Hispanopedia WikiEn matemáticas , una variedad lineal a trozos ( variedad PL ) es una variedad topológica con una estructura lineal a trozos definida sobre ella. Dicha estructura se puede definir mediante un atlas , de modo que se puede pasar de una carta a otra mediante funciones lineales a trozos . Esto es ligeramente más fuerte que la noción topológica de triangulación . [ a ] Un isomorfismo de variedades PL se denomina homeomorfismo PL..
Relación con otras categorías de variedades
PL se sitúa entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): se comporta categóricamente "mejor" que DIFF —por ejemplo, la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero es generalmente falsa en DIFF— pero se comporta "peor" que TOP, como se explica en la teoría de la cirugía .
Colectores lisos
Toda variedad diferenciable tiene una estructura PL canónica —es singularmente triangulable, según el teorema de triangulación de Whitehead ( Whitehead 1940 ) [ 1 ] [ 2 ] —, pero una variedad PL podría no tener una estructura diferenciable —podría no ser diferenciable—. Tanto las variedades diferenciables como las variedades PL están contenidas en el conjunto de variedades diferenciables por partes , pero las funciones diferenciables por partes no son cerradas bajo composición, por lo que no forman una categoría.
Una forma en que PL se comporta mejor que DIFF es que se pueden tomar conos en PL, pero no en DIFF; el punto del cono es aceptable en PL. Una consecuencia es que la conjetura generalizada de Poincaré es cierta en PL para dimensiones mayores que cuatro; la prueba consiste en tomar una esfera homotópica , quitar dos bolas, aplicar el teorema de h -cobordismo para concluir que esto es un cilindro, y luego agregar conos para recuperar una esfera. Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .
Variedades topológicas
No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL, y de las que sí la admiten, la estructura PL no tiene por qué ser única; puede tener infinitas. Esto se explica con más detalle en Hauptvermutung .
La obstrucción para colocar una estructura PL en una variedad topológica M es la clase de Kirby-Siebenmann ; para ser precisos, es la obstrucción para colocar una estructura PL en M x R y en dimensiones n > 4, la clase KS se desvanece si y solo si M tiene al menos una estructura PL.
Conjuntos algebraicos reales
Una A-estructura en una variedad PL es una estructura que proporciona una forma inductiva de resolver la variedad PL a una variedad lisa. Las variedades PL compactas admiten A-estructuras. [ 3 ] [ 4 ] Las variedades PL compactas son homeomorfas a conjuntos algebraicos reales . [ 5 ] [ 6 ] Dicho de otro modo, la A-categoría se sitúa sobre la PL-categoría como una categoría más rica sin obstrucción a la elevación, es decir, BA → BPL es una fibración de producto con BA = BPL × PL/A, y las variedades PL son conjuntos algebraicos reales porque las A-variedades son conjuntos algebraicos reales.
Variedades combinatorias y variedades digitales
- Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que es una discretización de una variedad. Generalmente se refiere a una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales .
- Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria que se define en el espacio digital. Véase topología digital .
Véase también
Notas
- ↑ Una estructura PL también requiere que el enlace de un simplex sea una PL-esfera. Un ejemplo de triangulación topológica de una variedad que no es una estructura PL es, en dimensión n ≥ 5, la suspensión ( n − 3)-múltiple de la esfera de Poincaré (con alguna triangulación fija): tiene un simplex cuyo enlace es la esfera de Poincaré, una variedad tridimensional que no es homeomorfa a una esfera, por lo tanto no es una PL-esfera. Véase Triangulación (topología) § Estructuras lineales por partes para más detalles.
Referencias
- ↑ Lurie, Jacob (13 de febrero de 2009), Triangulaciones de Whitehead (Clase 3) (PDF)
- ↑ MA Shtan'ko (2001) [1994], "Topología de variedades" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ↑ Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). "Un teorema de resolución topológica" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 174– 176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
- ^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1981). "Un teorema de resolución topológica" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163– 196. doi : 10.1007/BF02698689 . S2CID 121566364 .
- ↑ Akbulut, S.; King, HC (1980). "Una caracterización topológica de las variedades algebraicas reales" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 171– 173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
- ^ Akbulut, S.; Rey, HC (1981). "Estructuras algebraicas reales sobre espacios topológicos" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79– 162. doi : 10.1007/BF02698688 . S2CID 13323578 .
- Whitehead, JHC (octubre de 1940). "Sobre los complejos C 1 ". The Annals of Mathematics . Segunda serie. 41 (4): 809– 824. doi : 10.2307/1968861 . JSTOR 1968861 .
- Rudyak, Yuli B. (2001). "Estructuras lineales por partes en variedades topológicas". arXiv : math.AT/0105047 .
- Estructuras en variedades
- Topología geométrica
- Colectores
