Método de un solo paso

El desarrollo del cálculo diferencial e integral por el físico y matemático inglés Isaac Newton y, de forma independiente, por el polímata alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en el último tercio del siglo XVII, constituyó un importante impulso para la matematización de la ciencia en la Edad Moderna. Estos métodos formaron el punto de partida del subcampo matemático del análisis y son de vital importancia en todas las ciencias naturales y de la ingeniería. Mientras que Leibniz llegó al cálculo diferencial a partir del problema geométrico de determinar las tangentes a curvas dadas, Newton partió de la cuestión de cómo determinar los cambios en una magnitud física en un momento específico. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, cuando un cuerpo se mueve, su velocidad media es simplemente la distancia recorrida dividida por el tiempo necesario para recorrerla. Sin embargo, para formular matemáticamente la velocidad instantánea${\textstyle v(t)}$del cuerpo en un momento determinado${\displaystyle t}$, es necesaria una transición límite: Consideremos intervalos de tiempo cortos de longitud${\displaystyle \Delta t}$las distancias recorridas${\displaystyle \Delta x}$y las velocidades medias correspondientes${\displaystyle {\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}}$Si ahora se permite que el período de tiempo Δ 𝑡 converja hacia cero y si las velocidades promedio también se aproximan a un valor fijo, entonces este valor se denomina velocidad (instantánea).${\textstyle v(t)}$en el momento indicado${\displaystyle t}$. Si${\displaystyle \Delta t}$denota la posición del cuerpo en el instante 𝑡, luego escribe${\displaystyle v(t)=x'(t)}$y llamar${\displaystyle v}$el derivado de${\displaystyle x}$.

El paso decisivo en la dirección de los modelos de ecuaciones diferenciales es ahora la pregunta inversa: En el ejemplo del cuerpo en movimiento, sea la velocidad${\textstyle v(t)}$ser conocido en cada momento 𝑡 y su posición${\displaystyle x(t)}$se puede determinar a partir de esto. Está claro que la posición inicial del cuerpo en un instante de tiempo 𝑡 0 también debe conocerse para poder resolver este problema sin ambigüedad. Por lo tanto, estamos buscando una función${\displaystyle x(t)}$con${\displaystyle x'(t)=v(t)}$que cumple la condición inicial${\displaystyle x'(t)=v(t)}$con valores dados${\displaystyle t_{0}}$y${\displaystyle x_{0}}$.

En el ejemplo de determinar la posición 𝑥 de un cuerpo a partir de su velocidad, la derivada de la función que se busca se da explícitamente. Sin embargo, en la mayoría de los casos, existe el importante caso general de ecuaciones diferenciales ordinarias para una variable buscada.${\displaystyle y}$: Debido a las leyes de la naturaleza o a las suposiciones del modelo, se conoce una relación funcional que especifica cómo la derivada${\displaystyle y'(t)}$de la función que se va a determinar se puede calcular a partir de${\displaystyle t}$y del valor (desconocido)${\displaystyle y(t)}$Además, se debe proporcionar una condición inicial, que se puede obtener, por ejemplo, a partir de una medición de la variable requerida en un punto fijo en el tiempo. En resumen, existe el siguiente tipo general de tarea: Encontrar la función${\displaystyle y}$que satisface las ecuaciones

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}$

se cumple, donde${\displaystyle f}$es una función dada.

Un ejemplo sencillo es una variable${\displaystyle y}$que crece exponencialmente . Esto significa que el cambio instantáneo, es decir, la derivada${\displaystyle y'(t)}$es proporcional a${\displaystyle y(t)}$mismo. Por lo tanto,${\displaystyle y'(t)=\lambda y(t)}$con una tasa de crecimiento${\displaystyle \lambda }$y, por ejemplo, una condición inicial${\displaystyle y(0)=y_{0}}$En este caso, la solución requerida 𝑦 ya se puede encontrar utilizando cálculo diferencial elemental y especificar mediante la función exponencial :${\displaystyle y(t)=y_{0}e^{\lambda t}}$.

