logaritmo natural

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{para }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Dado que el logaritmo natural${\displaystyle \ln(x)}$es indefinida en 0, la función en sí no tiene una serie de Maclaurin , a diferencia de muchas otras funciones elementales. En cambio, se buscan expansiones de Taylor alrededor de otros puntos. Por ejemplo, si${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$entonces ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Esta es la serie Taylor para${\displaystyle \ln x}$alrededor de 1. Un cambio de variables produce la serie de Mercator : $${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$ válido para${\displaystyle |x|\leq 1}$y${\displaystyle x\neq -1.}$

Leonhard Euler , ^{[ 17 ]} sin tener en cuenta${\displaystyle x\neq -1}$, sin embargo, aplicó esta serie a${\displaystyle x=-1}$para demostrar que la serie armónica es igual al logaritmo natural de${\textstyle {\frac {1}{1-1}}}$; es decir, el logaritmo del infinito. Hoy en día, de forma más formal, se puede demostrar que la serie armónica truncada en N es cercana al logaritmo de N , cuando N es grande, con la diferencia convergiendo a la constante de Euler-Mascheroni .

La figura muestra la gráfica de ln(1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de 0. Estas aproximaciones convergen a la función solo en la región −1 < x ≤ 1 ; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado se convierten en aproximaciones peores para la función.

Un caso especial útil para enteros positivos n , tomando como referencia${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$, es: $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

Si${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Ahora, tomando ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$Para enteros positivos n , obtenemos: $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

Si${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$entonces $${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$ Desde $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$ llegamos a $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$ Utilizando la sustitución${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$Nuevamente, para enteros positivos n , obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Esta es, con diferencia, la convergencia más rápida de las series descritas aquí.

El logaritmo natural también puede expresarse como un producto infinito: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Dos ejemplos podrían ser: $${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$$${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

A partir de esta identidad, podemos obtener fácilmente lo siguiente: $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

El logaritmo natural permite una integración sencilla de funciones de la forma${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$: una antiderivada de g ( x ) viene dada por${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$Esto se debe a la regla de la cadena y al siguiente hecho: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

En otras palabras, al integrar sobre un intervalo de la recta real que no incluye${\displaystyle x=0}$, entonces $${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$ donde C es una constante de integración arbitraria . ^{[ 19 ]}

Asimismo, cuando la integral se realiza sobre un intervalo donde${\displaystyle f(x)\neq 0}$,

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Por ejemplo, consideremos la integral de${\displaystyle \tan(x)}$sobre un intervalo que no incluye puntos donde${\displaystyle \tan(x)}$es infinito: $${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

El logaritmo natural se puede integrar mediante integración por partes . Sea: $${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$$${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$ entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

El logaritmo natural de 10, un número trascendental aproximadamente igual a2.302 585 09 , ^{[ 20 ]} desempeña un papel, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica , como una mantisa multiplicada por una potencia de 10: $${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Esto significa que se pueden calcular eficazmente los logaritmos de números con una magnitud muy grande o muy pequeña utilizando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango [1, 10) .

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el método de la serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Especialmente si x está cerca de 1, una buena alternativa es usar el método de Halley o el método de Newton para invertir la función exponencial, porque la serie de la función exponencial converge más rápidamente. Para encontrar el valor de y que dé${\displaystyle \exp(y)-x=0}$utilizando el método de Halley, o equivalentemente para dar${\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}$Utilizando el método de Newton, la iteración se simplifica a $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$ que tiene convergencia cúbica a${\displaystyle \ln(x)}$.

Otra alternativa para cálculos de altísima precisión es la fórmula ^{[ 21 ] [ 22 ].}$${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$ donde M denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4/ s , y $${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$ con m elegido de modo que se alcancen p bits de precisión. (Para la mayoría de los propósitos, el valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se utiliza este método, la inversión de Newton del logaritmo natural puede utilizarse a la inversa para calcular la función exponencial de manera eficiente. (Las constantes${\displaystyle \ln 2}$y π se puede precalcular con la precisión deseada utilizando cualquiera de varias series conocidas de rápida convergencia. O bien, se puede utilizar la siguiente fórmula: $${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

dónde $${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$ son las funciones theta de Jacobi . ^{[ 23 ]}

Basándose en una propuesta de William Kahan e implementada por primera vez en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C en 1979 (mencionada como "LN1" en la pantalla, solamente), algunas calculadoras, sistemas operativos (por ejemplo Berkeley UNIX 4.3BSD ^{[ 24 ]} ), sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación (por ejemplo C99 ^{[ 25 ]} ) proporcionan una función especial de logaritmo natural más 1 , denominada alternativamente LNP1 , ^{[ 26 ] [ 27 ]} o log1p ^{[ 25 ]} para dar resultados más precisos para logaritmos cercanos a cero pasando argumentos x , también cercanos a cero, a una función log1p( x ) , que devuelve el valor ln(1+ x ) , en lugar de pasar un valor y cercano a 1 a una función que devuelve ln( y ) . ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} La función log1p evita en la aritmética de punto flotante una casi cancelación del término absoluto 1 con el segundo término de la expansión de Taylor del logaritmo natural. Esto mantiene el argumento, el resultado y los pasos intermedios cerca de cero, donde pueden representarse con mayor precisión como números de punto flotante. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Además de la base e , el estándar IEEE 754-2008 define funciones logarítmicas similares cerca de 1 para logaritmos binarios y decimales : log ₂ (1 + x ) y log ₁₀ (1 + x ) .

También existen funciones inversas similares llamadas " expm1 ", ^{[ 25 ]} "expm" ^{[ 26 ] [ 27 ]} o "exp1m", todas con el significado de expm1( x ) = exp( x ) − 1. [ ^{nb 1 ]}

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica inversa , $${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$ proporciona un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan log1p( x ) .

La complejidad computacional del cálculo del logaritmo natural utilizando la media aritmético-geométrica (para ambos métodos anteriores) es${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$Aquí, n es el número de dígitos de precisión en los que se va a evaluar el logaritmo natural, y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos.