Billar exterior

Sea P una figura convexa en el plano. Dado un punto x0 fuera de P, normalmente existe un único punto x1 (también fuera de P) tal que el segmento de recta que conecta x0 con x1 es tangente a P en su punto medio y una persona que camina desde x0 hasta x1 vería P a la derecha. (Véase la figura). La aplicación F: x0 -> x1 se denomina aplicación de billar exterior .

También se define la transformación inversa (o hacia atrás) del billar exterior, como la transformación x1 -> x0. Esta transformación se obtiene simplemente sustituyendo la palabra «derecha» por « izquierda» en la definición anterior. La figura muestra la situación en el plano euclidiano , pero la definición en el plano hiperbólico es esencialmente la misma.

Una órbita de billar exterior es el conjunto de todas las iteraciones del punto, es decir, ... x0 ↔ x1 ↔ x2 ↔ x3 ... Es decir, se comienza en x0 y se aplican iterativamente tanto el mapa de billar exterior como el mapa de billar exterior inverso. Cuando P es una figura estrictamente convexa, como una elipse , cada punto en el exterior de P tiene una órbita bien definida. Cuando P es un polígono , algunos puntos pueden no tener órbitas bien definidas, debido a la posible ambigüedad de elegir el punto medio de la línea tangente correspondiente. Sin embargo, en el caso poligonal, casi todos los puntos tienen una órbita bien definida.

• Una órbita se denomina periódica si eventualmente se repite.
• Una órbita se denomina aperiódica (o no periódica ) si no es periódica.
• Una órbita se denomina acotada (o estable ) si alguna región acotada en el plano contiene la órbita completa.
• Una órbita se denomina no acotada (o inestable ) si no está delimitada.

Definir un sistema de billar exterior en un espacio de dimensiones superiores está fuera del alcance de este artículo. A diferencia del billar ordinario , la definición no es sencilla. Un entorno natural para el mapa es un espacio vectorial complejo . En este caso, existe una elección natural de línea tangente a un cuerpo convexo en cada punto. Estas tangentes se obtienen partiendo de las normales y utilizando la estructura compleja para rotar 90 grados. Estas líneas tangentes distinguidas pueden utilizarse para definir el mapa de billar exterior aproximadamente como se indicó anteriormente. ^{[ 1 ]}

En los años 70, Jürgen Moser esbozó una demostración, basada en la teoría KAM , de que los billares exteriores relativos a una forma de curvatura positiva seis veces diferenciable tienen todas las órbitas acotadas.

En 1982, Raphael Douady dio la prueba completa de este resultado. ^{[ 6 ]} Un gran avance en el caso poligonal se produjo durante un período de varios años cuando tres equipos de autores, Vivaldi-Shaidenko, ^{[ 7 ]} Kolodziej, ^{[ 8 ]} y Gutkin-Simanyi, ^{[ 9 ]} cada uno utilizando diferentes métodos, demostraron que los billares exteriores relativos a un polígono cuasiracional tienen todas las órbitas acotadas. La noción de cuasiracional es técnica (véanse las referencias) pero incluye la clase de polígonos regulares y polígonos racionales convexos , es decir, aquellos polígonos convexos cuyos vértices tienen coordenadas racionales .

En el caso de polígonos racionales, todas las órbitas son periódicas. En 1995, Sergei Tabachnikov demostró que los billares exteriores del pentágono regular tienen algunas órbitas aperiódicas, aclarando así la distinción entre la dinámica en los casos racionales y regulares. ^{[ 1 ]} En 1996, Philip Boyland demostró que los billares exteriores relativos a ciertas formas pueden tener órbitas que se acumulan en la forma. ^{[ 10 ]} En 2005, Daniel Genin demostró que todas las órbitas están acotadas cuando la forma es un trapecio , mostrando así que la cuasiracionalidad no es una condición necesaria para que el sistema tenga todas las órbitas acotadas. ^{[ 11 ]} (No todos los trapecios son cuasiracionales).

En 2007, Richard Schwartz demostró que el billar exterior tiene algunas órbitas no acotadas cuando se define en relación con el cometa de Penrose , respondiendo así afirmativamente a la pregunta original de Moser-Neumann. ^{[ 12 ]} El cometa de Penrose es el cuadrilátero convexo de los teselados de Penrose de cometas y dardos . Posteriormente, Schwartz demostró que el billar exterior tiene órbitas no acotadas cuando se define en relación con cualquier cometa irracional. ^{[ 13 ]} Un cometa irracional es un cuadrilátero con la siguiente propiedad:

Una de las diagonales del cuadrilátero divide la región en dos triángulos de igual área y la otra diagonal la divide en dos triángulos cuyas áreas no son múltiplos racionales entre sí. En 2008, Dmitry Dolgopyat y Bassam Fayad demostraron que los billares exteriores definidos con respecto al semidisco tienen órbitas no acotadas. ^{[ 14 ]} El semidisco es la región que se obtiene al cortar un disco por la mitad. La demostración de Dolgopyat-Fayad es robusta y también funciona para regiones obtenidas al cortar un disco casi por la mitad, cuando la palabra " casi" se interpreta adecuadamente.

En 2003, Filiz Doǧru y Sergei Tabachnikov demostraron que todas las órbitas son ilimitadas para una cierta clase de polígonos convexos en el plano hiperbólico . ^{[ 15 ]} Los autores denominan a estos polígonos grandes . (Véase la referencia para la definición). Posteriormente, en 2011, Filiz Doǧru y Samuel Otten ampliaron este trabajo especificando las condiciones bajo las cuales una tabla poligonal regular en el plano hiperbólico tiene todas sus órbitas ilimitadas, es decir, son grandes. ^{[ 16 ]}