La función requerida${\displaystyle y}$en una ecuación diferencial puede ser vectorial, es decir, para cada${\displaystyle t}$,${\ Displaystyle y (t) = (y_ {1} (t), \ dotsc, y_ {d} (t))}$puede ser un vector con${\displaystyle d}$componentes. Esto también se conoce como un${\displaystyle d}$sistema de ecuaciones diferenciales de dimensión . En el caso de un cuerpo en movimiento,${\displaystyle y(t)}$es su posición en${\displaystyle d}$espacio euclidiano de -dimensiones y${\displaystyle y'(t)}$es su velocidad en el tiempo${\displaystyle t}$Por lo tanto, la ecuación diferencial especifica la velocidad de la trayectoria con su dirección y magnitud en cada punto del tiempo y el espacio. A partir de esto, se calcula la trayectoria en sí.

En la sencilla ecuación diferencial de crecimiento exponencial considerada anteriormente como ejemplo, la función solución podía especificarse directamente. Esto generalmente ya no es posible para problemas más complicados. Bajo ciertas condiciones adicionales, entonces es posible demostrar que existe una solución claramente determinada al problema de valor inicial para la función.${\displaystyle f}$Sin embargo, esto ya no puede calcularse explícitamente mediante métodos de análisis de solución (como la separación de variables , el método exponencial o la variación de las constantes). En este caso, se pueden utilizar métodos numéricos para obtener aproximaciones de la solución buscada.

Los métodos para la solución numérica de problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden dividir a grandes rasgos en dos grandes grupos: los métodos de un paso y los métodos de múltiples pasos. Ambos grupos tienen en común que calculan aproximaciones.${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\dotsc }$para los valores de función deseados${\displaystyle y(t_{0}),y(t_{1}),y(t_{2}),\dotsc }$en ciertos puntos${\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots }$paso a paso. La característica definitoria de los métodos de un paso es que solo la aproximación "actual"${\displaystyle y_{j}}$se utiliza para determinar la siguiente aproximación${\displaystyle y_{j+1}}$En cambio, los métodos de varios pasos también incluyen aproximaciones calculadas previamente; por lo tanto, un método de tres pasos utilizaría${\displaystyle y_{j-1}}$y${\displaystyle y_{j-2}}$para determinar la nueva aproximación${\displaystyle y_{j+1}}$además de${\displaystyle y_{j}}$.

El método de un paso más simple y básico es el método explícito de Euler, introducido por el matemático y físico suizo Leonhard Euler en 1768 en su libro de texto Institutiones Calculi Integralis. ^{[ 2 ]} La idea de este método es aproximar la solución buscada por una función lineal a trozos en la que el gradiente del tramo recto viene dado por${\displaystyle t_{j}}$en cada paso desde el punto${\displaystyle t_{j+1}}$hasta el punto${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$. En más detalle: La definición del problema ya proporciona un valor de la función que se busca, a saber:${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$. Sin embargo, la derivada en este punto también se conoce como${\displaystyle y'(t_{0})=f(t_{0},y_{0})}$Se aplica. Esto permite determinar la tangente a la gráfica de la función solución y usarla como aproximación. En el punto${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$los siguientes resultados con el tamaño del paso${\displaystyle h_{0}:=t_{1}-t_{0}}$

${\displaystyle y(t_{1})\approx y_{0}+h_{0}f(t_{0},y_{0})=:y_{1}}$.

Este procedimiento puede continuarse ahora con los siguientes pasos. En general, esto da como resultado la siguiente regla de cálculo para el método explícito de Euler.

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j},y_{j}),\quad j=0,1,2,\dotsc }$

con los incrementos${\displaystyle h_{j}=t_{j+1}-t_{j}}$. ^{[ 3 ]}

El método explícito de Euler es el punto de partida para numerosas generalizaciones en las que el gradiente${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$se reemplaza por gradientes que aproximan el comportamiento de la solución entre los puntos${\displaystyle t_{j}}$y${\displaystyle t_{j+1}}$más precisamente. Una idea adicional para métodos de un paso la proporciona el método implícito de Euler, que utiliza${\displaystyle f(t_{j+1},y_{j+1})}$como el gradiente. A primera vista, esta elección no parece muy adecuada, ya que${\displaystyle y_{j+1}}$es desconocido. Sin embargo, como paso procedimental, ahora obtenemos la ecuación.

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j+1},y_{j+1})}$

de cuál${\displaystyle y_{j+1}}$se puede calcular (utilizando un método numérico si es necesario). Si, por ejemplo, se selecciona como pendiente la media aritmética de las pendientes del método de Euler explícito e implícito, se obtiene el método trapezoidal implícito. A su vez, se puede obtener un método explícito a partir de este si, por ejemplo, la desconocida${\displaystyle y_{j+1}}$El lado derecho de la ecuación se aproxima utilizando el método explícito de Euler, el llamado método de Heun. ^{[ 4 ]} Todos estos métodos y todas las demás generalizaciones tienen en común la idea básica de los métodos de un paso: el paso

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}\Phi}$

con un gradiente${\displaystyle \Phi }$que pueden depender de${\displaystyle t_{j}}$,${\displaystyle y_{j}}$y${\displaystyle h_{j}}$así como (para métodos implícitos) en${\displaystyle y_{j+1}}$.

Para un procedimiento práctico de un solo paso, el calculado${\displaystyle y_{j}}$deberían ser buenas aproximaciones para los valores${\displaystyle y(t_{j})}$de la solución exacta${\displaystyle y}$en ese punto${\displaystyle t_{j}}$Como las variables son generalmente${\displaystyle d}$Vectores de dimensión , la calidad de esta aproximación se mide utilizando una norma vectorial como${\displaystyle \|y_{j}-y(t_{j})\|}$, el error en el punto${\displaystyle t_{j}}$Es deseable que estos errores converjan rápidamente a cero para todos${\displaystyle j}$si se permite que los tamaños de paso converjan a cero. Para capturar también el caso de tamaños de paso no constantes,${\displaystyle h}$se define más precisamente como el máximo de los tamaños de paso utilizados y el comportamiento del error máximo en todos los puntos${\displaystyle j}$se considera en comparación con potencias de${\displaystyle h}$Se dice que el método de un paso para resolver el problema de valor inicial dado tiene un orden de convergencia${\displaystyle p\geq 1}$si la estimación

${\displaystyle \max _{j=0,\dotsc ,n}\|y_{j}-y(t_{j})\|\leq Ch^{p}}$

Se aplica a todos los suficientemente pequeños${\displaystyle h}$con una constante${\displaystyle C>0}$que es independiente de${\displaystyle h}$. ^{[ 6 ]} El orden de convergencia es el parámetro más importante para comparar diferentes métodos de un paso. ^{[ 7 ]} Un método con un orden de convergencia más alto${\displaystyle p}$Generalmente, ofrece un error total menor para un tamaño de paso dado o, por el contrario, se requieren menos pasos para lograr una precisión dada. Para un método con${\displaystyle p=1}$, es de esperar que el error solo se reduzca aproximadamente a la mitad si el tamaño del paso se reduce a la mitad. Con un método de orden de convergencia${\displaystyle p=4}$Por otro lado, se puede suponer que el error se reduce en un factor de aproximadamente${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{4}={\tfrac {1}{16}}}$.

