Razón de probabilidades

Si lanzamos una moneda no trucada, la probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz son iguales: ambas son del 50 %. Imaginemos que tenemos una moneda trucada, de modo que, al lanzarla, la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz (es decir, las probabilidades se duplican: de 1:1 a 2:1). Las nuevas probabilidades serían del 66,666... ​​% para cara y del 33,333... % para cruz.

Supongamos que una fuga de radiación en un pueblo de 1000 habitantes aumentó la incidencia de una enfermedad rara. El número total de personas expuestas a la radiación fue ${\displaystyle V_{E}=400,}$de cuál${\displaystyle D_{E}=20}$desarrolló la enfermedad y${\displaystyle H_{E}=380}$se mantuvieron sanos. El número total de personas no expuestas fue ${\displaystyle V_{N}=600,}$de cuál${\displaystyle D_{N}=6}$desarrolló la enfermedad y${\displaystyle H_{N}=594}$se mantuvo sano. Podemos organizar esto en una tabla de contingencia :

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Enfermo }}&{\text{ Sano }}\\\hline {\text{ Expuesto }}&20&380\\{\text{ No expuesto }}&6&594\\\hline \end{array}}}$

El riesgo de desarrollar la enfermedad dada la exposición es${\displaystyle D_{E}/V_{E}=20/400=.05}$y de desarrollar la enfermedad dada la no exposición es${\displaystyle D_{N}/V_{N}=6/600=.01}$Una forma obvia de comparar los riesgos es utilizar la relación entre ambos, el riesgo relativo .

${\displaystyle {\text{Riesgo relativo}}={\frac {D_{E}/(D_{E}+H_{E})}{D_{N}/(D_{N}+H_{N})}}={\frac {D_{E}/V_{E}}{D_{N}/V_{N}}}={\frac {20/400}{6/600}}={\frac {.05}{.01}}=5\,.}$

La razón de probabilidades es diferente. Las probabilidades de contraer la enfermedad si se está expuesto son${\displaystyle D_{E}/H_{E}=20/380\approx .0526,}$y las probabilidades si no se expone son ${\displaystyle D_{N}/H_{N}=6/594\approx .0101\,.}$La razón de probabilidades es la razón de los dos,

${\displaystyle {\text{Razón de probabilidades}}={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{N}/H_{N}}}={\frac {20/380}{6/594}}\approx {\frac {.0526}{.0101}}=5.2\,.}$

Como ilustra este ejemplo, en un caso de enfermedad rara como este, el riesgo relativo y la razón de probabilidades son casi iguales. Por definición, una enfermedad rara implica que${\displaystyle V_{E}\approx H_{E}}$y${\displaystyle V_{N}\approx H_{N}}$. Por lo tanto, los denominadores en el riesgo relativo y la razón de probabilidades son casi iguales (${\displaystyle 400\approx 380}$y${\displaystyle 600\approx 594)}$.

El riesgo relativo es más fácil de entender que la razón de probabilidades, pero una razón para usar la razón de probabilidades es que, por lo general, no se dispone de datos sobre toda la población y se debe utilizar un muestreo aleatorio . En el ejemplo anterior, si fuera muy costoso entrevistar a los aldeanos y averiguar si estuvieron expuestos a la radiación, entonces no se conocería la prevalencia de la exposición a la radiación, ni tampoco los valores de${\displaystyle V_{E}}$o${\displaystyle V_{N}}$Se podría tomar una muestra aleatoria de cincuenta aldeanos, pero es muy posible que dicha muestra no incluya a nadie con la enfermedad, ya que solo el 2,6 % de la población está enferma. En cambio, se podría utilizar un estudio de casos y controles ^{[ 2 ]} en el que se entreviste a los 26 aldeanos enfermos, así como a una muestra aleatoria de 26 que no la padecen. Los resultados podrían ser los siguientes ("podrían", porque se trata de una muestra aleatoria):

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&10\\{\text{ Not exposed }}&6&16\\\hline \end{array}}}$

