Solución nula para el polvo

En física matemática , una solución de polvo nulo (a veces llamada fluido nulo ) es una variedad lorentziana en la que el tensor de Einstein es nulo . Dicho espaciotiempo puede interpretarse como una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein , en la que la única masa-energía presente en el espaciotiempo se debe a algún tipo de radiación sin masa .

Por definición, el tensor de Einstein de una solución de polvo nulo tiene la forma ${\displaystyle G^{ab}=8\pi \Phi \,k^{a}\,k^{b}}$ dónde${\displaystyle {\vec {k}}}$es un campo vectorial nulo . Esta definición tiene sentido puramente geométrico, pero si colocamos un tensor de energía-impulso en nuestro espaciotiempo de la forma ${\displaystyle T^{ab}=\Phi \,k^{a}\,k^{b}}$Entonces se satisface la ecuación de campo de Einstein, y dicho tensor de energía-impulso tiene una clara interpretación física en términos de radiación sin masa. El campo vectorial${\displaystyle {\vec {k}}}$especifica la dirección en la que se mueve la radiación; el multiplicador escalar${\displaystyle \Phi }$especifica su intensidad.

Físicamente hablando, un polvo nulo describe radiación gravitacional , algún tipo de radiación no gravitacional descrita por una teoría de campos clásica relativista (como la radiación electromagnética ), o una combinación de ambas. Los polvos nulos incluyen las soluciones de vacío como un caso especial.

Entre los fenómenos que pueden modelarse mediante soluciones de polvo nulo se incluyen:

• un haz de neutrinos que, por simplicidad, se supone que no tiene masa (tratado según la física clásica),
• una onda electromagnética de muy alta frecuencia,
• un haz de radiación electromagnética incoherente.

En particular, una onda plana de radiación electromagnética incoherente es una superposición lineal de ondas planas que se mueven en la misma dirección, pero con fases y frecuencias elegidas aleatoriamente. (Aunque la ecuación de campo de Einstein es no lineal, es posible una superposición lineal de ondas planas que se mueven en la misma dirección ). En este caso, cada onda plana electromagnética tiene una frecuencia y fase bien definidas, pero la superposición no. Las ondas planas electromagnéticas individuales se modelan mediante soluciones de electrovacío nulas , mientras que una mezcla incoherente se puede modelar mediante polvo nulo.

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de referencia en lugar de la base de coordenadas se denominan a menudo componentes físicos , porque son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso de una solución de polvo nulo, un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

Siempre se puede encontrar un campo vectorial unitario de tipo temporal y tres campos vectoriales unitarios de tipo espacial (un campo vectorial unitario de tipo temporal y tres campos vectoriales unitarios de tipo espacial , respectivamente) en los que el tensor de Einstein tiene una apariencia particularmente simple:

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

Aquí,${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$es tangente en todas partes a las líneas de universo de nuestros observadores adaptados , y estos observadores miden la densidad de energía de la radiación incoherente para que sea${\displaystyle \epsilon }$.

A partir de la forma de la expresión de la base de coordenadas general dada anteriormente, es evidente que el tensor de energía-impulso tiene precisamente el mismo grupo de isotropía que el campo vectorial nulo.${\displaystyle {\vec {k}}}$. Se genera mediante dos transformaciones de Lorentz parabólicas (apuntando en el${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$dirección) y una rotación (alrededor de la${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$eje), y es isométrico al grupo de Lie tridimensional${\displaystyle E(2)}$, el grupo de isometría del plano euclidiano .

Las soluciones de polvo nulo incluyen dos familias grandes e importantes de soluciones exactas:

• espaciotiempos de onda pp (que modelan generalizaciones de las ondas planas familiares del electromagnetismo ),
• Polvos nulos de Robinson-Trautman (que modelan la radiación que se expande desde un objeto radiante).

Las ondas pp incluyen las ondas planas gravitacionales y la onda plana electromagnética monocromática . Un ejemplo específico de considerable interés es

• El haz de Bonnor es una solución exacta que modela un haz de luz infinitamente largo rodeado por una región de vacío.

Los polvos nulos de Robinson-Trautman incluyen las soluciones de cohetes de fotones de Kinnersley-Walker , que incluyen el polvo nulo de Vaidya , que incluye el vacío de Schwarzschild .

• Métrica Vaidya
• Grupo Lorentz

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; Maccallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius y Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.Esta monografía estándar ofrece muchos ejemplos de soluciones de polvo nulo.