Métodos de máxima verosimilitud parcial para datos de panel

La estimación de verosimilitud parcial (agrupada) para datos de panel es un método de cuasi máxima verosimilitud para el análisis de panel que supone que la densidad de${\displaystyle y_{it}}$dado${\displaystyle x_{it}}$está correctamente especificado para cada período de tiempo, pero permite una especificación incorrecta en la densidad condicional de${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},\dots,y_{iT})}$dado${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},\dots ,x_{iT})}$.

Concretamente, la estimación de verosimilitud parcial utiliza el producto de las densidades condicionales como la densidad de la distribución condicional conjunta. Esta generalidad facilita los métodos de máxima verosimilitud en el contexto de datos de panel, ya que especificar completamente la distribución condicional de y _i puede resultar computacionalmente exigente. ^{[ 1 ]} Por otro lado, permitir una especificación incorrecta generalmente conlleva una violación de la igualdad de información y, por lo tanto, requiere el uso de estimadores de error estándar robustos para la inferencia.

En la siguiente exposición, seguimos el tratamiento de Wooldridge. ^{[ 1 ]} En particular, la derivación asintótica se realiza bajo un entorno de T fijo y N creciente.

Escribiendo la densidad condicional de y _it dado x _it como f _t ( y _it | x _it ;θ), el estimador de máxima verosimilitud parcial resuelve:

${\displaystyle \max _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )}$

En esta formulación, la densidad condicional conjunta de y _i dado x _i se modela como Π _t f _t ( y _it | x _it  ; θ ). Suponemos que f _t (y _it |x _it  ; θ) está correctamente especificada para cada t = 1,..., T y que existe θ ₀ ∈ Θ que maximiza de forma única E[f _t (y _it │x _it  ; θ)] . Pero no se supone que la densidad condicional conjunta esté correctamente especificada. Bajo ciertas condiciones de regularidad, el MLE parcial es consistente y asintóticamente normal.

Según el argumento habitual para los estimadores M (detalles en Wooldridge ^{[ 1 ]} ), la varianza asintótica de √ N (θ _MLE - θ ₀ ) es A ⁻¹ BA ⁻¹ donde A ⁻¹ = E[ Σ _t ∇ ² _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ)] ⁻¹ y B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ) ) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ ) ) ^T ] . Si la densidad condicional conjunta de y _i dado x _i está correctamente especificada, la fórmula anterior para la varianza asintótica se simplifica porque la igualdad de información dice B=A . Sin embargo, salvo en circunstancias especiales, la densidad conjunta modelada por el MLE parcial no es correcta. Por lo tanto, para una inferencia válida, debe utilizarse la fórmula anterior para la varianza asintótica. Para que se cumpla la igualdad de información, una condición suficiente es que las puntuaciones de las densidades para cada período de tiempo no estén correlacionadas. En modelos dinámicamente completos, la condición se cumple y, por lo tanto, la varianza asintótica simplificada es válida. ^{[ 1 ]}

La QMLE agrupada es una técnica que permite estimar parámetros cuando se dispone de datos de panel con resultados de Poisson. Por ejemplo, se podría tener información sobre el número de solicitudes de patentes de diferentes empresas a lo largo del tiempo. La QMLE agrupada no necesariamente incluye efectos no observados (que pueden ser efectos aleatorios o fijos ), y el método de estimación se propone principalmente para estos fines. Los requisitos computacionales son menos estrictos, especialmente en comparación con los modelos de Poisson de efectos fijos , pero la contrapartida es la posible suposición fuerte de que no existe heterogeneidad no observada . El término "agrupado" se refiere a la agrupación de los datos de los diferentes periodos de tiempo T , mientras que la QMLE se refiere a la técnica de cuasi-máxima verosimilitud.

La distribución de Poisson de${\displaystyle y_{i}}$dado${\displaystyle x_{i}}$se especifica de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(y_{i}\mid x_{i})={\frac {e^{-\mu _{i}}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}}$

El punto de partida para el QMLE agrupado de Poisson es la suposición de media condicional. Específicamente, asumimos que para algún${\displaystyle b_{0}}$En un espacio de parámetros compacto B , la media condicional viene dada por ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ para }}t=1,\ldots ,T.}$

La condición de espacio de parámetros compacto se impone para permitir el uso de técnicas de estimación M , mientras que la media condicional refleja el hecho de que la media poblacional de un proceso de Poisson es el parámetro de interés. En este caso particular, se permite que el parámetro que rige el proceso de Poisson varíe con respecto al vector${\displaystyle x_{t}\centerdot }$[ ^{2 ]} La función m puede, en principio, cambiar con el tiempo aunque a menudo se especifica como estática con el tiempo. ^{[ 3 ] Nótese} que solo se especifica la función de media condicional, y obtendremos estimaciones consistentes de${\displaystyle b_{0}}$siempre que esta condición media esté correctamente especificada. Esto conduce a la siguiente condición de primer orden, que representa la verosimilitud cuasi-logarítmica para la estimación de Poisson agrupada: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]}$

Una opción popular es${\displaystyle m=(x_{t},b_{0})=\exp(x_{t}b_{0})}$, ya que los procesos de Poisson se definen sobre la recta real positiva. ^{[ 3 ]} Esto reduce el momento condicional a una función de índice exponencial, donde${\displaystyle x_{t}b_{0}}$es el índice lineal y exp es la función de enlace. ^{[ 4 ]}