En esta muestra, la probabilidad de contraer la enfermedad dado que alguien está expuesto es de 20/10 y la probabilidad dado que alguien no está expuesto es de 6/16. Por lo tanto, la razón de probabilidades es:${\displaystyle {\frac {20/10}{6/16}}\approx 5.3}$, bastante cerca de la razón de probabilidades calculada para todo el pueblo. Sin embargo, el riesgo relativo no se puede calcular, porque es la razón de los riesgos de contraer la enfermedad y necesitaríamos${\displaystyle V_{E}}$y${\displaystyle V_{N}}$Para calcular esos valores. Dado que el estudio seleccionó a personas con la enfermedad, la mitad de la muestra la padece, y se sabe que esta cifra es superior a la prevalencia en la población general. Por lo tanto, no se pueden sumar las cifras de personas enfermas y sanas dentro del grupo expuesto, ni las de personas enfermas y sanas dentro del grupo no expuesto.

En la literatura médica es habitual calcular la razón de probabilidades y luego utilizar el supuesto de enfermedad rara (que suele ser razonable) para afirmar que el riesgo relativo es aproximadamente igual a ella. Esto no solo permite el uso de estudios de casos y controles, sino que también facilita el control de variables de confusión como el peso o la edad mediante análisis de regresión y posee las propiedades deseables de invarianza e insensibilidad al tipo de muestreo que se analizan en otras secciones de este artículo . ^{[ 3 ]}

La razón de probabilidades es la razón entre la probabilidad de que un evento ocurra en un grupo y la probabilidad de que ocurra en otro grupo. El término también se utiliza para referirse a estimaciones de esta razón basadas en muestras. Estos grupos pueden ser hombres y mujeres, un grupo experimental y un grupo de control , o cualquier otra clasificación dicotómica . Si las probabilidades del evento en cada uno de los grupos son _p₁ ( primer grupo) y p₂ (segundo grupo), entonces la razón de probabilidades es _:

${\displaystyle OR={\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}={\frac {p_{1}/q_{1}}{p_{2}/q_{2}}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},}$

donde q _x  =  1  − p _x . Una razón de probabilidades de 1 indica que la condición o evento en estudio tiene la misma probabilidad de ocurrir en ambos grupos. Una razón de probabilidades mayor que 1 indica que la condición o evento tiene mayor probabilidad de ocurrir en el primer grupo. Y una razón de probabilidades menor que 1 indica que la condición o evento tiene menor probabilidad de ocurrir en el primer grupo. La razón de probabilidades debe ser no negativa si está definida. No está definida si p ₂ q ₁ es igual a cero, es decir, si p ₂ es igual a cero o q ₁ es igual a cero. 

La razón de probabilidades también se puede definir en términos de la distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias binarias . La distribución conjunta de las variables aleatorias binarias X e Y se puede escribir

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{11}&p_{10}\\X=0&p_{01}&p_{00}\end{array}}}$

donde p ₁₁ , p ₁₀ , p ₀₁ y p ₀₀ son "probabilidades de celda" no negativas que suman uno. Las probabilidades de Y dentro de las dos subpoblaciones definidas por X = 1 y X = 0 se definen en términos de las probabilidades condicionales dado X , es decir , P ( Y  | X ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {p_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

Por lo tanto, la razón de probabilidades es:

${\displaystyle OR={\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}={\frac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}}$

Cabe señalar que la razón de probabilidades también es el producto de las probabilidades de las " celdas concordantes " ( X  = Y )  dividido por el producto de las probabilidades de las " celdas discordantes " ( X  ≠ Y )  . Sin embargo, en algunas aplicaciones, la asignación de categorías como cero y uno es arbitraria, por lo que no hay nada especial en los valores concordantes frente a los discordantes en estas aplicaciones.

Si hubiéramos calculado la razón de probabilidades basándonos en las probabilidades condicionales dadas Y ,

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{10}}{p_{10}+p_{00}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{00}}{p_{10}+p_{00}}}\end{array}}}$

Habríamos obtenido el mismo resultado.

