Aberración óptica

En óptica , la aberración es una propiedad de los sistemas ópticos, como lentes y espejos , que provoca que la imagen creada por el sistema óptico no sea una reproducción fiel del objeto observado. Las aberraciones hacen que la imagen formada por una lente aparezca borrosa, distorsionada o presente franjas de color u otros efectos no visibles en el objeto, dependiendo la naturaleza de la distorsión del tipo de aberración.

La aberración puede definirse como una desviación del rendimiento de un sistema óptico respecto a las predicciones de la óptica paraxial . ^{[ 1 ]} En un sistema de imagen, se produce cuando la luz procedente de un punto de un objeto no converge (o no diverge) en un único punto tras su transmisión a través del sistema. Las aberraciones se producen porque la teoría paraxial simple no es un modelo completamente preciso del efecto de un sistema óptico sobre la luz, y no debido a defectos en los elementos ópticos. ^{[ 2 ]}

Un sistema óptico formador de imágenes con aberraciones producirá una imagen poco nítida. Los fabricantes de instrumentos ópticos deben corregir los sistemas ópticos para compensar las aberraciones.

La aberración puede analizarse con las técnicas de la óptica geométrica . Los artículos sobre reflexión , refracción y cáusticas tratan las características generales de los rayos reflejados y refractados .

Con una lente ideal , la luz proveniente de cualquier punto de un objeto la atravesaría y convergería en un único punto del plano de la imagen (o, más generalmente, de la superficie de la imagen ). Sin embargo, las lentes reales, incluso cuando están perfectamente fabricadas, no enfocan la luz con exactitud en un solo punto. Estas desviaciones del comportamiento ideal de la lente se denominan aberraciones .

Las aberraciones se dividen en dos clases: monocromáticas y cromáticas . Las aberraciones monocromáticas se deben a la geometría de la lente o el espejo y ocurren tanto cuando la luz se refleja como cuando se refracta. Aparecen incluso al usar luz monocromática , de ahí su nombre.

Las aberraciones cromáticas se deben a la dispersión , que es la variación del índice de refracción de una lente con la longitud de onda . Debido a la dispersión, las diferentes longitudes de onda de la luz se enfocan en puntos distintos. La aberración cromática no aparece cuando se utiliza luz monocromática.

Aberraciones cromáticas

La aberración cromática se produce cuando las diferentes longitudes de onda no se enfocan en el mismo punto. Los tipos de aberración cromática son:

• Aberración cromática axial (o "longitudinal")
• Aberración cromática lateral (o "transversal")

En un sistema óptico perfecto de la teoría clásica de la óptica , ^{[ 3 ] [ 4 ]} los rayos de luz que proceden de cualquier punto del objeto convergen en un punto de la imagen ; por lo tanto, el espacio del objeto se reproduce en un espacio de la imagen. La introducción de términos auxiliares simples, debidos a Gauss , ^{[ 5 ] [ 6 ]} denominados distancias focales y planos focales , permite determinar la imagen de cualquier objeto para cualquier sistema. Sin embargo, la teoría gaussiana solo es válida mientras los ángulos que forman todos los rayos con el eje óptico (el eje de simetría del sistema) sean infinitesimalmente pequeños, es decir, con objetos, imágenes y lentes infinitesimales; en la práctica, estas condiciones pueden no cumplirse, y las imágenes proyectadas por sistemas no corregidos son, en general, mal definidas y a menudo borrosas si la apertura o el campo de visión superan ciertos límites. ^{[ 6 ]}

Las investigaciones de James Clerk Maxwell ^{[ 7 ]} y Ernst Abbe ^{[ notas 2 ]} demostraron que las propiedades de estas reproducciones, es decir, la posición relativa y la magnitud de las imágenes, no son propiedades especiales de los sistemas ópticos, sino consecuencias necesarias de la suposición (según Abbe) de la reproducción de todos los puntos de un espacio en puntos de imagen, y son independientes de la manera en que se efectúa la reproducción. Sin embargo, estos autores demostraron que ningún sistema óptico puede justificar estas suposiciones, ya que son contradictorias con las leyes fundamentales de reflexión y refracción. En consecuencia, la teoría gaussiana solo proporciona un método conveniente para aproximar la realidad; los sistemas ópticos realistas no alcanzan este ideal inalcanzable. Actualmente, lo único que se puede lograr es la proyección de un plano sobre otro; pero incluso en esto, siempre se producen aberraciones y es improbable que alguna vez se corrijan por completo. ^{[ 6 ]}

Aberración de los puntos axiales (aberración esférica en sentido restringido)

Sea S ( Figura 1 ) cualquier sistema óptico, los rayos que proceden de un punto del eje O con un ángulo u ₁ se unirán en el punto del eje O ′ ₁ ; y aquellos con un ángulo u ₂ en el punto del eje O ′ ₂ . Si hay refracción en una superficie esférica colectiva, o a través de una lente positiva delgada, O ′ ₂ estará delante de O ′ ₁ siempre que el ángulo u ₂ sea mayor que u ₁ ( subcorrección ); y viceversa con una superficie dispersiva o lentes ( sobrecorrección ). La cáustica, en el primer caso, se asemeja al signo '>' (mayor que); en el segundo '<' (menor que). Si el ángulo u ₁ es muy pequeño, O ′ ₁ es la imagen gaussiana; y O ′ ₁ O ′ ₂ se denomina aberración longitudinal , y O ′ ₁ R la aberración lateral de los lápices con apertura u ₂ . Si el lápiz con el ángulo u ₂ es el de máxima aberración de todos los lápices transmitidos, entonces en un plano perpendicular al eje en O ′ ₁ hay un disco circular de confusión de radio O ′ ₁ R , y en un plano paralelo en O ′ ₂ otro de radio O ′ ₂ R ₂ ; entre estos dos se sitúa el disco de menor confusión . ^{[ 6 ]}

