $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{l})\,.$

Producto

En general, para $n$ dimensiones, el producto de dos símbolos de Levi-Civita se puede escribir como: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$ Demostración: Ambos lados cambian de signo al intercambiar dos índices, por lo que sin pérdida de generalidad asumimos $i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}$ . Si algunos $i_{c}=i_{c+1}$ entonces el lado izquierdo es cero, y el lado derecho también es cero ya que dos de sus filas son iguales. De manera similar para $j_{c}=j_{c+1}$ . Finalmente, si $i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}$ , entonces ambos lados son 1.

Pruebas

Para ( 1 ), ambos lados son antisimétricos con respecto a $ij$ y $mn$ . Por lo tanto, solo necesitamos considerar el caso $i \neq j$ y $m \neq n$ . Por sustitución, vemos que la ecuación se cumple para $ε 12 ε 12$ , es decir, para $i = m = 1$ y $j = n = 2.$ (Ambos lados son entonces uno). Dado que la ecuación es antisimétrica en $ij$ y $mn$ , cualquier conjunto de valores para estos se puede reducir al caso anterior (que se cumple). La ecuación, por lo tanto, se cumple para todos los valores de $ij$ y $mn$ .

Usando ( 1 ), tenemos para ( 2 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.

Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein con $i$ yendo de 1 a 2. A continuación, ( 3 ) se deduce de forma similar de ( 2 ).

Para establecer ( 5 ), observe que ambos lados se anulan cuando $i \neq j$ . En efecto, si $i \neq j$ , entonces no se pueden elegir $m$ y $n$ de manera que ambos símbolos de permutación de la izquierda sean distintos de cero. Entonces, con $i = j$ fijo, solo hay dos maneras de elegir $m$ y $n$ de los dos índices restantes. Para cualesquiera de estos índices, tenemos

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1

(sin sumatoria), y el resultado es el siguiente.

Entonces ( 6 ) se deduce ya que 3! = 6 y para cualesquiera índices distintos $i, j, k$ que toman valores 1, 2, 3 , tenemos

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1

(sin sumatoria,

i, j, k

distintos )

Aplicaciones y ejemplos

Determinantes

En álgebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada de 3 × 3 $A$ $= [$ $a$ $ij$ $]$ se puede escribir ^[⁶^].

\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}

De manera similar, el determinante de una matriz $n \times n$ $A = [a ij]$ se puede escribir como ^{[ 5 ]}

\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},

donde cada $i r$ debe sumarse sobre $1, ..., n$ , o equivalentemente:

\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},

donde ahora cada $i r$ y cada $j r$ deben sumarse sobre $1, ..., n$ . De manera más general, tenemos la identidad ^{[ 5 ]}

\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}

producto vectorial

Producto vectorial (dos vectores)

Dejar $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$ una base ortonormal orientada positivamente de un espacio vectorial. Si $(a 1, a 2, a 3)$ y $(b 1, b 2, b 3)$ son las coordenadas de los vectores $a$ y $b$ en esta base, entonces su producto vectorial se puede escribir como un determinante: ^{[ 5 ]}

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}

de ahí que también se utilice el símbolo de Levi-Civita, y más simplemente:

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

En la notación de Einstein, los símbolos de sumatoria pueden omitirse y el $i$ -ésimo componente de su producto cruzado es igual a ^{[ 4 ].}

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

El primer componente es

(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,

Luego, mediante permutaciones cíclicas de 1, 2, 3, los demás se pueden derivar inmediatamente, sin calcularlos explícitamente a partir de las fórmulas anteriores:

{\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}

Producto escalar triple (tres vectores)

De la expresión anterior para el producto vectorial, tenemos:

\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}

.

Si $c = (c 1, c 2, c 3)$ es un tercer vector, entonces el producto escalar triple es igual a

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.

De esta expresión se puede ver que el producto escalar triple es antisimétrico al intercambiar cualquier par de argumentos. Por ejemplo,

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )

.

Rotacional (un campo vectorial)

Si $F = (F 1, F 2, F 3)$ es un campo vectorial definido en algún conjunto abierto de $\mathbb {R} ^{3}$ como función de la posición $x = (x 1, x 2, x 3)$ (usando coordenadas cartesianas ). Entonces, el $i$ -ésimo componente del rotacional de $F$ es igual a ^{[ 4 ]}

(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),

lo cual se deduce de la expresión del producto cruzado anterior, sustituyendo los componentes del operador del vector gradiente (nabla).

Densidad tensorial

En cualquier sistema de coordenadas curvilíneas arbitrario e incluso en ausencia de una métrica en la variedad , el símbolo de Levi-Civita, tal como se definió anteriormente, puede considerarse un campo de densidad tensorial de dos maneras diferentes. Puede considerarse como una densidad tensorial contravariante de peso +1 o como una densidad tensorial covariante de peso −1. En n dimensiones usando la delta de Kronecker generalizada, ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}

Nótese que son numéricamente idénticos. En particular, el signo es el mismo.

tensores de Levi-Civita

En una variedad pseudoriemanniana , se puede definir un campo tensorial covariante invariante de coordenadas cuya representación de coordenadas coincide con el símbolo de Levi-Civita dondequiera que el sistema de coordenadas sea tal que la base del espacio tangente sea ortonormal con respecto a la métrica y coincida con una orientación seleccionada. Este tensor no debe confundirse con el campo de densidad tensorial mencionado anteriormente. La presentación en esta sección sigue de cerca a Carroll 2004 harvnb error: no target: CITEREFCarroll2004 ( help ) .

El tensor covariante de Levi-Civita (también conocido como la forma de volumen riemanniana ) en cualquier sistema de coordenadas que coincida con la orientación seleccionada es

E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,

donde $g ab$ es la representación de la métrica en ese sistema de coordenadas. De manera similar, podemos considerar un tensor de Levi-Civita contravariante elevando los índices con la métrica como es habitual,

E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\frac {1}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}},,

pero observe que si la signatura métrica contiene un número impar de autovalores negativos $q$ , entonces el signo de los componentes de este tensor difiere del símbolo estándar de Levi-Civita: ^{[ 9 ]}

E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}},

donde $sgn(det[g ab]) = (-1) q$ , $\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}$ es el símbolo habitual de Levi-Civita que se analiza en el resto de este artículo, y utilizamos la definición del determinante métrico en la derivación. Más explícitamente, cuando el tensor y la orientación de la base se eligen de tal manera que ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ , tenemos eso $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ .

De esto podemos inferir la identidad,

E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,

dónde

\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }

es la delta de Kronecker generalizada.

Ejemplo: espacio de Minkowski

En el espacio de Minkowski (el espaciotiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial ), el tensor covariante de Levi-Civita es

E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,

donde el signo depende de la orientación de la base. El tensor contravariante de Levi-Civita es

E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.

Los siguientes son ejemplos de la identidad general anterior especializada al espacio de Minkowski (donde el signo negativo surge del número impar de negativos en la signatura del tensor métrico en cualquiera de las convenciones de signos):

{\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}

Véase también

Notas

↑ Labelle, P. (2010). Supersimetría . Desmitificada. McGraw-Hill. págs. 57–58 . ISBN 978-0-07-163641-4.
↑ Hadrovich, F. "Twistor Primer" . Archivado del original el 1 de abril de 2015. Consultado el 3 de septiembre de 2013 .
1 2 3 Tyldesley, J. R. (1973). Introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
^ Kay , DC (1988) . Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 0-07-033484-6.
1 2 3 4 5 Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Lipcshutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Schaum's Outlines (4.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Murnaghan, F. D. (1925), "El símbolo generalizado de Kronecker y su aplicación a la teoría de determinantes", Amer. Math. Monthly , 32 (5): 233– 241, doi : 10.2307/2299191 , JSTOR 2299191
↑ Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Courier Dover Publications. pág. 113. ISBN 0-486-65840-6.
↑ Nakahara, Mikio (31 de enero de 2017). Geometría, topología y física (2.ª ed.). Boca Raton: CRC Press. doi : 10.1201/9781315275826 . ISBN 978-1-315-27582-6.

Referencias

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Neuenschwander, DE (2015). Cálculo tensorial para física . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs.11 , 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
Carroll, Sean M. (2019) [2003]. Espacio-tiempo y geometría: Una introducción a la relatividad general . Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-48839-6.

Enlaces externos

Este artículo incorpora material del símbolo de permutación de Levi-Civita en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike .

Weisstein, Eric W. "Tensor de permutación" . MundoMatemático .

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