1

1 ( jeden , jednostka , jedność ) jest liczbą , cyfrą i symbolem . Jest to pierwsza i najmniejsza dodatnia liczba całkowita nieskończonego ciągu liczb naturalnych . Ta podstawowa właściwość doprowadziła do jej unikalnego zastosowania w innych dziedzinach, od nauki po sport, gdzie powszechnie oznacza pierwszą, wiodącą lub najwyższą rzecz w grupie. 1 jest jednostką liczenia lub pomiaru , wyznacznikiem rzeczowników w liczbie pojedynczej i zaimkiem neutralnym pod względem płci. Historycznie rzecz biorąc, reprezentacja 1 ewoluowała od starożytnych symboli sumeryjskich i babilońskich do współczesnej cyfry arabskiej.

W matematyce 1 jest tożsamością mnożenia, co oznacza, że ​​każda liczba pomnożona przez 1 równa się tej samej liczbie. 1 zgodnie z konwencją nie jest uważane za liczbę pierwszą . W technologii cyfrowej 1 reprezentuje stan „włączony” w kodzie binarnym , który jest podstawą informatyki . Filozoficznie 1 symbolizuje ostateczną rzeczywistość lub źródło istnienia w różnych tradycjach.

Liczba 1 jest pierwszą liczbą naturalną po 0. Każda liczba naturalna , w tym 1, jest tworzona przez sukcesję , czyli przez dodanie 1 do poprzedniej liczby naturalnej. Liczba 1 jest tożsamością mnożnikową liczb całkowitych , rzeczywistych i zespolonych , czyli każda liczba pomnożona przez 1 pozostaje niezmieniona ( ). W rezultacie kwadrat ( ) , pierwiastek kwadratowy ( ) i każda inna potęga 1 jest zawsze równa 1. ^[1] 1 jest swoją własną silnią ( ), a 0! jest również 1. Są to szczególne przypadki iloczynu pustego . ^[2] Chociaż 1 spełnia naiwną definicję liczby pierwszej , będąc podzielną tylko przez 1 i samą siebie (również 1), zgodnie ze współczesną konwencją nie jest ona uważana ani za liczbę pierwszą , ani za liczbę złożoną . ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\razy n=n\razy 1=n}$${\displaystyle 1^{2}=1}$${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$${\displaystyle 1!=1}$

Różne konstrukcje matematyczne liczb naturalnych przedstawiają 1 na różne sposoby. W oryginalnej formulacji aksjomatów Peano autorstwa Giuseppe Peano , zbioru postulatów definiujących liczby naturalne w precyzyjny i logiczny sposób, 1 traktowano jako punkt początkowy ciągu liczb naturalnych. ^{[4] [5]} Peano później zrewidował swoje aksjomaty, aby rozpocząć ciąg od 0. ^{[4] [6]} W przypisaniu kardynalnym von Neumanna liczb naturalnych, gdzie każda liczba jest definiowana jako zbiór zawierający wszystkie liczby przed nią, 1 jest reprezentowane jako singleton , zbiór zawierający tylko element 0. ^[7] System liczbowy unarny , stosowany w liczeniu , jest przykładem systemu liczbowego „o podstawie 1”, ponieważ potrzebny jest tylko jeden znak – sam wynik. Chociaż jest to najprostszy sposób przedstawiania liczb naturalnych, podstawa 1 jest rzadko używana jako praktyczna podstawa do liczenia ze względu na trudną czytelność. ^{[8] [9]} ${\wyświetlacz \{0\}}$

W wielu problemach matematycznych i inżynierskich wartości liczbowe są zazwyczaj normalizowane tak, aby mieściły się w przedziale jednostkowym ([0,1]), gdzie 1 oznacza maksymalną możliwą wartość. Na przykład, zgodnie z definicją, 1 jest prawdopodobieństwem zdarzenia , którego wystąpienie jest absolutnie lub prawie pewne . ^[10] Podobnie, wektory są często normalizowane do wektorów jednostkowych (tj. wektorów o wielkości jeden), ponieważ często mają one bardziej pożądane właściwości. Funkcje są często normalizowane przez warunek, że mają one całkę jeden, wartość maksymalną jeden lub całkę kwadratową jeden, w zależności od zastosowania. ^[11]