${\displaystyle {\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

Otras medidas del tamaño del efecto para datos binarios , como el riesgo relativo, no poseen esta propiedad de simetría.

Si X e Y son independientes, sus probabilidades conjuntas pueden expresarse en términos de sus probabilidades marginales p _x  = P ( X = 1)    y p _y  = P ( Y = 1)    , como sigue:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{x}p_{y}&p_{x}(1-p_{y})\\X=0&(1-p_{x})p_{y}&(1-p_{x})(1-p_{y})\end{array}}}$

En este caso, la razón de probabilidades es igual a uno, y a la inversa, la razón de probabilidades solo puede ser igual a uno si las probabilidades conjuntas se pueden factorizar de esta manera. Por lo tanto, la razón de probabilidades es igual a uno si y solo si X e Y son independientes .

La razón de probabilidades es una función de las probabilidades de las celdas y, a la inversa, las probabilidades de las celdas se pueden recuperar conociendo la razón de probabilidades y las probabilidades marginales P ( X  =  1)  = p ₁₁ + p ₁₀    y P ( Y  =  1)  = p ₁₁ + p ₀₁    . Si la razón de probabilidades R difiere de 1, entonces

${\displaystyle p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}}$

donde p _1•  = p ₁₁ + p ₁₀ , p _•1 = p ₁₁ + p ₀₁         , y

${\displaystyle S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.}$

En el caso donde R  =  1 , tenemos independencia, por lo que p ₁₁  = p _1• p _•1  .

Una vez que tenemos p ₁₁ , las otras tres probabilidades de celda se pueden recuperar fácilmente a partir de las probabilidades marginales.

Las razones de probabilidades se han confundido a menudo con el riesgo relativo en la literatura médica. Para quienes no son estadísticos, la razón de probabilidades es un concepto difícil de comprender y proporciona una cifra más impactante para el efecto. ^{[ 10 ]} Sin embargo, la mayoría de los autores consideran que el riesgo relativo se comprende fácilmente. ^{[ 11 ]} En un estudio, los miembros de una fundación nacional de enfermedades tenían en realidad 3,5 veces más probabilidades que los no miembros de haber oído hablar de un tratamiento común para esa enfermedad, pero la razón de probabilidades era de 24 y el artículo afirmaba que los miembros tenían "más de 20 veces más probabilidades de haber oído hablar" del tratamiento. ^{[ 12 ]} Un estudio de artículos publicados en dos revistas informó que el 26 % de los artículos que utilizaron una razón de probabilidades la interpretaron como una razón de riesgo. ^{[ 13 ]}

Esto puede reflejar el simple proceso de autores que, sin comprenderlo del todo, eligen la figura más impresionante y publicable. ^{[ 11 ]} Pero su uso puede, en algunos casos, ser deliberadamente engañoso. ^{[ 14 ]} Se ha sugerido que la razón de probabilidades solo debería presentarse como una medida del tamaño del efecto cuando la razón de riesgo no se puede estimar directamente, ^{[ 10 ]} pero con los métodos recientemente disponibles siempre es posible estimar la razón de riesgo, que generalmente debería usarse en su lugar. ^{[ 9 ]}

Si bien los riesgos relativos son potencialmente más fáciles de interpretar para un público general, existen ventajas matemáticas y conceptuales al utilizar una razón de probabilidades en lugar de un riesgo relativo, particularmente en modelos de regresión. Por esta razón, no existe consenso en los campos de la epidemiología o la bioestadística sobre si se deben preferir los riesgos relativos o las razones de probabilidades cuando ambos pueden utilizarse válidamente, como en los ensayos clínicos y los estudios de cohortes . ^{[ 15 ]}

La razón de probabilidades muestral n ₁₁ n ₀₀  / n ₁₀ n ₀₁ es fácil de calcular y, para muestras moderadas y grandes, funciona bien como estimador de la razón de probabilidades poblacional. Cuando una o más celdas de la tabla de contingencia pueden tener un valor pequeño, la razón de probabilidades muestral puede estar sesgada y presentar una alta varianza . 