La mayor apertura de los haces ópticos que participan en la reproducción de O , es decir, el ángulo u , generalmente está determinada por el margen de una de las lentes o por un orificio en una placa delgada colocada entre, antes o detrás de las lentes del sistema. Este orificio se denomina diafragma ; Abbe utilizó el término diafragma _de apertura tanto para el orificio como para el margen limitante de la lente. El componente S1 del sistema, situado entre el diafragma de apertura y el objeto O , proyecta una imagen del diafragma, que Abbe denominó pupila de entrada ; la pupila de salida es la imagen formada por el componente S2 , que se coloca detrás del diafragma de apertura. Todos _los rayos que salen de O y pasan a través del diafragma de apertura también pasan a través de las pupilas de entrada y salida, ya que estas son imágenes del diafragma de apertura. Dado que la apertura máxima de los haces ópticos que salen de O es el ángulo u subtendido por la pupila de entrada en este punto, la magnitud de la aberración estará determinada por la posición y el diámetro de la pupila de entrada. Si el sistema está completamente detrás del diafragma de apertura, entonces este es la pupila de entrada ( diafragma delantero ); si está completamente delante, es la pupila de salida ( diafragma trasero ). ^{[ 6 ]}

Si el punto objeto se encuentra infinitamente distante, todos los rayos recibidos por el primer elemento del sistema son paralelos, y sus intersecciones, tras atravesar el sistema, varían según su altura de incidencia perpendicular, es decir, su distancia al eje. Esta distancia sustituye al ángulo u en las consideraciones anteriores; y la apertura, es decir, el radio de la pupila de entrada, es su valor máximo. ^{[ 6 ]}

Aberración de los elementos, es decir, los objetos más pequeños que se encuentran en ángulo recto con respecto al eje.

Si los rayos que salen de O ( Figura 1 ) son concurrentes, no se deduce que los puntos en una porción de un plano perpendicular en O al eje también serán concurrentes, incluso si la parte del plano es muy pequeña. A medida que aumenta el diámetro de la lente (es decir, con una apertura creciente), el punto vecino N se reproducirá, pero con aberraciones de magnitud comparable a ON . Estas aberraciones se evitan si, según Abbe, la condición del seno , sin u ′ ₁ /sin u ₁ = sin u ′ ₂ /sin u ₂ , se cumple para todos los rayos que reproducen el punto O . Si el punto objeto O está infinitamente distante, u ₁ y u ₂ se reemplazan por h ₁ y h ₂ , las alturas perpendiculares de incidencia; la condición del seno se convierte entonces en sin u ′ ₁ / h ₁ = sin u ′ ₂ / h ₂ . Un sistema que cumple esta condición y está libre de aberración esférica se denomina aplanático (del griego a- , privativo; plann , errante). Esta palabra fue utilizada por primera vez por Robert Blair para caracterizar un acromatismo superior y, posteriormente, por muchos autores para denotar también la ausencia de aberración esférica. ^{[ 6 ]}

Dado que la aberración aumenta con la distancia del rayo al centro de la lente, también aumenta a medida que aumenta el diámetro de la lente (o, correspondientemente, con el diámetro de la apertura), por lo que puede minimizarse reduciendo la apertura, a costa de reducir también la cantidad de luz que llega al plano de la imagen.

Aberración de los puntos laterales del objeto (puntos más allá del eje) con lápices estrechos: astigmatismo

Un punto O ( Figura 2 ) a una distancia finita del eje (o con un objeto infinitamente distante, un punto que subtiende un ángulo finito en el sistema) generalmente, incluso entonces no se reproduce nítidamente si el haz de rayos que sale de él y atraviesa el sistema se hace infinitamente estrecho al reducir el diafragma; dicho haz consiste en los rayos que pueden pasar desde el punto del objeto a través de la pupila de entrada ahora infinitamente pequeña. Se ve (ignorando casos excepcionales) que el haz no encuentra la superficie refractora o reflectante en ángulo recto; por lo tanto es astigmático (griego a- , privativo; stigmia , un punto). Nombrando al rayo central que pasa a través de la pupila de entrada el eje del haz o rayo principal , se puede decir: los rayos del haz se intersecan, no en un punto, sino en dos líneas focales, que se pueden suponer que son perpendiculares al rayo principal; De estas, una se encuentra en el plano que contiene el rayo principal y el eje del sistema, es decir, en la primera sección principal o sección meridional , y la otra es perpendicular a ella, es decir, en la segunda sección principal o sección sagital. Por lo tanto, no recibimos en ningún plano de intercepción detrás del sistema, como, por ejemplo, una pantalla de enfoque , una imagen del punto objeto; por otro lado, en cada uno de los dos planos se forman por separado las líneas O ′ y O″ (en planos vecinos se forman elipses), y en un plano entre O ′ y O″ un círculo de mínima confusión. El intervalo O ′ - O″ , denominado diferencia astigmática, aumenta, en general, con el ángulo W que forma el rayo principal OP con el eje del sistema, es decir, con el campo de visión. Dos superficies de imagen astigmáticas corresponden a un mismo plano objeto; y estas se encuentran en contacto en el punto del eje; en una se encuentran las líneas focales del primer tipo, en la otra las del segundo. Los sistemas en los que coinciden las dos superficies astigmáticas se denominan anastigmáticos o estigmáticos. ^{[ 6 ]}

Sir Isaac Newton fue probablemente el descubridor del astigmatismo; la posición de las líneas de imagen astigmáticas fue determinada por Thomas Young; ^{[ 8 ]} y la teoría fue desarrollada por Allvar Gullstrand . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 6 ]} Una bibliografía de P. Culmann se encuentra en Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten de Moritz von Rohr . ^{[ 11 ] [ 6 ]}

Distorsión de la imagen

Aunque la imagen sea nítida, puede estar distorsionada en comparación con una proyección estenopeica ideal . En la proyección estenopeica, la magnificación de un objeto es inversamente proporcional a su distancia a la cámara a lo largo del eje óptico, de modo que una cámara que apunta directamente a una superficie plana reproduce dicha superficie. La distorsión puede entenderse como un estiramiento no uniforme de la imagen o, equivalentemente, como una variación en la magnificación a lo largo del campo. Si bien la "distorsión" puede incluir cualquier deformación arbitraria de una imagen, los modos de distorsión más pronunciados producidos por la óptica de imagen convencional son la "distorsión de barril", en la que el centro de la imagen se magnifica más que el perímetro ( Figura 3a ). El caso contrario, en el que el perímetro se magnifica más que el centro, se conoce como "distorsión de cojín" ( Figura 3b ). Este efecto se denomina distorsión de lente o distorsión de imagen , y existen algoritmos para corregirlo.

