Grupo de simetría

En teoría de grupos , el grupo de simetría de un objeto geométrico es el grupo de todas las transformaciones bajo las cuales el objeto es invariante , dotado de la operación de composición . Dicha transformación es una aplicación invertible del espacio ambiente que transforma el objeto en sí mismo y que conserva toda la estructura relevante del objeto. Una notación frecuente para el grupo de simetría de un objeto X es G = Sym( X ).

Para un objeto en un espacio métrico , sus simetrías forman un subgrupo del grupo de isometrías del espacio ambiente. Este artículo se centra principalmente en los grupos de simetrías en la geometría euclidiana , pero el concepto también puede estudiarse para tipos más generales de estructuras geométricas.

Consideramos que los "objetos" que poseen simetría son figuras geométricas, imágenes y patrones, como un patrón de papel tapiz . Para la simetría de objetos físicos, también se puede considerar su composición física como parte del patrón. (Un patrón puede especificarse formalmente como un campo escalar , una función de posición con valores en un conjunto de colores o sustancias; como un campo vectorial ; o como una función más general sobre el objeto). El grupo de isometrías del espacio induce una acción de grupo sobre los objetos en él, y el grupo de simetría Sym( X ) consiste en aquellas isometrías que mapean X sobre sí mismo (así como cualquier otro patrón sobre sí mismo). Decimos que X es invariante bajo tal mapeo, y el mapeo es una simetría de X.

Lo anterior se denomina a veces grupo de simetría completo de X para enfatizar que incluye isometrías que invierten la orientación (reflexiones, reflexiones con deslizamiento y rotaciones impropias ), siempre que dichas isometrías mapeen este X en particular consigo mismo. El subgrupo de simetrías que preservan la orientación (traslaciones, rotaciones y composiciones de estas) se denomina su grupo de simetría propio . Un objeto es quiral cuando no posee simetrías que inviertan la orientación , de modo que su grupo de simetría propio es igual a su grupo de simetría completo.

Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común , lo cual se cumple si el grupo es finito o la figura es acotada, puede representarse como un subgrupo del grupo ortogonal O( n ) eligiendo el origen como punto fijo. El grupo de simetría propio es entonces un subgrupo del grupo ortogonal especial SO( n ) y se denomina grupo de rotación de la figura.

En un grupo de simetría discreto , los puntos simétricos a un punto dado no se acumulan hacia un punto límite . Es decir, cada órbita del grupo (las imágenes de un punto dado bajo todos los elementos del grupo) forma un conjunto discreto . Todos los grupos de simetría finitos son discretos.

Los grupos de simetría discretos se presentan en tres tipos: (1) grupos puntuales finitos , que incluyen solo rotaciones , reflexiones , inversiones y rotoinversiones , es decir, los subgrupos finitos de O( n ); (2) grupos reticulares infinitos , que incluyen solo traslaciones; y (3) grupos espaciales infinitos que contienen elementos de ambos tipos anteriores, y quizás también transformaciones adicionales como desplazamientos helicoidales y reflexiones con deslizamiento. También existen grupos de simetría continuos ( grupos de Lie ), que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. Un ejemplo es O(3) , el grupo de simetría de una esfera. Los grupos de simetría de objetos euclidianos pueden clasificarse completamente como subgrupos del grupo euclidiano E( n ) (el grupo de isometría de R ⁿ ).

Dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría cuando sus grupos de simetría son subgrupos conjugados del grupo euclidiano: es decir, cuando los subgrupos H ₁ , H ₂ están relacionados por H ₁ = g ⁻¹ H ₂ g para algún g en E( n ). Por ejemplo:

• Dos figuras 3D tienen simetría especular, pero con respecto a diferentes planos de simetría.
• Dos figuras 3D tienen simetría rotacional triple , pero con respecto a ejes diferentes.
• Dos patrones 2D tienen simetría traslacional , cada uno en una dirección; los dos vectores de traslación tienen la misma longitud pero una dirección diferente.

En las siguientes secciones, solo consideramos grupos de isometría cuyas órbitas son topológicamente cerradas , incluyendo todos los grupos de isometría discretos y continuos. Sin embargo, esto excluye, por ejemplo, el grupo unidimensional de traslaciones por un número racional ; una figura no cerrada de este tipo no puede representarse con una precisión razonable debido a su nivel de detalle arbitrariamente fino.

