Orientación de un haz vectorial

En matemáticas, una orientación de un fibrado vectorial real es una generalización de una orientación de un espacio vectorial ; por lo tanto, dado un fibrado vectorial real π: E → B , una orientación de E significa: para cada fibra E _x , hay una orientación del espacio vectorial E _x y se exige que cada mapa de trivialización (que es un mapa de fibrado)

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}$

preserva la orientación de las fibras, donde R ⁿ tiene la orientación estándar . En términos más concisos, esto dice que el grupo estructural del fibrado de E , que es el grupo lineal general real GL _n ( R ), se puede reducir al subgrupo que consiste en aquellos con determinante positivo.

Si E es un fibrado vectorial real de rango n , entonces la elección de una métrica en E equivale a una reducción del grupo estructural al grupo ortogonal O ( n ). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O ( n ) al grupo ortogonal especial SO ( n ).

Un fibrado vectorial junto con una orientación se denomina fibrado orientado . Un fibrado vectorial al que se le puede dar una orientación se denomina fibrado vectorial orientable .

El invariante básico de un fibrado orientado es la clase de Euler . La multiplicación (es decir, el producto de copa) por la clase de Euler de un fibrado orientado da lugar a una sucesión de Gysin .

Un haz vectorial complejo está orientado de manera canónica.

La noción de orientación de un fibrado vectorial generaliza la orientación de una variedad diferenciable : una orientación de una variedad diferenciable es una orientación de su fibrado tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y solo si su fibrado tangente es orientable como fibrado vectorial. (Nota: como variedad, un fibrado tangente siempre es orientable.)

Dar una orientación a un fibrado vectorial real E de rango n es dar una orientación al fibrado determinante (real) de E . De manera similar, dar una orientación a E es dar una orientación al fibrado esférico unitario de E . ${\displaystyle \operatorname {det} E=\wedge ^{n}E}$

Así como un fibrado vectorial real se clasifica por el Grassmanniano infinito real , los fibrados orientados se clasifican por el Grassmanniano infinito de los espacios vectoriales reales orientados.

Desde el punto de vista cohomológico, para cualquier anillo Λ, una Λ-orientación de un fibrado vectorial real E de rango n significa una elección (y existencia) de una clase

${\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda )}$

en el anillo de cohomología del espacio de Thom T ( E ) tal que u se genera como un módulo libre global y localmente: es decir, ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$

${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u}$

es un isomorfismo (llamado isomorfismo de Thom ), donde "tilde" significa cohomología reducida , que se restringe a cada isomorfismo

${\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda ) }$

inducida por la trivialización . Se puede demostrar, con algo de trabajo, ^{[ cita requerida ]} que la noción usual de orientación coincide con una orientación Z.${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R} ^{n}}$

• La integración a lo largo de la fibra
• Fibrado de orientación (o haz de orientación ): se utiliza para formular el isomorfismo de Thom para fibrados no orientados.

• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4
• JP May, Un curso conciso de topología algebraica. University of Chicago Press, 1999.
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9