Los sistemas libres de distorsión se denominan ortoscópicos ( orthos , derecho; skopein , mirar) o rectilíneos (líneas rectas).

Esta aberración es muy distinta de la nitidez de la reproducción; en una reproducción borrosa, la cuestión de la distorsión surge si solo se pueden reconocer partes del objeto en la figura. Si, en una imagen borrosa, una mancha de luz corresponde a un punto del objeto, el centro de gravedad de la mancha puede considerarse el punto de la imagen, siendo este el punto donde el plano que recibe la imagen, por ejemplo, una pantalla de enfoque, interseca el rayo que pasa por el centro del diafragma. Esta suposición se justifica si una imagen deficiente en la pantalla de enfoque permanece estacionaria al disminuir la apertura; en la práctica, esto suele ocurrir. Este rayo, denominado por Abbe rayo principal (que no debe confundirse con los rayos principales de la teoría gaussiana), pasa por el centro de la pupila de entrada antes de la primera refracción y por el centro de la pupila de salida después de la última refracción. De esto se deduce que la corrección del dibujo depende únicamente de los rayos principales y es independiente de la nitidez o la curvatura del campo de la imagen. En referencia a la Figura 4 , tenemos O ′ Q ′ / OQ = ( a ′ tan w ′ )/( a tan w ) = 1/ N , donde N es la escala o magnificación de la imagen. Para que N sea constante para todos los valores de w , ( a ′ tan w ′ )/( a tan w ) también debe ser constante. Si la relación a ′ / a es suficientemente constante, como suele ser el caso, la relación anterior se reduce a la condición de Airy , es decir tan w ′ /tan w es una constante. ^{[ 12 ]} Esta relación simple se cumple en todos los sistemas que son simétricos con respecto a su diafragma (brevemente llamados objetivos simétricos u holosimétricos ), o que consisten en dos componentes similares, pero de diferente tamaño, colocados desde el diafragma en proporción a su tamaño y que presentan la misma curvatura a él (objetivos hemisimétricos); En estos sistemas tan w ′ / tan w = 1 . ^{[ 6 ]}

La constancia de a ' / a necesaria para que esta relación se cumpla fue señalada por RH Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) y Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); ha sido tratada por O. Lummer y por M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17, y 1898, 18, p.  4). Requiere que el centro del diafragma se reproduzca en los centros de las pupilas de entrada y salida sin aberración esférica. M. von Rohr demostró que para sistemas que no cumplen ni la condición de Airy ni la de Bow-Sutton, la relación ( a ' cos w ' )/( a tan w ) será constante para una distancia del objeto. Esta condición combinada se cumple exactamente para objetivos holosimétricos que reproducen con la escala 1, y para objetivos hemisimétricos, si la escala de reproducción es igual a la relación de los tamaños de los dos componentes. ^{[ 6 ]}

Modelo de Zernike de aberraciones

Los perfiles de frente de onda circulares asociados a aberraciones pueden modelarse matemáticamente mediante polinomios de Zernike . Desarrollados por Frits Zernike en la década de 1930, los polinomios de Zernike son ortogonales sobre un círculo de radio unitario. Un perfil de frente de onda complejo y aberrado puede ajustarse mediante polinomios de Zernike para obtener un conjunto de coeficientes de ajuste que representan individualmente diferentes tipos de aberraciones. Estos coeficientes de Zernike son linealmente independientes , por lo que las contribuciones de cada aberración al frente de onda general pueden aislarse y cuantificarse por separado.

Existen polinomios de Zernike pares e impares . Los polinomios de Zernike pares se definen como

$${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )}$$

y los polinomios de Zernike impares como

$${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi )}$$

donde m y n son enteros no negativos con n ≥ m , ϕ es el ángulo azimutal en radianes y ρ es la distancia radial normalizada. Los polinomios radiales${\displaystyle R_{n}^{m}}$no tienen dependencia azimutal y se definen como

$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\begin{cases}\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(nk)!}{k!\,\left({n+m \over 2}-k\right)!\,\left({nm \over 2}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k},&{\text{si }}nm{\text{ es par}}\\0,&{\text{si }}nm{\text{ es impar.}}\end{cases}}}$$

Los primeros polinomios de Zernike, multiplicados por sus respectivos coeficientes de ajuste, son: ^{[ 13 ]}

donde ρ es el radio de pupila normalizado con 0 ≤ _ρ ≤ 1 , ϕ es el ángulo azimutal alrededor de la pupila con 0 ≤ ϕ ≤ 2π , y los coeficientes de ajuste a0 _, ..., a8 son los errores del frente de onda en longitudes de onda.

Al igual que en la síntesis de Fourier mediante senos y cosenos , un frente de onda puede representarse perfectamente con un número suficientemente grande de polinomios de Zernike de orden superior. Sin embargo, los frentes de onda con gradientes muy pronunciados o una estructura de frecuencia espacial muy alta , como los producidos por la propagación a través de la turbulencia atmosférica o los campos de flujo aerodinámicos , no se modelan adecuadamente con polinomios de Zernike, que tienden a filtrar en paso bajo la definición espacial fina del frente de onda. En este caso, otros métodos de ajuste, como los fractales o la descomposición en valores singulares, pueden proporcionar mejores resultados.

Los polinomios circulares fueron introducidos por Frits Zernike para evaluar la imagen puntual de un sistema óptico aberrado, teniendo en cuenta los efectos de la difracción . La imagen puntual perfecta en presencia de difracción ya había sido descrita por Airy en 1835. Se necesitaron casi cien años para llegar a una teoría y modelado completos de la imagen puntual de sistemas aberrados (Zernike y Nijboer). El análisis de Nijboer y Zernike describe la distribución de intensidad cerca del plano focal óptimo. Recientemente se desarrolló una teoría extendida que permite el cálculo de la amplitud e intensidad de la imagen puntual en un volumen mucho mayor en la región focal ( teoría extendida de Nijboer-Zernike ). Esta teoría extendida de Nijboer-Zernike sobre la formación de la imagen puntual o "función de dispersión puntual" ha encontrado aplicaciones en la investigación general sobre la formación de imágenes, especialmente para sistemas con una alta apertura numérica , y en la caracterización de sistemas ópticos con respecto a sus aberraciones. ^{[ 14 ]}

La revisión anterior de los diversos errores de reproducción pertenece a la teoría de Abbe sobre las aberraciones, en la que se analizan por separado las aberraciones definidas; resulta muy adecuada para las necesidades prácticas, ya que en la construcción de un instrumento óptico se busca eliminar ciertos errores, cuya selección se justifica por la experiencia. Sin embargo, en el sentido matemático, esta selección es arbitraria; la reproducción de un objeto finito con una apertura finita implica, con toda probabilidad, un número infinito de aberraciones. Este número solo es finito si se supone que el objeto y la apertura son infinitamente pequeños de cierto orden ; y a cada orden de pequeñez infinita, es decir, a cada grado de aproximación a la realidad (a objetos y aperturas finitos), se le asocia un cierto número de aberraciones. Esta relación solo la proporcionan las teorías que tratan las aberraciones de forma general y analítica mediante series indefinidas. ^{[ 6 ]}

Un rayo que procede de un punto objeto O ( Figura 5 ) puede definirse mediante las coordenadas ( ξ , η ) . De este punto O en un plano objeto I , perpendicular al eje, y otras dos coordenadas ( x , y ) , el punto en el que el rayo interseca la pupila de entrada, es decir, el plano II . De manera similar, el rayo imagen correspondiente puede definirse mediante los puntos ( ξ ′ , η ′ ) y ( x ′ , y ′ ) , en los planos I ′ y II ′ . Los orígenes de estos cuatro sistemas de coordenadas planas pueden ser colineales con el eje del sistema óptico; y los ejes correspondientes pueden ser paralelos. Cada una de las cuatro coordenadas ξ ′ , η ′ , x ′ , y ′ son funciones de ξ , η , x , y ; y si se supone que el campo de visión y la apertura son infinitamente pequeños, entonces ξ , η , x , y son del mismo orden de infinitesimales; por consiguiente, al expandir ξ ′ , η ′ , x ′ , y ′ en potencias ascendentes de ξ , η , x , y , se obtienen series en las que solo es necesario considerar las potencias más bajas. Se observa fácilmente que si el sistema óptico es simétrico, los orígenes de los sistemas de coordenadas son colineales con el eje óptico y los ejes correspondientes son paralelos, entonces al cambiar los signos de ξ , η , x , y , los valores ξ ′ , η ′ , x ′ , y ′ también deben cambiar de signo, pero conservan sus valores aritméticos; esto significa que las series están restringidas a potencias impares de las variables no marcadas. ^{[ 6 ]}

La naturaleza de la reproducción consiste en que los rayos que parten de un punto O se unen en otro punto O ′ ; en general, esto no sucederá, ya que ξ ′ , η ′ varían si ξ , η son constantes, pero x , y son variables. Se puede suponer que los planos I ′ y II ′ se dibujan donde las imágenes de los planos I y II se forman mediante rayos cercanos al eje según las reglas gaussianas ordinarias; y mediante una extensión de estas reglas, que no se corresponde con la realidad, se podría construir el punto imagen gaussiano O ′ ₀ , con coordenadas ξ ​​′ ₀ , η ′ ₀ , del punto O a cierta distancia del eje. Escribiendo Δ ξ ′ = ξ ′ − ξ ′ ₀ y Δ η ′ = η ′ − η ′ ₀ , entonces Δ ξ ′ y Δ η ′ son las aberraciones pertenecientes a ξ , η y x , y son funciones de estas magnitudes que, cuando se expanden en serie, contienen solo potencias impares, por las mismas razones que se dieron anteriormente. Debido a las aberraciones de todos los rayos que pasan por O , se formará en el plano I ′ un parche de luz, cuyo tamaño depende de las potencias más bajas de ξ , η , x , y que contienen las aberraciones . Estos grados, denominados por J. Petzval ^{[ 15 ]} los órdenes numéricos de la imagen , son en consecuencia solo potencias impares; la condición para la formación de una imagen de orden m es que en la serie para Δ ξ ′ y Δ η ′ los coeficientes de las potencias de 3.º, 5.º, ... ( m − Los grados 2) deben desaparecer. Siendo las imágenes de la teoría de Gauss de tercer orden, el siguiente problema es obtener una imagen de quinto orden, o hacer que los coeficientes de las potencias de tercer grado sean cero. Esto requiere que se satisfagan cinco ecuaciones; en otras palabras, hay cinco alteraciones de tercer orden, cuya desaparición produce una imagen de quinto orden. ^{[ 6 ]}

La expresión para estos coeficientes en términos de las constantes del sistema óptico, es decir, los radios, espesores, índices de refracción y distancias entre las lentes, fue resuelta por L. von Seidel ; ^{[ 16 ]} en 1840, J. Petzval construyó su objetivo de retrato, a partir de cálculos similares que nunca se han publicado. ^{[ 17 ]} La teoría fue elaborada por S. Finterswalder, ^{[ 18 ]} quien también publicó un artículo póstumo de Seidel que contenía una breve visión de su trabajo; ^{[ 19 ]} una forma más simple fue dada por A. Kerber. ^{[ 20 ]} A. Konig y M. von Rohr ^{[ 21 ] : 317–323} han representado el método de Kerber, y han deducido las fórmulas de Seidel a partir de consideraciones geométricas basadas en el método de Abbe, y han interpretado geométricamente los resultados analíticos. ^{[ 21 ] : 212–316 [ 6 ]}

Las aberraciones también pueden expresarse mediante la función característica del sistema y sus coeficientes diferenciales, en lugar de mediante los radios, etc., de las lentes; estas fórmulas no son de aplicación inmediata, pero sí proporcionan la relación entre el número de aberraciones y el orden. Así, William Rowan Hamilton derivó las aberraciones de tercer orden. ^{[ 22 ]} y en épocas posteriores el método fue seguido por Clerk Maxwell ( Proc. London Math. Soc., 1874–1875; (véanse también los tratados de RS Heath y LA Herman), M. Thiesen ( Berlin. Akad. Sitzber., 1890, 35, p.  804), H. Bruns ( Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, p.  410), y particularmente exitoso por K. Schwarzschild ( Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, No. 1), quien así descubrió las aberraciones de quinto orden (de las cuales hay nueve), y posiblemente la demostración más corta de las fórmulas prácticas (Seidel). A. Gullstrand (véase supra, y Ann. d. Phys., 1905, 18, p.  941) fundó su teoría de las aberraciones en la geometría diferencial de superficies. ^{[ 6 ]}

Las aberraciones de tercer orden son: (1) aberración del punto del eje; (2) aberración de puntos cuya distancia al eje es muy pequeña, menor que la de tercer orden —la desviación de la condición sinusoidal y la coma se agrupan aquí en una misma clase—; (3) astigmatismo; (4) curvatura del campo; (5) distorsión. ^{[ 6 ]}

1. La aberración de tercer orden de los ejes se trata en todos los libros de texto de óptica. Es muy importante en el diseño de telescopios. En los telescopios, la apertura se suele considerar como el diámetro lineal del objetivo. No es lo mismo que la apertura del microscopio, que se basa en la pupila de entrada o el campo de visión visto desde el objeto y se expresa como una medida angular. Las aberraciones de orden superior en el diseño de telescopios pueden despreciarse en su mayoría. En los microscopios, no pueden despreciarse. Para una lente simple de espesor muy pequeño y potencia dada, la aberración depende de la relación de los radios r : r ′ , y es mínima (pero nunca cero) para un cierto valor de esta relación; varía inversamente con el índice de refracción (manteniendo constante la potencia de la lente). La aberración total de dos o más lentes muy delgadas en contacto, siendo la suma de las aberraciones individuales, puede ser cero. Esto también es posible si las lentes tienen el mismo signo algebraico. De lentes positivas delgadas con n = 1,5 , se necesitan cuatro para corregir la aberración esférica de tercer orden. Sin embargo, estos sistemas no son de gran importancia práctica. En la mayoría de los casos, se combinan dos lentes delgadas, una de las cuales tiene una aberración positiva tan fuerte ( subcorrección, véase supra) como la otra una negativa; la primera debe ser una lente positiva y la segunda una negativa; sin embargo, las potencias pueden diferir, de modo que se mantenga el efecto deseado de la lente. Generalmente es ventajoso obtener un gran efecto refractivo con varias lentes de menor potencia que con una sola lente de alta potencia. Con una, y también con varias, e incluso con un número infinito de lentes delgadas en contacto, no se pueden reproducir más de dos puntos del eje sin aberración de tercer orden. La ausencia de aberración para dos puntos del eje, uno de los cuales está infinitamente distante, se conoce como la condición de Herschel , formulada por John Herschel . ^{[ 23 ]} Todas estas reglas son válidas, ya que no se deben tener en cuenta los espesores y las distancias de las lentes. ^{[ 6 ]}
2. La condición de ausencia de coma en el tercer orden también es importante para los objetivos de los telescopios; se conoce como la condición de Fraunhofer . (4) Después de eliminar la aberración en el eje, la coma y el astigmatismo, la relación para la planitud del campo en el tercer orden se expresa mediante la ecuación de Petzval ,${\textstyle \sum _{\mathrm {I} }/r(n'-n)=0}$donde r es el radio de una superficie refractante, n y n ′ los índices de refracción de los medios vecinos y Σ el signo de sumatoria para todas las superficies refractantes. ^{[ 6 ]}

El problema clásico de la formación de imágenes consiste en reproducir perfectamente un plano finito (el objeto) sobre otro plano (la imagen) a través de una apertura finita. Es imposible hacerlo perfectamente para más de un par de planos; esto fue demostrado con creciente generalidad por Maxwell en 1858, por Bruns en 1895 y por Carathéodory en 1926, véase el resumen de Walther. ^{[ 25 ]} Sin embargo, para un solo par de planos (por ejemplo, para un único ajuste de enfoque de un objetivo), el problema puede, en principio, resolverse perfectamente. Ejemplos de un sistema teóricamente perfecto de este tipo incluyen la lente de Luneburg y el ojo de pez de Maxwell .