Los grupos de isometría en una dimensión son:

• el grupo cíclico trivial C ₁
• los grupos de dos elementos generados por una reflexión; son isomorfos con C ₂
• los grupos discretos infinitos generados por una traslación; son isomorfos con Z , el grupo aditivo de los enteros.
• los grupos discretos infinitos generados por una traslación y una reflexión; son isomorfos con el grupo diedral generalizado de Z , Dih( Z ), también denotado por D∞ ₍ que es un producto semidirecto de Z y C2 ₎ .
• El grupo generado por todas las traslaciones (isomorfo al grupo aditivo de los números reales R ) no puede ser el grupo de simetría de una figura euclidiana, incluso dotada de un patrón: dicho patrón sería homogéneo y, por lo tanto, podría reflejarse. Sin embargo, un campo vectorial unidimensional constante sí posee este grupo de simetría.
• el grupo generado por todas las traslaciones y reflexiones en puntos; son isomorfos con el grupo diedral generalizado Dih( R ).

Salvo conjugación, los grupos puntuales discretos en el espacio bidimensional son las siguientes clases:

• grupos cíclicos C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... donde C _n consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo por múltiplos del ángulo 360°/ n
• grupos diedrales D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., donde D _n (de orden 2 n ) consiste en las rotaciones en C _n junto con reflexiones en n ejes que pasan por el punto fijo.

C ₁ es el grupo trivial que contiene solo la operación identidad, que ocurre cuando la figura es asimétrica, por ejemplo la letra "F". C ₂ es el grupo de simetría de la letra "Z", C ₃ el de un trisquel , C ₄ el de un molinillo quiral de cuatro aspas, y C ₅ , C ₆ , etc. son los grupos de simetría de molinillos quirales similares con cinco, seis, etc. brazos.

D ₁ es el grupo de 2 elementos que contiene la operación identidad y una sola reflexión, que ocurre cuando la figura tiene solo un eje de simetría bilateral , por ejemplo la letra "A".

D2 , que es isomorfo al grupo _de Klein de cuatro dimensiones , es el grupo de simetría de un rectángulo no equilátero. Esta figura tiene cuatro operaciones de simetría: la operación identidad, un eje de rotación de orden dos y dos planos de reflexión no equivalentes.

D ₃ , D ₄ etc. son los grupos de simetría de los polígonos regulares .

Dentro de cada uno de estos tipos de simetría, existen dos grados de libertad para el centro de rotación y, en el caso de los grupos diedrales, uno más para las posiciones de los espejos.

Los grupos de isometría restantes en dos dimensiones con un punto fijo son:

• El grupo ortogonal especial SO(2) consta de todas las rotaciones alrededor de un punto fijo; también se le llama grupo circular S ¹ , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto 1. Es el grupo de simetría propio de un círculo y el equivalente continuo de C _n . No existe ninguna figura geométrica que tenga como grupo de simetría completo el grupo circular, pero para un campo vectorial puede aplicarse (véase el caso tridimensional más adelante).
• El grupo ortogonal O(2) consta de todas las rotaciones alrededor de un punto fijo y reflexiones respecto de cualquier eje que pase por ese punto fijo. Este es el grupo de simetría de un círculo. También se le llama Dih(S ¹ ) ya que es el grupo diedral generalizado de S ¹ .

Las figuras no acotadas pueden tener grupos de isometría que incluyen traslaciones; estos son:

• los 7 grupos de frisos
• los 17 grupos de papel tapiz
• para cada uno de los grupos de simetría en una dimensión, la combinación de todas las simetrías en ese grupo en una dirección, y el grupo de todas las traslaciones en la dirección perpendicular.
• Lo mismo ocurre con las reflexiones en línea recta en la primera dirección.

Hasta la conjugación, el conjunto de grupos puntuales tridimensionales consta de 7 series infinitas y otros 7 grupos individuales. En cristalografía , solo se consideran aquellos grupos puntuales que conservan alguna red cristalina (por lo que sus rotaciones solo pueden tener orden 1, 2, 3, 4 o 6). Esta restricción cristalográfica de las familias infinitas de grupos puntuales generales da como resultado 32 grupos puntuales cristalográficos (27 grupos individuales de las 7 series y 5 de los otros 7 grupos individuales).