1 to wartość stałej Legendre’a , wprowadzonej w 1808 roku przez Adriena-Marie Legendre’a w celu wyrażenia asymptotycznego zachowania funkcji zliczającej liczby pierwsze . ^[12] Hipoteza Weila dotycząca liczb Tamagawy głosi, że liczba Tamagawy , będąca miarą geometryczną spójnej liniowej grupy algebraicznej nad ciałem liczb globalnych , wynosi 1 dla wszystkich grup po prostu spójnych (tych, które są połączone ścieżkowo i nie mają „ dziur ”). ^{[13] [14]}${\displaystyle \tau (G)}$

1 jest najczęściej występującą cyfrą wiodącą w wielu zestawach rzeczywistych danych liczbowych. Jest to konsekwencja prawa Benforda , które mówi, że prawdopodobieństwo wystąpienia określonej cyfry wiodącej wynosi . Tendencja liczb rzeczywistych do wzrostu wykładniczego lub logarytmicznego powoduje odchylenie rozkładu w stronę mniejszych cyfr wiodących, przy czym 1 występuje w około 30% przypadków. ^[15]${\wyświetlacz d}$${\textstyle \log _{10}\lewo({\frac {d+1}{d}}\prawo)}$

One pochodzi od staroangielskiego słowa an , pochodzącego od germańskiego rdzenia *ainaz , z praindoeuropejskiego rdzenia *oi-no- (oznaczającego „jeden, wyjątkowy”). ^[16] Językoznawczo, one jest liczebnikiem głównym używanym do liczenia i wyrażania liczby elementów w zbiorze rzeczy. ^[17] One jest najczęściej determinantem używanym z rzeczownikami policzalnymi w liczbie pojedynczej , jak w one day at a time . ^[18] Determinant ma dwa znaczenia: liczbowe ( mam jedno jabłko ) i pojedyncze ( pewnego dnia to zrobię ). ^[19] One jest również zaimkiem neutralnym pod względem płci, używanym w odniesieniu do nieokreślonej osoby lub do ludzi w ogóle, jak w one should take care of oneself . ^[20]

Słowa, których znaczenie pochodzi od one obejmują alone , które oznacza wszystko jedno w sensie bycia samemu, none oznaczające nie jedno , once oznaczające jeden raz i atone oznaczające stać się jednym z kimś. Połączenie alone z only (oznaczające jeden-jak ) prowadzi do lonely , przekazując poczucie samotności. ^[21] Inne powszechne przedrostki liczebnikowe dla liczby 1 obejmują uni- (np. monocykl , wszechświat, jednorożec), sol- (np. taniec solowy), pochodzące z łaciny, lub mono- (np. jednotorowa kolejka , monogamia, monopol) pochodzące z greki. ^{[22] [23]}

Jednym z najwcześniejszych znanych zapisów systemu liczbowego jest sumeryjski system dziesiętny i sześćdziesiątkowy na glinianych tabliczkach datowany na pierwszą połowę trzeciego tysiąclecia p.n.e. ^[24] Archaiczne sumeryjskie cyfry oznaczające 1 i 60 składały się z poziomych półkolistych symboli. ^[25] Około  2350 r. p.n.e. starsze sumeryjskie cyfry krzywoliniowe zastąpiono symbolami klinowymi , przy czym 1 i 60 reprezentowano tym samym symbolem.. Sumeryjski system pisma klinowego jest bezpośrednim przodkiem eblaickiego i asyryjsko -babilońskiego semickiego systemu dziesiętnego pisma klinowego . ^[26] Zachowane dokumenty babilońskie pochodzą głównie z epoki starobabilońskiej ( ok.  1500 p.n.e. ) i seleucydzkiej ( ok.  300 p.n.e. ). ^[24] Babiloński zapis liczb pismem klinowym wykorzystywał ten sam symbol dla 1 i 60, co w systemie sumeryjskim. ^[27]

Najczęściej używanym glifem w nowoczesnym świecie zachodnim do reprezentowania liczby 1 jest cyfra arabska , pionowa linia, często z szeryfem u góry, a czasami krótką poziomą linią u dołu. Można ją prześledzić do pisma bramińskiego starożytnych Indii, przedstawionego przez Ashokę jako prostą pionową linię w jego Edyktach Ashoki z ok. 250 r. p.n.e. ^[28] Kształty liczb tego pisma zostały przekazane do Europy przez Maghreb i Al-Andalus w średniowieczu ^[29] Cyfra arabska i inne glify używane do reprezentowania liczby jeden (np. cyfra rzymska ( I ), cyfra chińska (一)) to logogramy . Te symbole bezpośrednio reprezentują koncepcję „jednego” bez rozbijania jej na komponenty fonetyczne. ^[30]