Los métodos prácticos resuelven este problema con una precisión que suele ser suficiente para el propósito específico de cada tipo de instrumento. El problema de encontrar un sistema que reproduzca un objeto dado en un plano dado con una magnificación dada (en la medida en que se deben tener en cuenta las aberraciones) podría abordarse mediante la teoría de la aproximación ; sin embargo, en la mayoría de los casos, las dificultades analíticas eran demasiado grandes para los métodos de cálculo antiguos, pero pueden mejorarse mediante la aplicación de sistemas informáticos modernos. No obstante, se han obtenido soluciones en casos especiales. ^{[ 26 ]} En la actualidad, los constructores casi siempre emplean el método inverso: componen un sistema a partir de ciertas experiencias, a menudo bastante personales, y prueban, mediante el cálculo trigonométrico de las trayectorias de varios rayos, si el sistema proporciona la reproducción deseada (ejemplos se dan en A. Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik , Leipzig y Berlín, 1902). Los radios, espesores y distancias se modifican continuamente hasta que los errores de la imagen se vuelven suficientemente pequeños. Mediante este método solo se investigan ciertos errores de reproducción, especialmente los de miembros individuales, o de todos, los mencionados anteriormente. La teoría de aproximación analítica se emplea a menudo de forma provisional, ya que su precisión no suele ser suficiente. ^{[ 6 ]}

Para minimizar la aberración esférica y la desviación de la condición sinusoidal en toda la apertura, se le asigna a un rayo con un ángulo de apertura finito u* (ancho de objetos infinitamente distantes: con una altura de incidencia finita h*) la misma distancia de intersección y la misma relación sinusoidal que a uno vecino del eje (u* o h* no pueden ser mucho menores que la mayor apertura U o H que se utilizará en el sistema). Los rayos con un ángulo de apertura menor que u* no tendrían la misma distancia de intersección ni la misma relación sinusoidal; estas desviaciones se denominan zonas, y el fabricante se esfuerza por reducirlas al mínimo. Lo mismo ocurre con los errores que dependen del ángulo del campo de visión, w: el astigmatismo, la curvatura de campo y la distorsión se eliminan para un valor determinado, w*; las zonas de astigmatismo, curvatura de campo y distorsión se presentan para valores menores de w. El óptico práctico denomina a estos sistemas: corregidos para el ángulo de apertura u* (la altura de incidencia h*) o el ángulo del campo de visión w*. La aberración esférica y los cambios de las razones sinusoidales se representan a menudo gráficamente como funciones de la apertura, del mismo modo que las desviaciones de dos superficies de imagen astigmáticas del plano de imagen del punto del eje se representan como funciones de los ángulos del campo de visión. ^{[ 6 ]}

La forma final de un sistema práctico se basa, por consiguiente, en un compromiso; el aumento de la apertura conlleva una disminución del campo de visión disponible, y viceversa. Sin embargo, una mayor apertura proporcionará una mayor resolución. Lo siguiente puede considerarse típico: ^{[ 6 ]}

1. Apertura máxima; las correcciones necesarias son para el punto del eje y la condición sinusoidal; los errores del campo de visión son prácticamente despreciables; ejemplo: objetivos de microscopio de alta potencia.
2. Lente gran angular ; las correcciones necesarias son: para astigmatismo, curvatura de campo y distorsión; los errores de apertura solo se consideran ligeramente; ejemplos: objetivos y oculares fotográficos de gran angular.
   Entre estos ejemplos extremos se encuentra el objetivo normal : este se corrige más en lo que respecta a la apertura; los objetivos para grupos, más en lo que respecta al campo de visión.
3. Los objetivos de larga distancia focal tienen campos de visión reducidos y las aberraciones axiales son muy importantes. Por lo tanto, las zonas de enfoque se mantendrán lo más pequeñas posible y el diseño deberá priorizar la simplicidad. Debido a esto, estos objetivos son los más adecuados para cálculos analíticos.

En los sistemas ópticos compuestos por lentes, la posición, la magnitud y los errores de la imagen dependen de los índices de refracción del vidrio empleado (véase Lente (óptica) y Aberración monocromática , más arriba). Dado que el índice de refracción varía con el color o la longitud de onda de la luz (véase dispersión ), se deduce que un sistema de lentes (sin corregir) proyecta imágenes de diferentes colores en posiciones y tamaños ligeramente diferentes y con diferentes aberraciones; es decir, existen diferencias cromáticas en las distancias de intersección, en los aumentos y en las aberraciones monocromáticas. Si se emplea luz mixta (por ejemplo, luz blanca), se forman todas estas imágenes y provocan una confusión denominada aberración cromática; por ejemplo, en lugar de un margen blanco sobre un fondo oscuro, se percibe un margen de color o un espectro estrecho. La ausencia de este error se denomina acromatismo, y un sistema óptico corregido de esta manera se denomina acromático. Se dice que un sistema está subcorregido cromáticamente cuando muestra el mismo tipo de error cromático que una lente positiva delgada; de lo contrario, se dice que está sobrecorregido. ^{[ 6 ]}

Si, en primer lugar, se desprecian las aberraciones monocromáticas —es decir, se acepta la teoría gaussiana—, entonces cada reproducción está determinada por las posiciones de los planos focales y la magnitud de las distancias focales, o si las distancias focales, como suele ocurrir, son iguales, por tres constantes de reproducción. Estas constantes están determinadas por los datos del sistema (radios, espesores, distancias, índices, etc., de las lentes); por lo tanto, su dependencia del índice de refracción y, en consecuencia, del color, ^{[ 6 ]} es calculable. ^{[ 27 ]} Los índices de refracción para diferentes longitudes de onda deben conocerse para cada tipo de vidrio utilizado. De esta manera, se mantienen las condiciones de que cualquier constante de reproducción sea igual para dos colores diferentes, es decir, esta constante está acromática. Por ejemplo, es posible, con una lente gruesa en el aire, acromatizar la posición de un plano focal de la magnitud de la distancia focal. Si las tres constantes de reproducción son acromáticas, entonces la imagen gaussiana para todas las distancias de los objetos es la misma para los dos colores, y se dice que el sistema está en acromatismo estable. ^{[ 6 ]}

