plano proyectivo truncado

En geometría, un plano proyectivo truncado (TPP) , también conocido como plano afín dual , es un tipo especial de hipergrafo o configuración geométrica que se construye de la siguiente manera. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Consideremos un plano proyectivo finito .
• Elimina uno de los puntos (vértices) del plano.
• Elimine todas las líneas (aristas) que contengan ese punto.

Estos objetos se han estudiado en diversos contextos, a menudo de forma independiente, lo que ha dado lugar al desarrollo de numerosas terminologías. Asimismo, distintas áreas de conocimiento suelen plantearse preguntas diferentes sobre estos objetos y se interesan por aspectos distintos de los mismos.

Consideremos el plano de Fano , que es el plano proyectivo de orden 2. Tiene 7 vértices {1,2,3,4,5,6,7} y 7 aristas {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}.

Se puede truncar, por ejemplo, eliminando el vértice 7 y las aristas que lo contienen. El hipergrafo resultante es el TPP de orden 2. Tiene 6 vértices {1,2,3,4,5,6} y 4 aristas {123, 154, 624, 653}. Es un hipergrafo tripartito con lados {1,6},{2,5},{3,4} (que son exactamente los vecinos del vértice 7 eliminado). También se le llama hipergrafo de Pasch , debido a su conexión con el axioma de Pasch . ^{[ 3 ] : 4}

Es un hipergrafo regular 2 (cada vértice está en exactamente dos aristas) y su emparejamiento máximo es de tamaño 1 (cada dos de sus aristas se intersecan).

Un plano proyectivo finito de orden n tiene n + 1 puntos en cada línea ( n + 1 = r en la descripción del hipergrafo). Hay ^{un total de n²} + n + 1 puntos y un número igual de líneas. Cada punto se encuentra en n + 1 líneas. Cada par de puntos distintos se encuentran en una única línea y cada dos líneas distintas se intersecan en un único punto.

Al eliminar un punto y todas las líneas que pasan por ese punto, la configuración resultante tiene n² ⁺ n puntos, n² líneas, cada punto está en n líneas y cada línea contiene n + 1 puntos. Cada par de líneas distintas aún ^{se encuentran en un único punto, pero dos puntos distintos están en como máximo una línea. Este plano afín dual es , por lo tanto ,} una configuración de tipo ( ( n² + n ) _n ( n² ) _{n + 1} ).

Los puntos se pueden particionar en n + 1 conjuntos de n puntos cada uno, donde no hay dos puntos en el mismo conjunto de partición unidos por una línea. Estos conjuntos son análogos a clases de líneas paralelas en un plano afín, y algunos autores se refieren a los puntos en una partición como puntos paralelos , de acuerdo con la naturaleza dual de la estructura. ^{[ 4 ]}

Los planos proyectivos construidos a partir de cuerpos finitos ( planos de Desargues ) poseen grupos de automorfismos que actúan transitivamente sobre los puntos del plano. Por lo tanto, para estos planos, el punto que se elimine para formar el plano afín dual es irrelevante, y los resultados de elegir puntos diferentes son isomorfos . Sin embargo, existen planos no de Desargues y la elección del punto a eliminar en ellos puede dar lugar a planos afines duales no isomorfos con los mismos parámetros.

Un plano afín se obtiene al eliminar una recta y todos los puntos que la componen de un plano proyectivo. Dado que un plano proyectivo es una configuración autodual, la configuración dual de un plano afín se obtiene a partir de un plano proyectivo eliminando un punto y todas las rectas que pasan por ese punto. De ahí el nombre de esta configuración.

Se sabe que el plano proyectivo de orden r -1 existe siempre que r -1 sea una potencia prima ; por lo tanto, lo mismo es cierto para el TPP.

El plano proyectivo finito de orden r -1 contiene r ² - r +1 vértices y r ² - r +1 aristas; por lo tanto, el TPP de orden r -1 contiene r ² - r vértices y r ² - 2r +1 aristas.

El TPP de orden r -1 es un hipergrafo r -partito : sus vértices se pueden particionar en r partes de tal manera que cada hiperarista contiene exactamente un vértice de cada parte. Por ejemplo, en el TPP de orden 2, las 3 partes son {1,6}, {2,5} y {3,4}. En general, cada una de las r partes contiene r -1 vértices.

Cada arista en un TPP interseca a todas las demás aristas. Por lo tanto, su tamaño máximo de coincidencia es 1:

${\displaystyle \nu (H)=1}$.

Por otro lado, cubrir todas las aristas del TPP requiere todos los r -1 vértices de una de las partes. Por lo tanto, su tamaño mínimo de cobertura de vértices es r -1:

${\displaystyle \tau (H)=r-1}$.

Por lo tanto, el TPP es un hipergrafo extremal para la conjetura de Ryser . ^{[ 5 ] [ 1 ] [ 6 ]}

El tamaño mínimo de cobertura fraccionaria de vértices del TPP también es r -1: asignar un peso de 1/ r a cada vértice (que es una cobertura de vértices ya que cada hiperarista contiene r vértices) produce una cobertura fraccionaria de tamaño ( r ² - r )/ r = r -1.

Su tamaño máximo de coincidencia fraccionaria también es r -1: asignar un peso de 1/( r-1 ) a cada hiperarista (que es una coincidencia ya que cada vértice está contenido en r -1 aristas) produce una coincidencia fraccionaria de tamaño ( r ² - 2r +1)/( r -1)= r -1. Por lo tanto: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \tau ^{*}(H)=\nu ^{*}(H)=r-1}$.

Cabe destacar que el emparejamiento fraccional anterior es perfecto, ya que su tamaño es igual al número de vértices en cada parte del hipergrafo r -partito. Sin embargo, no existe un emparejamiento perfecto y, además, el tamaño máximo de emparejamiento es solo 1. Esto contrasta con la situación en los grafos bipartitos, donde un emparejamiento fraccional perfecto implica la existencia de un emparejamiento perfecto.

Los planos afines duales pueden verse como un residuo puntual de un plano proyectivo, ^{[ 8 ]} un 1-diseño , ^{[ 9 ]} y, más clásicamente, como una configuración táctica . ^{[ 10 ]}

Dado que no son diseños equilibrados por pares (PBD, por sus siglas en inglés), no se han estudiado exhaustivamente desde el punto de vista de la teoría del diseño. Sin embargo, las configuraciones tácticas son temas centrales en geometría, especialmente en geometría finita .

Según Dembowski (1968 , p. 5) , el término "configuración táctica" parece deberse a EH Moore en 1896. ^{[ 11 ]} Para la historia de las configuraciones duales, véase Dualidad (geometría proyectiva)#Historia .

• Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter ; Lenz, Hanfried (1986), Teoría del diseño , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 3-411-01675-2
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275