W nowoczesnych krojach pisma kształt znaku cyfry 1 jest zazwyczaj składany jako cyfra liniująca z wydłużeniem , tak że cyfra ma taką samą wysokość i szerokość jak wielka litera . Jednak w krojach pisma z cyframi tekstowymi (znanymi również jako cyfry w starym stylu lub cyfry nieliniujące ) glif ma zwykle wysokość x i jest zaprojektowany tak, aby podążać za rytmem małej litery, jak na przykład w. ^[31] W starych krojach pisma (np. Hoefler Text ) krój pisma dla cyfry 1 przypomina wersję I z małymi wersalikami , z równoległymi szeryfami u góry i u dołu, podczas gdy wielka litera I zachowuje pełną wysokość. Jest to pozostałość po systemie cyfr rzymskich , w którym I oznacza 1. ^[32] Wiele starszych maszyn do pisania nie ma dedykowanego klawisza dla cyfry 1, co wymaga użycia małej litery L lub dużej litery I jako zamienników. ^{[33] [34] [35] [36]}

Mała litera „ j ” może być uważana za wariant małej rzymskiej cyfry „ i ”, często stosowany jako końcowe „i” w „małej” rzymskiej cyfrze. Można również znaleźć historyczne przykłady użycia j lub J jako substytutu arabskiej cyfry 1. ^{[37] [38] [39] [40]} W języku niemieckim szeryf u góry może być wydłużony w długą kreskę w górę, tak długą jak pionowa linia. Ta odmiana może prowadzić do pomyłki z glifem używanym dla siódemki w innych krajach, więc aby zapewnić wizualne rozróżnienie między nimi, cyfrę 7 można zapisać poziomym pociągnięciem przez pionową linię. ^[41]

W technologii cyfrowej dane są reprezentowane przez kod binarny , tj. system liczbowy o podstawie 2, w którym liczby są reprezentowane przez sekwencję jedynek i zer . Zdigitalizowane dane są reprezentowane w urządzeniach fizycznych, takich jak komputery , jako impulsy elektryczne przechodzące przez urządzenia przełączające, takie jak tranzystory lub bramki logiczne , gdzie „1” oznacza wartość „wł.”. W związku z tym wartość liczbowa true jest równa 1 w wielu językach programowania . ^{[42] [43]} W rachunku lambda i teorii obliczalności liczby naturalne są reprezentowane przez kodowanie Churcha jako funkcje, gdzie liczba Churcha dla 1 jest reprezentowana przez funkcję zastosowaną do argumentu raz (1 ) ^[44 ]${\wyświetlacz f}$${\wyświetlacz x}$${\displaystyle fx=fx}$

W fizyce wybrane stałe fizyczne są ustawione na 1 w naturalnych układach jednostek w celu uproszczenia formy równań; na przykład w jednostkach Plancka prędkość światła jest równa 1. ^[45] Wielkości bezwymiarowe są również znane jako „wielkości wymiaru jednego”. ^[46] W mechanice kwantowej warunek normalizacji funkcji falowych wymaga, aby całka kwadratu modułu funkcji falowej była równa 1. ^[47] W chemii wodór , pierwszy pierwiastek układu okresowego i najobficiej występujący pierwiastek w znanym wszechświecie , ma liczbę atomową równą 1. Grupa 1 układu okresowego składa się z wodoru i metali alkalicznych . ^[48]

W filozofii liczba 1 jest powszechnie uważana za symbol jedności, często reprezentując Boga lub wszechświat w tradycjach monoteistycznych . ^[49] Pitagorejczycy uważali liczby za mnogie i dlatego nie klasyfikowali samej liczby 1 jako liczby, ale jako źródło wszystkich liczb. W ich filozofii liczb, gdzie liczby nieparzyste były uważane za męskie, a parzyste za żeńskie, 1 było uważane za neutralne, zdolne do przekształcania liczb parzystych w nieparzyste i odwrotnie poprzez dodawanie. [ ^49] Traktat o liczbach neopitagorejskiego filozofa Nikomacha z Gerazy , odzyskany przez Boecjusza w łacińskim tłumaczeniu Wprowadzenie do arytmetyki , potwierdzał, że jeden nie jest liczbą, ale źródłem liczby. ^[50] W filozofii Plotyna (i innych neoplatoników ) „Jeden” jest ostateczną rzeczywistością i źródłem wszelkiego istnienia. ^[51] Filon z Aleksandrii (20 p.n.e. – 50 n.e.) uważał liczbę jeden za liczbę Boga i podstawę wszystkich liczb. ^[52]

• −1
• 0,999...  – Alternatywne rozwinięcie dziesiętne liczby 1