En la práctica es más ventajoso (según Abbe) determinar la aberración cromática (por ejemplo, la de la distancia de intersección) para una posición fija del objeto y expresarla mediante una suma en la que cada componente contiene la cantidad debida a cada superficie refractante. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 6 ]} En un plano que contiene el punto de imagen de un color, otro color produce un disco de confusión; esto es similar a la confusión causada por dos zonas en la aberración esférica. Para objetos infinitamente distantes, el radio del disco cromático de confusión es proporcional a la apertura lineal e independiente de la distancia focal ( véase supra , Aberración monocromática del punto del eje ); y dado que este disco se vuelve menos dañino con una imagen creciente de un objeto dado, o con una distancia focal creciente, se deduce que el deterioro de la imagen es proporcional a la relación entre la apertura y la distancia focal, es decir, la apertura relativa. (Esto explica las gigantescas distancias focales en boga antes del descubrimiento del acromatismo). ^{[ 6 ]}

Ejemplos:

Newton no percibió la existencia de medios con diferentes poderes dispersivos, necesarios para el acromatismo; por consiguiente, construyó grandes reflectores en lugar de refractores. James Gregory y Leonhard Euler llegaron a la visión correcta a partir de una concepción errónea del acromatismo del ojo; esto fue determinado por Chester More Hall en 1728, Klingenstierna en 1754 y Dollond en 1757, quien construyó los célebres telescopios acromáticos. (Véase telescopio ). ^{[ 6 ]}

Vidrio con menor poder dispersivo (mayor${\displaystyle v}$) se denomina vidrio crown ; aquel con mayor poder dispersivo, vidrio flint . Para la construcción de una lente colectiva acromática (${\displaystyle f}$positivo) se deduce, mediante la ecuación (4), que debe elegirse una lente colectiva I. de vidrio crown y una lente dispersiva II. de vidrio flint; esta última, aunque más débil, corrige cromáticamente a la otra por su mayor poder dispersivo. Para una lente dispersiva acromática debe adoptarse lo contrario. Este es, en la actualidad, el tipo común, por ejemplo, de objetivo de telescopio; los valores de los cuatro radios deben satisfacer las ecuaciones (2) y (4). También pueden postularse otras dos condiciones: una es siempre la eliminación de la aberración en el eje; la segunda es la condición de Herschel ^{[ 23 ]} o la de Fraunhofer, siendo esta última la mejor (véase supra, Aberración monocromática ). En la práctica, sin embargo, a menudo es más útil evitar la segunda condición haciendo que las lentes tengan contacto, es decir, radios iguales. Según P. Rudolph (Eder's Jahrb. f. Photog., 1891, 5, p.  225; 1893, 7, p.  221), los objetivos cementados de lentes delgadas permiten la eliminación de la aberración esférica en el eje, si, como se indicó anteriormente, la lente colectiva tiene un índice de refracción menor; por otro lado, permiten la eliminación del astigmatismo y la curvatura del campo, si la lente colectiva tiene un índice de refracción mayor (esto se deduce de la ecuación de Petzval; véase L. Seidel, Astr. Nachr., 1856, p.  289). Si el sistema cementado es positivo, entonces la lente más potente debe ser positiva; y, según (4), a la mayor potencia le corresponde la menor potencia dispersiva (mayor${\displaystyle v}$), es decir, vidrio crown; en consecuencia, el vidrio crown debe tener el mayor índice de refracción para imágenes astigmáticas y planas. Sin embargo, en todos los tipos de vidrio anteriores, el poder dispersivo aumentaba con el índice de refracción; es decir,${\displaystyle v}$disminuyó a medida que${\displaystyle n}$aumentó; pero algunos de los vidrios de Jena de E. Abbe y O. Schott eran vidrios crown de alto índice de refracción, y los sistemas acromáticos de dichos vidrios crown, con vidrios flint de menor índice de refracción, se denominan nuevos acromáticos, y fueron empleados por P. Rudolph en los primeros anastigmáticos (objetivos fotográficos). ^{[ 6 ]}

En lugar de hacer${\displaystyle df}$Si desaparece, se le puede asignar un cierto valor que producirá, mediante la suma de las dos lentes, cualquier desviación cromática deseada, por ejemplo, suficiente para eliminar una presente en otras partes del sistema. Si las lentes I y II están cementadas y tienen el mismo índice de refracción para un color, entonces su efecto para ese color es el de una lente de una sola pieza; mediante dicha descomposición de una lente se puede hacer cromática o acromática a voluntad, sin alterar su efecto esférico. Si su efecto cromático (${\displaystyle df/f}$) ser mayor que la de la misma lente, esta hecha del vidrio más dispersivo de los dos empleados, se denomina hipercromática. ^{[ 6 ]}

Para dos lentes delgadas separadas por una distancia${\displaystyle D}$La condición para el acromatismo es${\displaystyle D=v_{1}f_{1}+v_{2}f_{2}}$; si${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$(por ejemplo, si las lentes están hechas del mismo vidrio), esto se reduce a${\displaystyle D=(f_{1}+f_{2})/2}$, conocida como la condición para los ojos. ^{[ 6 ]}

Si una constante de reproducción, por ejemplo la distancia focal, se iguala para dos colores, entonces no es la misma para otros colores, si se emplean dos lentes diferentes. Por ejemplo, la condición de acromatismo (4) para dos lentes delgadas en contacto se cumple solo en una parte del espectro, ya que${\displaystyle dn_{2}/dn_{1}}$varía dentro del espectro. Este hecho fue comprobado por primera vez por J. Fraunhofer, quien definió los colores mediante las líneas oscuras del espectro solar; y demostró que la relación de dispersión de dos vidrios variaba aproximadamente un 20% desde el rojo hasta el violeta (la variación para el vidrio y el agua es de aproximadamente un 50%). Por lo tanto, si para dos colores, a y b,${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f}$, entonces para un tercer color, c, la distancia focal es diferente; es decir, si c se encuentra entre a y b, entonces${\displaystyle f_{c}<f}$y viceversa; estos resultados algebraicos se derivan del hecho de que hacia el rojo predomina la dispersión del vidrio crown positivo, y hacia el violeta la del vidrio flint negativo. Estos errores cromáticos de los sistemas, que son acromáticos para dos colores, se denominan espectro secundario y dependen de la apertura y la distancia focal del mismo modo que los errores cromáticos primarios. ^{[ 6 ]}