Se han propuesto varios estimadores alternativos de la razón de probabilidades para abordar las limitaciones de la razón de probabilidades muestral. Un estimador alternativo es el estimador de máxima verosimilitud condicional, que condiciona en los márgenes de fila y columna al formar la verosimilitud para maximizar (como en la prueba exacta de Fisher ). ^{[ 16 ]} Otro estimador alternativo es el estimador de Mantel-Haenszel .

Esta tabla muestra el estado de exposición de los pares de sujetos emparejados. Hay${\displaystyle n_{11}}$pares en los que tanto el caso como su control correspondiente estuvieron expuestos,${\displaystyle n_{10}}$pares en los que el paciente del caso estuvo expuesto pero el sujeto de control no lo estuvo,${\displaystyle n_{01}}$pares en los que el sujeto de control estuvo expuesto pero el paciente del caso no lo estuvo, y${\displaystyle n_{00}}$En los pares, ninguno de los sujetos estuvo expuesto. La exposición de los pares de casos y controles emparejados está correlacionada debido a los valores similares de sus variables de confusión compartidas.

La siguiente derivación se debe a Breslow y Day . ^{[ 19 ]} Consideramos que cada par pertenece a un estrato con valores idénticos de las variables de confusión. Condicionado a pertenecer al mismo estrato, el estado de exposición de los casos y los controles es independiente entre sí. Para cualquier par caso-control dentro del mismo estrato, sea

${\displaystyle p_{1}}$sea ​​la probabilidad de que un paciente con un caso esté expuesto,

${\displaystyle p_{0}}$sea ​​la probabilidad de que un paciente de control esté expuesto,

${\displaystyle q_{1}=1-p_{1}}$sea ​​la probabilidad de que un paciente con un caso no esté expuesto, y

${\displaystyle q_{0}=1-p_{0}}$sea ​​la probabilidad de que un paciente de control no esté expuesto.

Entonces, la probabilidad de que un caso esté expuesto y un control no lo esté es${\displaystyle p_{1}q_{0}}$y la probabilidad de que un control esté expuesto y un caso no lo esté es${\displaystyle p_{0}q_{1}}$. La razón de probabilidades dentro del estrato para la exposición en los casos en relación con los controles es

${\displaystyle \psi =(p_{1}/q_{1})/(p_{0}/q_{0})=p_{1}q_{0}/(q_{1}p_{0})}$

Suponemos que ψ es constante en todos los estratos. ^{[ 19 ]}

Ahora bien, los pares concordantes en los que tanto el caso como el control están expuestos, o ninguno está expuesto, no nos dicen nada sobre las probabilidades de exposición en los casos en relación con las probabilidades de exposición entre los controles. La probabilidad de que el caso esté expuesto y el control no, dado que el par es discordante, es

${\displaystyle \pi =(p_{1}q_{0})/(p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0})=\psi /(\psi +1)}$

La distribución de${\displaystyle n_{10}}$dado que el número de pares discordantes es binomial  ~  B${\displaystyle (n_{10}+n_{01},\pi )}$y la estimación de máxima verosimilitud de π es

${\displaystyle {\hat {\pi }}=n_{10}/(n_{10}+n_{01})={\hat {\psi }}/({\hat {\psi }}+1)}$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por${\displaystyle (n_{10}+n_{01})({\hat {\psi }}+1)}$y restando${\displaystyle n_{10}{\hat {\psi }}}$da

${\displaystyle n_{10}={\hat {\psi }}(n_{10}+n_{01}-n_{10})}$y por lo tanto

${\displaystyle {\hat {\psi }}=n_{10}/n_{01}}$.

Ahora${\displaystyle {\hat {\pi }}}$es la estimación de máxima verosimilitud de π , y ψ es una función monótona de${\displaystyle {\hat {\pi }}}$De ello se deduce que${\displaystyle {\hat {\psi }}}$es la estimación de máxima verosimilitud condicional de${\displaystyle {\hat {\psi }}}$dado el número de pares discordantes. Rothman et al. ^{[ 20 ]} dan una derivación alternativa de${\displaystyle {\hat {\psi }}}$al demostrar que es un caso especial de la estimación de Mantel-Haenszel de la razón de probabilidades intraestrato para tablas estratificadas de 2x2. ^{[ 20 ]} También hacen referencia a Breslow y Day ^{[ 19 ]} como quienes proporcionaron la derivación que se presenta aquí.

