haz tangente unitario

En geometría riemanniana , el fibrado tangente unitario de una variedad riemanniana ( M , g ), denotado por T ¹ M , UT( M ), UT M , o S M es el fibrado de esferas unitarias para el fibrado tangente T( M ). Es un fibrado sobre M cuya fibra en cada punto es la esfera unitaria en el espacio tangente:

${\displaystyle \mathrm {UT} (M):=\coprod _{x\in M}\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|g_{x}(v,v)=1\right.\right\},}$

donde T _x ( M ) denota el espacio tangente a M en x . Así, los elementos de UT( M ) son pares ( x , v ), donde x es algún punto de la variedad y v es alguna dirección tangente (de longitud unitaria) a la variedad en x . El fibrado tangente unitario está equipado con una proyección natural

${\displaystyle \pi$ :\mathrm {UT} (M)\to M,}

${\displaystyle \pi$ :(x,v)\mapsto x,}

que lleva cada punto del fibrado a su punto base. La fibra π ^{− 1} ( x ) sobre cada punto x ∈ M es una ( n − 1) -esfera S ^{n − 1} , donde n es la dimensión de M . Por lo tanto, el fibrado tangente unitario es un fibrado esférico sobre M con fibra S ^{n − 1} .

La definición de fibrado de esfera unitaria puede acomodar fácilmente también las variedades de Finsler . Específicamente, si M es una variedad equipada con una métrica de Finsler F  :  T M  → R , entonces el fibrado de esfera unitaria es el subfibrado del fibrado tangente cuya fibra en x es la indicatriz de F : 

${\displaystyle \mathrm {UT} _{x}(M)=\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|F(v)=1\right.\right\}.}$

Si M es una variedad de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Banach , Fréchet o Hilbert ), entonces UT( M ) todavía puede pensarse como el fibrado de esferas unitarias para el fibrado tangente T( M ), pero la fibra π ^{− 1} ( x ) sobre x es entonces la esfera unitaria de dimensión infinita en el espacio tangente.

El fibrado tangente unitario contiene diversas estructuras geométricas diferenciales. La métrica en M induce una estructura de contacto en UT M. Esto se expresa en términos de una 1-forma tautológica , definida en un punto u de UT M (un vector tangente unitario de M ) por

${\displaystyle \theta _ {u}(v)=g(u,\pi _ {*}v)\,}$

dónde${\displaystyle \pi _{*}}$es el empuje hacia adelante a lo largo de π del vector v  ∈  T _u UTM .

Geométricamente, esta estructura de contacto puede considerarse como la distribución de planos (2 n − 2) que, en el vector unitario u , es el reflejo del complemento ortogonal de u en el espacio tangente de M. Esta es una estructura de contacto, ya que la fibra de UT M es obviamente una variedad integral (el fibrado vertical está en todas partes en el núcleo de θ), y las direcciones tangentes restantes se completan al recorrer la fibra de UT M. Por lo tanto, la variedad integral máxima de θ es (un conjunto abierto de) M misma.

En una variedad de Finsler, la forma de contacto se define mediante la fórmula análoga.

${\displaystyle \theta _ {u}(v)=g_{u}(u,\pi _ {*}v)\,}$

donde g _u es el tensor fundamental (el hessiano de la métrica de Finsler). Geométricamente, la distribución asociada de hiperplanos en el punto u  ∈  UT _x M es la imagen inversa bajo π _* del hiperplano tangente a la esfera unitaria en T _x M en u .

La forma de volumen θ∧ d θ ^{n − 1} define una medida en M , conocida como medida cinemática o medida de Liouville , que es invariante bajo el flujo geodésico de M . Como medida de Radon , la medida cinemática μ se define en funciones continuas compactamente soportadas ƒ en UT M por

${\displaystyle \int _{UTM}f\,d\mu =\int _{M}dV(p)\int _{UT_{p}M}\left.f\right|_{UT_{p}M}\,d\mu _{p}}$

donde d V es el elemento de volumen en M , y μ _p es la medida de Borel estándar invariante rotacionalmente en la esfera euclidiana UT _p M .

La conexión de Levi-Civita de M da lugar a una escisión del fibrado tangente.

${\displaystyle T(UTM)=H\oplus V}$

en un espacio vertical V  =  kerπ _* y un espacio horizontal H en el que π _* es un isomorfismo lineal en cada punto de UT M . Esta división induce una métrica en UT M al declarar que esta división es una suma directa ortogonal y definir la métrica en H mediante el retroceso:

${\displaystyle g_{H}(v,w)=g(v,w),\quad v,w\in H}$

y definiendo la métrica en V como la métrica inducida por la incrustación de la fibra UT _x M en el espacio euclidiano T _x M . Equipado con esta métrica y forma de contacto, UT M se convierte en una variedad de Sasakian .

• Jeffrey M. Lee: Variedades y geometría diferencial . Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 107, Sociedad Matemática Americana, Providence (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
• Jürgen Jost : Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden : Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X