Punto de parada (triángulo)

En geometría , el punto de Parry es un punto especial asociado a un triángulo plano . Es el centro del triángulo designado X (111) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos de Clark Kimberling . El punto de Parry y el círculo de Parry reciben su nombre en honor al geómetra inglés Cyril Parry , quien los estudió a principios de la década de 1990. ^{[ 1 ]}

Sea △ ABC un triángulo plano. El círculo que pasa por el centroide y los dos puntos isodinámicos de △ ABC se llama círculo de Parry de △ ABC . La ecuación del círculo de Parry en coordenadas baricéntricas es ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle 3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})(a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cíclico}}b^{2}c^{2}(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})x\right)=0}$$

El centro del círculo de Parry es también el centro de un triángulo. Es el centro designado como X (351) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos. Las coordenadas trilineales del centro del círculo de Parry son:

$${\displaystyle a(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2}):b(c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-2b^{2}):c(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-2c^{2})}$$

El centro del círculo de Parry es el centroide (promedio) de los centros de los tres círculos de Apolonio , que son colineales sobre el eje de Lemoine . El centro también se encuentra sobre la polar trilineal de la intersección del eje de Lemoine y la línea en el infinito . ^{[ 3 ]}

Los ejes de la elipse de Steiner intersecan el eje de Lemoine en el círculo de Parry. ^{[ 4 ]}

El círculo de Parry y la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC se intersecan en dos puntos. Uno de ellos es el foco de la parábola de Kiepert de △ ABC . ^{[ 5 ]} El otro punto de intersección se llama punto de Parry de △ ABC .

Las coordenadas trilineales del punto de Parry son

$${\displaystyle {\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}}$$

El punto de Parry, el centroide y el punto de Steiner del triángulo ABC son colineales.

El punto de intersección del círculo de Parry y la circunferencia circunscrita del triángulo ABC , que es el foco de la parábola de Kiepert del triángulo ABC, también es un centro triangular y se designa como X (110) en la Enciclopedia de Centros Triangulares . Las coordenadas trilineales de este centro triangular son:

$${\displaystyle {\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}}$$

El foco de la parábola de Kiepert, el centroide y el punto de Tarry del triángulo ABC son colineales.

• Círculo de Lester