En la Figura 6 , tomada de Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs de M. von Rohr , las abscisas son longitudes focales y las ordenadas, longitudes de onda. Las líneas de Fraunhofer utilizadas se muestran en la tabla adjunta. ^{[ 6 ]}

Las distancias focales se igualan para las líneas C y F. En las proximidades de 550  nm, la tangente a la curva es paralela al eje de longitudes de onda; y la distancia focal varía mínimamente en un rango de color bastante amplio, por lo tanto, en esta zona la unión de colores es óptima. Además, esta región del espectro es la que parece más brillante para el ojo humano y, en consecuencia, esta curva del espectro secundario, obtenida al realizar${\displaystyle f_{C}=f_{F}}$, es, según los experimentos de Sir GG Stokes (Proc. Roy. Soc., 1878), el más adecuado para instrumentos visuales ( acromatismo óptico, ). De manera similar, para sistemas utilizados en fotografía, el vértice de la curva de color debe colocarse en la posición de máxima sensibilidad de las placas; esto generalmente se supone que está en G'; y para lograr esto las líneas F y de mercurio violeta se unen. Este artificio se adopta especialmente en objetivos para fotografía astronómica ( acromatismo actínico puro ). Para la fotografía ordinaria, sin embargo, existe esta desventaja: la imagen en la pantalla de enfoque y el ajuste correcto de la placa sensible fotográfica no están registrados; en fotografía astronómica esta diferencia es constante, pero en otros tipos depende de la distancia de los objetos. Por esta razón las líneas D y G' se unen para objetivos fotográficos ordinarios; la imagen óptica así como la actínica son cromáticamente inferiores, pero ambas se encuentran en el mismo lugar; y, en consecuencia, la mejor corrección reside en F (esto se conoce como corrección actínica o ausencia de foco químico ). ^{[ 6 ]}

Si en dos lentes en contacto hay las mismas distancias focales para tres colores a, b y c, es decir${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f_{c}=f}$, entonces la dispersión parcial relativa${\displaystyle (n_{c}-n_{b})(n_{a}-n_{b})}$debe ser igual para los dos tipos de vidrio empleados. Esto se deduce al considerar la ecuación (4) para los dos pares de colores ac y bc. Hasta hace poco no se conocían vidrios con un grado de absorción proporcional; pero R. Blair (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, p.  3), P. Barlow y FS Archer superaron la dificultad construyendo lentes fluidas entre paredes de vidrio. Fraunhofer preparó vidrios que reducían el espectro secundario; pero el éxito permanente solo se aseguró con la introducción de los vidrios de Jena por E. Abbe y O. Schott. Al usar vidrios que no tienen dispersión proporcional, la desviación de un tercer color puede eliminarse con dos lentes, si se deja un intervalo entre ellas; o con tres lentes en contacto, que no necesariamente tienen que ser todos de los vidrios antiguos. Al unir tres colores se obtiene un acromatismo de orden superior ; aún existe un espectro terciario residual, pero siempre puede despreciarse. ^{[ 6 ]}

La teoría gaussiana es solo una aproximación; aún se producen aberraciones monocromáticas o esféricas, que serán diferentes para cada color; y si se compensaran para un color, la imagen de otro color resultaría perturbadora. La más importante es la diferencia cromática de la aberración del punto del eje, que sigue presente y perturba la imagen, incluso después de que los rayos paraaxiales de diferentes colores se unan mediante una combinación adecuada de vidrios. Si un sistema colectivo se corrige para el punto del eje para una longitud de onda definida, entonces, debido a la mayor dispersión en los componentes negativos —los vidrios flint—, surgirá una sobrecorrección para las longitudes de onda más cortas (este es el error de los componentes negativos) y una subcorrección para las longitudes de onda más largas (el error de las lentes de vidrio crown que predomina en el rojo). Este error fue tratado por Jean le Rond d'Alembert y, en especial detalle, por C.F. Gauss. Aumenta rápidamente con la apertura y es más importante con aperturas medias que el espectro secundario de los rayos paraaxiales; En consecuencia, la aberración esférica debe eliminarse para dos colores, y si esto es imposible, entonces debe eliminarse para aquellas longitudes de onda particulares que sean más efectivas para el instrumento en cuestión (una representación gráfica de este error se presenta en M. von Rohr, Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs ). ^{[ 6 ]}

La condición para la reproducción de un elemento de superficie en lugar de un punto reproducido nítidamente —la constante de la relación sinusoidal— también debe cumplirse con grandes aperturas para varios colores. E. Abbe logró calcular objetivos de microscopio libres de error del punto del eje y que satisfacían la condición sinusoidal para varios colores, los cuales, por lo tanto, según su definición, eran aplanáticos para varios colores ; a estos sistemas los denominó apocromáticos . Sin embargo, si bien la magnificación de las zonas individuales es la misma, no lo es para el rojo que para el azul; y existe una diferencia cromática de magnificación. Esta se produce en la misma magnitud, pero en sentido opuesto, por los oculares que Abbe utilizó con estos objetivos ( oculares compensadores ), de modo que se elimina en la imagen del microscopio completo. Los mejores objetivos de telescopio y los objetivos fotográficos destinados al trabajo tricolor también son apocromáticos, aunque no posean la misma calidad de corrección que los objetivos de microscopio. Las diferencias cromáticas de otros errores de reproducción rara vez tienen importancia práctica. ^{[ 6 ]}

• Aberraciones del ojo
• Telescopio óptico §  Las cinco aberraciones de Seidel
• Codificación de frente de onda

• Objetivos de microscopio: Sección de aberraciones ópticas del sitio web Molecular Expressions , Michael W. Davidson, Mortimer Abramowitz, Olympus America Inc. y la Universidad Estatal de Florida.