Los grupos de simetría continua con un punto fijo incluyen los siguientes:

• Simetría cilíndrica sin un plano de simetría perpendicular al eje. Esto se aplica, por ejemplo, a una botella o un cono .
• simetría cilíndrica con un plano de simetría perpendicular al eje
• simetría esférica

Para objetos con patrones de campo escalar , la simetría cilíndrica implica también simetría de reflexión vertical. Sin embargo, esto no es cierto para patrones de campo vectorial : por ejemplo, en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, el campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$tiene simetría cilíndrica con respecto al eje siempre que${\displaystyle A_{\rho },A_{\phi },}$y${\displaystyle A_{z}}$tienen esta simetría (sin dependencia de${\displaystyle \phi }$); y tiene simetría de reflexión solo cuando${\displaystyle A_{\phi }=0}$.

En el caso de la simetría esférica, no existe tal distinción: cualquier objeto con un patrón determinado tiene planos de simetría de reflexión.

Los grupos de simetría continua sin punto fijo incluyen aquellos con un eje helicoidal , como una hélice infinita . Véase también subgrupos del grupo euclidiano .

En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformaciones o grupo de automorfismos . Cada tipo de estructura matemática posee aplicaciones invertibles que preservan dicha estructura. A la inversa, especificar el grupo de simetría puede definir la estructura, o al menos aclarar el significado de la congruencia o invariancia geométrica; esta es una forma de abordar el programa de Erlangen .

Por ejemplo, los objetos en una geometría hiperbólica no euclidiana poseen grupos de simetría fuchsiana , que son subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico, preservando la distancia hiperbólica en lugar de la euclidiana. (Algunos se representan en dibujos de Escher ). De manera similar, los grupos de automorfismos de geometrías finitas preservan familias de conjuntos de puntos (subespacios discretos) en lugar de subespacios euclidianos, distancias o productos internos. Al igual que en las figuras euclidianas, los objetos en cualquier espacio geométrico poseen grupos de simetría que son subgrupos de las simetrías del espacio ambiente.

Otro ejemplo de grupo de simetría es el de un grafo combinatorio : una simetría de grafo es una permutación de los vértices que transforma las aristas en aristas. Cualquier grupo finitamente presentado es el grupo de simetría de su grafo de Cayley ; el grupo libre es el grupo de simetría de un grafo de árbol infinito .

El teorema de Cayley establece que cualquier grupo abstracto es un subgrupo de las permutaciones de algún conjunto X , y por lo tanto puede considerarse como el grupo de simetría de X con alguna estructura adicional. Además, muchas características abstractas del grupo (definidas exclusivamente en términos de la operación de grupo) pueden interpretarse en términos de simetrías.

Por ejemplo, sea G = Sym( X ) el grupo de simetría finito de una figura X en un espacio euclidiano , y sea H ⊂ G un subgrupo. Entonces H puede interpretarse como el grupo de simetría de X ⁺ , una versión "decorada" de X . Dicha decoración puede construirse de la siguiente manera. Añada algunos patrones, como flechas o colores, a X para romper toda simetría, obteniendo una figura X ^# con Sym( X ^# ) = {1}, el subgrupo trivial; es decir, gX ^# ≠ X ^{# para todo} g ∈ G no trivial . Ahora obtenemos:

${\displaystyle X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisface}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).}$

Los subgrupos normales también pueden caracterizarse en este marco. El grupo de simetría de la traslación gX ⁺ es el subgrupo conjugado gHg ^{− 1} . Por lo tanto, H es normal siempre que:

${\displaystyle \mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{para todo}}\ g\in G;}$

es decir, siempre que la decoración de X ⁺ se pueda dibujar en cualquier orientación, con respecto a cualquier lado o característica de X , y aún así producir el mismo grupo de simetría gHg ^{− 1} = H .

Como ejemplo, consideremos el grupo diedral G = D ₃ = Sym( X ), donde X es un triángulo equilátero. Podemos decorarlo con una flecha en uno de sus lados, obteniendo una figura asimétrica X ^# . Si τ ∈ G es la reflexión del lado con la flecha, la figura compuesta X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# tiene una flecha bidireccional en ese lado, y su grupo de simetría es H = {1, τ }. Este subgrupo no es normal, ya que gX ⁺ puede tener la flecha bidireccional en un lado diferente, lo que da como resultado un grupo de simetría de reflexión diferente.

Sin embargo, si tomamos H = {1, ρ , ρ ² } ⊂ D ₃ como el subgrupo cíclico generado por una rotación, la figura decorada X ⁺ consiste en un ciclo de 3 flechas con orientación consistente. Entonces H es normal, ya que dibujar dicho ciclo con cualquiera de las orientaciones produce el mismo grupo de simetría H .

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