Los errores${\displaystyle \|y_{j}-y(t_{j})\|}$Los considerados en la definición del orden de convergencia se componen de dos componentes individuales de una manera que inicialmente parece complicada: Por un lado, por supuesto, dependen del error que comete el método en un solo paso al aproximar el gradiente desconocido de la función que busca la función del método. Por otro lado, sin embargo, también debe tenerse en cuenta que el punto de partida${\displaystyle (t_{j},y_{j})}$El resultado de un paso generalmente no coincide con el punto de partida exacto.${\displaystyle (t_{j},y(t_{j}))}$Por lo tanto, el error posterior a este paso también depende de todos los errores que ya se hayan cometido en los pasos anteriores. Debido a la definición uniforme de los procedimientos de un solo paso, que difieren únicamente en la elección de la función del procedimiento.${\displaystyle \Phi }$Sin embargo, se puede demostrar que (bajo ciertas condiciones técnicas en${\displaystyle \Phi }$) se puede inferir directamente el orden de convergencia a partir del orden de error en un solo paso, el llamado orden de consistencia.

El concepto de consistencia es un concepto general y central de las matemáticas numéricas modernas. Si bien la convergencia de un método implica investigar qué tan bien coinciden las aproximaciones numéricas con la solución exacta, en términos simplificados, en el caso de la consistencia se plantea la pregunta "inversa": ¿Qué tan bien cumple la solución exacta con la especificación del método? En esta teoría general, un método es convergente si es consistente y estable. Para simplificar la notación, la siguiente consideración supone que un procedimiento explícito de un solo paso

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h\Phi (t_{j},y_{j},h)}$

con un tamaño de paso constante${\displaystyle h}$Existe. Con la solución verdadera${\displaystyle t\mapsto y(t)}$, el error de truncamiento local (también llamado error de proceso local)${\displaystyle \eta }$se define como ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \eta (t,h)=y(t)+h\Phi (t,y(t),h)-y(t+h)}$.

Por lo tanto, se asume que se conoce la solución exacta y se inicia un paso del método en el punto${\displaystyle (t,y(t))}$y forma la diferencia con la solución exacta en el punto${\displaystyle t+h}$Esto define: Un método de un paso tiene el orden de consistencia${\displaystyle p\geq 1}$si la estimación

${\displaystyle \|\eta (t,h)\|\leq Ch^{p+1}}$

Se aplica a todos los suficientemente pequeños${\displaystyle h}$con una constante${\displaystyle C>0}$que es independiente de${\displaystyle h}$.

La diferencia más notable entre las definiciones del orden de consistencia y el orden de convergencia es la potencia${\displaystyle h^{p+1}}$en lugar de${\displaystyle h^{p}}$Esto puede interpretarse claramente como que se "pierde" una potencia del tamaño del paso durante la transición del error local al global. Se aplica el siguiente teorema, que es fundamental para la teoría de los métodos de un paso: ^{[ 9 ]}

Si la función del proceso${\displaystyle \Phi }$es Lipschitz-continuo y el proceso de un paso asociado tiene el orden de consistencia${\displaystyle p}$, entonces también tiene el orden de convergencia${\displaystyle p}$.

La continuidad de Lipschitz de la función del proceso como requisito adicional para la estabilidad generalmente siempre se cumple si la función${\displaystyle f}$La ecuación diferencial en sí misma es Lipschitz continua. Este requisito debe asumirse para la mayoría de las aplicaciones de todos modos para garantizar la resolubilidad inequívoca del problema de valor inicial. Según el teorema, por lo tanto, es suficiente determinar el orden de consistencia de un método de un paso. En principio, esto se puede lograr mediante el desarrollo de Taylor de${\displaystyle \eta (t,h)}$a potencias de${\displaystyle h}$En la práctica, las fórmulas resultantes para órdenes superiores se vuelven muy complicadas y confusas, por lo que se requieren conceptos y notaciones adicionales. ^{[ 10 ]}

Como demostró el matemático francés Augustin-Louis Cauchy alrededor de 1820, el método de Euler tiene un orden de convergencia de 1. Si promedias las pendientes${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$del método explícito de Euler y${\displaystyle f(t_{j+1},y_{j+1})}$del método implícito de Euler, como existen en los dos puntos extremos de un paso, ^{[ 15 ]} se puede esperar obtener una mejor aproximación en todo el intervalo. De hecho, se puede demostrar que el método trapezoidal implícito obtenido de esta manera

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+{\frac {h}{2}}{\Big (}f(t_{j},y_{j})+f(t_{j+1},y_{j+1}){\Big )}}$

tiene un orden de convergencia de 2. Este método tiene muy buenas propiedades de estabilidad, pero es implícito, lo que significa que se debe resolver una ecuación para 𝑦 𝑗 + 1 en cada paso. Si esta variable se aproxima en el lado derecho de la ecuación usando el método explícito de Euler, el resultado es el método explícito de Heun ^{[ 16 ].}

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+{\frac {h}{2}}{\Big (}f(t_{j},y_{j})+f{\big (}t_{j+1},y_{j}+hf(t_{j},y_{j}){\big )}{\Big )}}$,

que también tiene un orden de convergencia de 2. Otro método explícito simple de orden 2, el método de Euler mejorado, se obtiene mediante la siguiente consideración: Una pendiente "media" en el paso del método sería la pendiente de la solución 𝑦 en el punto medio del paso, es decir, en el punto${\displaystyle y_{j+1}}$Sin embargo, como la solución es desconocida, se aproxima mediante un paso de Euler explícito con la mitad del tamaño del paso. Esto da como resultado el siguiente procedimiento.

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+hf{\big (}t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}f(t_{j},y_{j}){\big )}}$.

Estos métodos de un paso de orden 2 fueron publicados en 1895 como mejoras del método de Euler por el matemático alemán Carl Runge. ^{[ 17 ]}

Las ideas antes mencionadas para métodos simples de un solo paso conducen a la importante clase de métodos de Runge-Kutta cuando se generalizan aún más. Por ejemplo, el método de Heun se puede presentar más claramente de la siguiente manera: Primero, una pendiente auxiliar${\displaystyle k_{1}=f(t_{j},y_{j})}$se calcula, concretamente la pendiente del método explícito de Euler. Esto se utiliza para determinar una pendiente auxiliar adicional, aquí.${\displaystyle k_{2}=f(t_{j}+h,y_{j}+hk_{1})}$El gradiente del proceso real${\displaystyle \Phi }$El valor utilizado se calcula entonces como un promedio ponderado de los gradientes auxiliares, es decir${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k_{1}+{\tfrac {1}{2}}k_{2}}$en el método de Heun. Este procedimiento se puede generalizar a más de dos pendientes auxiliares. Un${\displaystyle s}$- -etapa El método Runge-Kutta calcula primero las pendientes auxiliares${\displaystyle k_{1},\dotsc ,k_{s}}$evaluando 𝑓 en puntos adecuados y luego${\displaystyle \Phi }$como promedio ponderado. En un método explícito de Runge-Kutta, las pendientes auxiliares${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dotsc }$se calculan directamente una tras otra; en un método implícito, se obtienen como soluciones a un sistema de ecuaciones. Un ejemplo típico es el método clásico explícito de Runge-Kutta de orden 4, que a veces se denomina simplemente método de Runge-Kutta: Primero, las cuatro pendientes auxiliares ^{[ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{j},y_{j})\\k_{2}&=f(t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}k_{2})\\k_{4}&=f(t_{j}+h,y_{j}+hk_{3})\end{aligned}}}$

y luego se calcula el promedio ponderado como la pendiente del proceso

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}k_{3}+{\tfrac {1}{6}}k_{4}}$

Se utiliza. Este método bien conocido fue publicado por el matemático alemán Wilhelm Kutta en 1901, después de que Karl Heun hubiera encontrado un método de tres pasos y un paso de orden 3 un año antes. ^{[ 19 ]}

La construcción de métodos explícitos de orden aún superior con el menor número posible de pasos es un problema matemáticamente bastante exigente. Como John C. Butcher pudo demostrar en 1965, por ejemplo, solo hay un mínimo de seis pasos para el orden 5; un método explícito de Runge-Kutta de orden 8 requiere al menos 11 pasos. En 1978, el matemático austriaco Ernst Hairer encontró un método de orden 10 con 17 niveles. Los coeficientes para dicho método deben satisfacer 1205 ecuaciones determinantes. Con los métodos implícitos de Runge-Kutta, ^{[ 20 ]} la situación es más simple y clara: para cada número de pasos${\displaystyle s}$Hay un método de orden${\displaystyle p=2s}$ ; este es también el orden máximo alcanzable. ^{[ 21 ]}

La idea de extrapolación no se limita a la solución de problemas de valor inicial con métodos de un paso, sino que puede aplicarse de forma análoga a todos los métodos numéricos que discretizan el problema a resolver con un tamaño de paso.${\displaystyle h}$Un ejemplo bien conocido de método de extrapolación es la integración de Romberg para el cálculo numérico de integrales. En general, sea${\displaystyle v}$sea ​​un valor que se va a determinar numéricamente, en el caso de este artículo, por ejemplo, el valor de la función solución de un problema de valor inicial en un punto dado. Un método numérico, por ejemplo un método de un paso, calcula un valor aproximado.${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$para esto, que depende de la elección del tamaño del paso${\displaystyle h>0}$. Se supone que el método es convergente, es decir que${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$converge a${\displaystyle v}$cuando${\displaystyle h}$converge a cero. Sin embargo, esta convergencia es solo una afirmación puramente teórica, ya que los valores aproximados${\displaystyle {\tilde {v}}(h_{1}),{\tilde {v}}(h_{2}),\dotsc ,{\tilde {v}}(h_{m})}$se puede calcular para un número finito de tamaños de paso diferentes${\displaystyle h_{1}>h_{2}>\ldots >h_{m}}$, pero por supuesto no se puede permitir que el tamaño del paso "converja a cero". Sin embargo, las aproximaciones calculadas para diferentes tamaños de paso pueden interpretarse como información sobre la función (desconocida).${\displaystyle {\tilde {v}}}$: En los métodos de extrapolación,${\displaystyle {\tilde {v}}}$se aproxima mediante un polinomio de interpolación, es decir, mediante un polinomio${\displaystyle P}$con ^{[ 22 ]}

${\displaystyle P(h_{k})={\tilde {v}}(h_{k})}$

para${\displaystyle k=1,2,\dotsc ,m}$. El valor${\displaystyle P(0)}$del polinomio en el punto${\displaystyle h=0}$luego se utiliza como una aproximación computable para el valor límite no computable de${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$para${\displaystyle h}$hacia cero. Un algoritmo de extrapolación exitoso para problemas de valor inicial fue publicado por Roland Bulirsch y Josef Stoer en 1966. ^{[ 23 ]}

Un ejemplo concreto en el caso de un método de ordenación de un solo paso${\displaystyle p}$puede ilustrar el procedimiento general de extrapolación. Con dicho método, la aproximación calculada para tamaños de paso pequeños ℎ se puede describir fácilmente mediante un polinomio de la forma

${\displaystyle P(h)=a+bh^{p}}$

con parámetros inicialmente desconocidos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. Si ahora calculas dos aproximaciones${\displaystyle y_{h_{1}}}$y${\displaystyle y_{h_{2}}}$utilizando el método para un tamaño de paso${\displaystyle h_{1}}$y para la mitad del tamaño del paso${\displaystyle h_{2}={\tfrac {1}{2}}h_{1}}$, dos ecuaciones lineales para las incógnitas${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se obtienen a partir de las condiciones de interpolación${\displaystyle P(h_{1})=y_{h_{1}}}$y${\displaystyle P(h_{2})=y_{h_{2}}}$.

El valor extrapolado a

${\displaystyle P(0)=a=y_{h_{2}}+{\frac {y_{h_{2}}-y_{h_{1}}}{2^{p}-1}}}$

es entonces generalmente una aproximación significativamente mejor que los dos valores calculados inicialmente. Se puede demostrar que el orden del método de un paso obtenido de esta manera es al menos${\displaystyle p+1}$, es decir, al menos 1 mayor que el método original. ^{[ 24 ]}

Una ventaja del método de un solo paso es que cualquier tamaño de paso${\displaystyle j}$puede utilizarse en cada paso 𝑗 independientemente de los demás pasos. En la práctica, esto plantea la cuestión de cómo seleccionar ℎ 𝑗. En aplicaciones reales, siempre habrá una tolerancia de error con la que se calculará la solución de un problema de valor inicial; por ejemplo, sería inútil determinar una aproximación numérica significativamente más "precisa" que los datos para los valores iniciales y los parámetros del problema dado, que están sujetos a errores de medición . El objetivo será, por lo tanto, seleccionar los tamaños de paso de tal manera que, por un lado, se respeten las tolerancias de error especificadas y, por otro lado, se utilicen la menor cantidad de pasos posible para mantener el esfuerzo computacional al mínimo. Este problema, en el que se da una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial, desempeña un papel central en todas las ciencias naturales y de la ingeniería y también está adquiriendo cada vez más importancia en las ciencias económicas y sociales, por ejemplo. Los problemas de valor inicial se utilizan para analizar, simular o predecir procesos dinámicos. ^{[ 25 ]}

Para problemas de valor inicial bien condicionados , se puede demostrar que el error global del proceso es aproximadamente igual a la suma de los errores de truncamiento locales.${\displaystyle \eta _{j}:=\|\eta (t_{j},h_{j})\|}$en los pasos individuales. Por lo tanto, el mayor posible${\displaystyle h_{j}}$debe seleccionarse como el tamaño del paso, para el cual${\displaystyle \eta _{j}}$está por debajo de un umbral de tolerancia seleccionado. El problema aquí es que${\displaystyle \eta _{j}}$no se puede calcular directamente, ya que depende de la solución exacta desconocida.${\displaystyle y(t_{j})}$del problema de valor inicial en el punto${\displaystyle t_{j}}$Por lo tanto, la idea básica del control del tamaño del paso es aproximar${\displaystyle y(t_{j})}$con un método que es más preciso que el método básico subyacente. ^{[ 26 ]}

Dos ideas básicas para el control del ancho de paso son la reducción a la mitad del ancho de paso y los procesos integrados. Con la reducción a la mitad del tamaño de paso, el resultado de dos pasos con la mitad del tamaño de paso se calcula como un valor de comparación además del paso de proceso real. Una aproximación más precisa para${\displaystyle y(t_{j})}$Luego se determina a partir de ambos valores por extrapolación y se estima el error local 𝜂 𝑗. Si este es demasiado grande, este paso se descarta y se repite con un tamaño de paso menor. Si es significativamente menor que la tolerancia especificada, el tamaño del paso se puede aumentar en el siguiente paso. ^{[ 27 ]} El esfuerzo computacional adicional para este procedimiento de reducción a la mitad del ancho de paso es relativamente alto; por eso las implementaciones modernas suelen utilizar los llamados procedimientos integrados para el control del ancho de paso. La idea básica es calcular dos aproximaciones para${\displaystyle y(t_{j})}$En cada paso se utilizan dos métodos de un paso con diferentes órdenes de convergencia, lo que permite estimar el error local. Para optimizar el esfuerzo computacional, los dos métodos deben tener en común la mayor cantidad posible de pasos computacionales: deben estar "integrados". Los métodos de Runge-Kutta integrados, por ejemplo, utilizan las mismas pendientes auxiliares y solo difieren en la forma de promediarlas. Entre los métodos integrados más conocidos se encuentran el método de Runge-Kutta-Fehlberg ( Erwin Fehlberg , 1969) y el método de Dormand-Prince (JR Dormand y PJ Prince, 1980). ^{[ 28 ]}