Gráfico de probabilidad, gráfico de coeficiente de correlación

El gráfico de coeficiente de correlación de probabilidad (PPCC) es una técnica gráfica para identificar el parámetro de forma de una familia de distribuciones que mejor describe el conjunto de datos. Esta técnica es apropiada para familias, como la de Weibull o la gaussiana generalizada , que se definen mediante un único parámetro de forma y parámetros de ubicación y escala , y no es apropiada ni siquiera posible para distribuciones, como la normal , que se definen únicamente mediante parámetros de ubicación y escala.

Muchos análisis estadísticos se basan en supuestos sobre la distribución de la población de la que se obtuvieron los datos. Sin embargo, las familias de distribuciones pueden presentar formas radicalmente diferentes según el valor del parámetro de forma . Por lo tanto, encontrar un valor adecuado para dicho parámetro es un paso necesario en el análisis. En muchos análisis, el objetivo principal es encontrar un buen modelo de distribución para los datos.

La técnica consiste simplemente en "graficar los coeficientes de correlación de probabilidad para diferentes valores del parámetro de forma y elegir el valor que produzca el mejor ajuste".

El diagrama PPCC está formado por:

• Eje vertical: Coeficiente de correlación del gráfico de probabilidad ;
• Eje horizontal: Valor del parámetro de forma.

Es decir, para una serie de valores del parámetro de forma, se calcula el coeficiente de correlación para el gráfico de probabilidad asociado a un valor dado de dicho parámetro. Estos coeficientes de correlación se representan gráficamente frente a sus parámetros de forma correspondientes. El coeficiente de correlación máximo corresponde al valor óptimo del parámetro de forma. Para mayor precisión, se pueden generar dos iteraciones del gráfico PPCC: la primera para encontrar el entorno adecuado y la segunda para ajustar la estimación.

El gráfico PPCC se utiliza primero para encontrar un valor adecuado del parámetro de forma. A continuación, se genera el gráfico de probabilidad para obtener estimaciones de los parámetros de localización y escala, y además, para proporcionar una evaluación gráfica de la adecuación del ajuste de la distribución.

El gráfico PPCC responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el miembro que mejor se ajusta dentro de una familia distributiva?
2. ¿El miembro que mejor se ajusta proporciona un buen ajuste (en términos de generar un gráfico de probabilidad con un coeficiente de correlación alto)?
3. ¿Esta familia de distribuciones se ajusta bien en comparación con otras distribuciones?
4. ¿Qué tan sensible es la elección del parámetro de forma?

Además de encontrar una buena opción para estimar el parámetro de forma de una distribución dada, el gráfico PPCC puede ser útil para decidir qué familia de distribuciones es la más apropiada. Por ejemplo, dado un conjunto de datos de confiabilidad , se podrían generar gráficos PPCC para las distribuciones Weibull , lognormal , gamma e inversa gaussiana , y posiblemente otras, en una sola página. Esta página mostraría el mejor valor para el parámetro de forma para varias distribuciones e indicaría, además, cuál de estas familias de distribuciones proporciona el mejor ajuste (medido por el coeficiente de correlación del gráfico de probabilidad máxima). Es decir, si el valor PPCC máximo para la Weibull es 0,99 y solo 0,94 para la lognormal, entonces se podría concluir razonablemente que la familia Weibull es la mejor opción.

Al comparar modelos de distribución, no se debe elegir simplemente el que tenga el valor PPCC máximo. En muchos casos, varios ajustes de distribución proporcionan valores PPCC comparables. Por ejemplo, tanto una distribución lognormal como una de Weibull pueden ajustarse bastante bien a un conjunto de datos de fiabilidad determinado. Normalmente, se considera la complejidad de la distribución. Es decir, una distribución más simple con un valor PPCC ligeramente menor puede preferirse a una distribución más compleja. Asimismo, puede haber una justificación teórica, en términos del modelo científico subyacente, para preferir una distribución con un valor PPCC ligeramente menor en algunos casos. En otros casos, puede que no sea necesario saber si el modelo de distribución es óptimo, sino solo que es adecuado para nuestros propósitos. Es decir, se pueden utilizar técnicas diseñadas para datos con distribución normal, incluso si otras distribuciones se ajustan mejor a los datos.

El gráfico PPCC lambda de Tukey, con parámetro de forma λ, es particularmente útil para distribuciones simétricas. Indica si una distribución tiene cola corta o larga y puede indicar además varias distribuciones comunes. Específicamente,

1. λ = − 1: la distribución es aproximadamente de Cauchy.
2. λ = 0: la distribución es exactamente logística.
3. λ = 0,14: la distribución es aproximadamente normal.
4. λ = 0,5: la distribución tiene forma de U.
5. λ = 1: la distribución es exactamente uniforme ( − 1, 1)

Si el gráfico PPCC de Tukey lambda arroja un valor máximo cercano a 0,14, se puede concluir razonablemente que la distribución normal es un buen modelo para los datos. Si el valor máximo es menor que 0,14, una distribución de cola larga, como la exponencial doble o la logística, sería una mejor opción. Si el valor máximo se aproxima a -1, esto implica la selección de una distribución de cola muy larga, como la de Cauchy. Si el valor máximo es mayor que 0,14, esto implica una distribución de cola corta, como la Beta o la uniforme.

El gráfico PPCC de Tukey-lambda se utiliza para sugerir una distribución adecuada. Posteriormente, se deben realizar gráficos PPCC y de probabilidad de las alternativas apropiadas.

• Gráfico de probabilidad

• Gráfico de probabilidad Gráfico de coeficiente de correlación

• Filliben, JJ (febrero de 1975). "La prueba del coeficiente de correlación del gráfico de probabilidad para la normalidad". Technometrics . 17 (1): 111– 117. doi : 10.2307/1268008 . JSTOR 1268008 . 

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