Bajo la hipótesis nula que${\displaystyle \psi =1,\pi =1/(1+1)=0.5}$.

Por lo tanto, podemos probar la hipótesis nula que${\displaystyle \psi =1}$probando la hipótesis nula que${\displaystyle \pi =0.5}$Esto se hace utilizando la prueba de McNemar .

Hay varias maneras de calcular un intervalo de confianza para π . Sea${\displaystyle {\hat {\pi }}_{LB}}$y${\displaystyle {\hat {\pi }}_{UB}}$denotan el límite inferior y superior de un intervalo de confianza para π , respectivamente. Dado que${\displaystyle \psi =\pi /(1-\pi )}$, el intervalo de confianza correspondiente para ψ es

${\displaystyle ({\frac {{\hat {\pi }}_{LB}}{1-{\hat {\pi }}_{LB}}},{\frac {{\hat {\pi }}_{UB}}{1-{\hat {\pi }}_{UB}}})}$.

Las tablas 2x2 emparejadas también pueden analizarse utilizando regresión logística condicional . ^{[ 21 ]} Esta técnica tiene la ventaja de permitir a los usuarios realizar una regresión del estado de caso-control frente a múltiples factores de riesgo a partir de datos de casos-control emparejados.

McEvoy et al. ^{[ 22 ]} estudiaron el uso de teléfonos celulares por parte de los conductores como factor de riesgo para accidentes automovilísticos en un estudio de casos cruzados. ^{[ 18 ]} Todos los sujetos del estudio estuvieron involucrados en un accidente automovilístico que requirió atención hospitalaria. El uso del teléfono celular de cada conductor en el momento de su accidente se comparó con su uso del teléfono celular en un intervalo de control a la misma hora del día una semana antes. Cabría esperar que el uso del teléfono celular de una persona en el momento del accidente estuviera correlacionado con su uso una semana antes. La comparación del uso durante el accidente y los intervalos de control ajusta las características del conductor y la hora del día y el día de la semana. Los datos se pueden resumir en la siguiente tabla.

Hubo 5 conductores que usaron sus teléfonos en ambos intervalos, 27 que los usaron en el intervalo del choque pero no en el intervalo de control, 6 que los usaron en el intervalo de control pero no en el intervalo del choque, y 288 que no los usaron en ninguno de los intervalos. La razón de probabilidades de chocar mientras se usa el teléfono en comparación con conducir sin usarlo fue

${\displaystyle {\hat {\psi }}=27/6=4.5}$.

Probar la hipótesis nula que${\displaystyle {\hat {\psi }}=1}$es lo mismo que probar la hipótesis nula que${\displaystyle {\hat {\pi }}=0.5}$Se dieron 27 de 33 pares discordantes en los que el conductor estaba usando su teléfono en el momento del accidente. McNemar${\displaystyle \chi ^{2}=13.36}$. Esta estadística tiene un grado de libertad y arroja un valor p de 0,0003. Esto nos permite rechazar la hipótesis de que el uso del teléfono celular no tiene efecto sobre el riesgo de accidentes automovilísticos (${\displaystyle \psi =1}$) con un alto nivel de significación estadística.

Utilizando el método de Wilson , un intervalo de confianza del 95% para π es (0,6561, 0,9139). Por lo tanto, un intervalo de confianza del 95% para ψ es

${\displaystyle \left({\frac {0.6561}{1-0.6561}},{\frac {0.9139}{1-0.9139}}\right)=(1.9,10.6)}$

(McEvoy et al. ^{[ 22 ]} analizaron sus datos mediante regresión logística condicional y obtuvieron resultados casi idénticos a los que se presentan aquí. Véase la última fila de la Tabla 3 en su artículo.)