Notación de orbifold

En geometría , la notación de orbifold (o signatura de orbifold ) es un sistema, inventado por el matemático William Thurston y promovido por John Conway , para representar tipos de grupos de simetría en espacios bidimensionales de curvatura constante. La ventaja de esta notación radica en que describe estos grupos de una manera que indica muchas de sus propiedades: en particular, sigue a William Thurston al describir el orbifold obtenido al tomar el cociente del espacio euclidiano por el grupo en cuestión.

Los grupos representables en esta notación incluyen los grupos de puntos en la esfera (${\displaystyle S^{2}}$), los grupos de frisos y los grupos de papel tapiz del plano euclidiano (${\displaystyle E^{2}}$), y sus análogos en el plano hiperbólico (${\displaystyle H^{2}}$).

En un grupo descrito mediante la notación de orbifold pueden ocurrir los siguientes tipos de transformaciones euclidianas:

• reflexión a través de una línea (o plano)
• traslación mediante un vector
• rotación de orden finito alrededor de un punto
• rotación infinita alrededor de una línea en el espacio tridimensional
• Reflexión con deslizamiento, es decir, reflexión seguida de traslación.

Se supone que todas las traslaciones que se producen forman un subgrupo discreto de las simetrías de grupo que se describen.

Cada grupo se denota en notación de orbifold mediante una cadena finita formada por los siguientes símbolos:

• números enteros positivos${\displaystyle 1,2,3,\dots }$
• el símbolo del infinito ,${\displaystyle \infty }$
• el asterisco , *
• El símbolo o (un círculo sólido en documentos antiguos), que se denomina maravilla y también asa porque representa topológicamente una superficie cerrada de toroide (1-asa). Los patrones se repiten mediante dos traslaciones.
• el símbolo${\displaystyle \times }$(un círculo abierto en documentos más antiguos), que se denomina milagro y representa una cruz topológica donde un patrón se repite como una imagen especular sin cruzar una línea de simetría.

Una cadena escrita en negrita representa un grupo de simetrías del espacio euclidiano tridimensional. Una cadena que no está en negrita representa un grupo de simetrías del plano euclidiano, que se supone que contiene dos traslaciones independientes.

Cada símbolo corresponde a una transformación distinta:

• Un número entero n a la izquierda de un asterisco indica una rotación de orden n alrededor de un punto de giro.
• El asterisco (*) indica una reflexión.
• Un número entero n a la derecha de un asterisco indica una transformación de orden 2n que rota alrededor de un punto caleidoscópico y se refleja a través de una línea (o plano).
• un${\displaystyle \times }$indica un reflejo de deslizamiento
• el símbolo${\displaystyle \infty }$Indica simetría rotacional infinita alrededor de una línea; solo puede darse en grupos en negrita. Si bien podemos simplificar el lenguaje, podríamos decir que dicho grupo es un subgrupo de simetrías del plano euclidiano con una sola traslación independiente. Los grupos de friso se presentan de esta manera.
• El símbolo excepcional o indica que existen precisamente dos traslaciones linealmente independientes.

Un objeto es quiral si su grupo de simetría no contiene reflexiones; de lo contrario, se denomina aquiral . El orbifold correspondiente es orientable en el caso quiral y no orientable en caso contrario.

La característica de Euler de un orbifold se puede leer a partir de su símbolo de Conway, como sigue. Cada característica tiene un valor:

• n sin o antes de un asterisco cuenta como${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$
• n después de un asterisco cuenta como${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$
• asterisco y${\displaystyle \times }$contar como 1
• o cuenta como 2.

Restando la suma de estos valores de 2 se obtiene la característica de Euler.

Si la suma de los valores característicos es 2, el orden es infinito; es decir, la notación representa un grupo de papel tapiz o un grupo de frisos. De hecho, el "Teorema Mágico" de Conway indica que los 17 grupos de papel tapiz son precisamente aquellos cuya suma de valores característicos es igual a 2. En caso contrario, el orden es 2 dividido por la característica de Euler.

Los siguientes grupos son isomorfos:

• 1* y *11
• 22 y 221
• * 22 y *221
• 2* y 2*1.

Esto se debe a que la rotación de 1 pliegue es la rotación "vacía".

Un copo de nieve perfecto tendría *6• simetría,

El pentágono tiene simetría *5•, toda la imagen con flechas 5•.

La bandera de Hong Kong tiene simetría de rotación de 5 pliegues, 5•.

La simetría de un objeto 2D sin simetría traslacional se puede describir mediante la simetría 3D añadiendo una tercera dimensión que no altere la simetría. Por ejemplo, para una imagen 2D, podemos considerar un trozo de cartón con dicha imagen impresa en una de sus caras; la forma del cartón debe ser tal que no altere la simetría, o bien se puede imaginar que es infinita. Así, tenemos n • y * n •. El punto (•) se añade a los grupos unidimensionales y bidimensionales para indicar la existencia de un punto fijo. (En tres dimensiones, estos grupos existen en un orbifold digonal n-ésimo y se representan como nn y * nn ).

De manera similar, se puede dibujar una imagen 1D horizontalmente sobre un trozo de cartón, evitando simetrías adicionales con respecto a la línea de la imagen, por ejemplo, dibujando una barra horizontal debajo de la imagen. Así, los grupos de simetría discretos en una dimensión son *•, *1•, ∞ • y * ∞ •.

Otra forma de construir un objeto 3D a partir de un objeto 1D o 2D para describir la simetría es tomar el producto cartesiano del objeto y un objeto 2D o 1D asimétrico, respectivamente.

• Mutación de orbifolds
• Notación de fibrillas : una extensión de la notación de orbifolds para grupos espaciales tridimensionales.

• John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson y William P. Thurston. Sobre grupos espaciales tridimensionales. Contributions to Algebra and Geometry , 42(2):475-507, 2001.
• JH Conway, DH Huson. La notación de orbifold para grupos bidimensionales. Química estructural, 13 (3-4): 247–257, agosto de 2002.
• JH Conway (1992). «La notación de orbifold para grupos de superficies». En: MW Liebeck y J. Saxl (eds.), Grupos, combinatoria y geometría , Actas del Simposio LMS de Durham, 5-15 de julio, Durham, Reino Unido, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp.  438-447 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas , 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
• Hughes, Sam (2022), "Cohomología de grupos fuchsianos y grupos cristalográficos no euclidianos", Manuscripta Mathematica , 170 ( 3–4 ): 659–676 , arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H , doi : 10.1007/s00229-022-01369-z , S2CID 203610179 

• Guía de campo de las orbifolds (Apuntes de la clase sobre "Geometría y la imaginación" en Minneapolis, con John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman y Bill Thurston, del 17 al 28 de junio de 1991. Véase también el PDF de 2006 ).
• Software Tegula para visualizar teselaciones bidimensionales del plano, la esfera y el plano hiperbólico, y editar sus grupos de simetría en notación de orbifold.