solución de electrovacío

En la relatividad general , una solución de electrovacío ( electrovacío ) es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que la única masa-energía no gravitacional presente es la energía de campo de un campo electromagnético , que debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell (espaciotiempo curvo) sin fuente apropiadas para la geometría dada. Por esta razón, los electrovacíos a veces se denominan soluciones de Einstein-Maxwell (sin fuente) .

En la relatividad general, el marco geométrico para los fenómenos físicos es una variedad lorentziana , que se interpreta como un espaciotiempo curvo y que se especifica definiendo un tensor métrico.${\displaystyle g_{ab}}$(o definiendo un campo de marco ). El tensor de curvatura de Riemann${\displaystyle R_{abcd}}$de esta variedad y cantidades asociadas como el tensor de Einstein${\displaystyle G^{ab}}$, están bien definidos. En la relatividad general, pueden interpretarse como manifestaciones geométricas (curvatura y fuerzas) del campo gravitatorio .

También necesitamos especificar un campo electromagnético definiendo un tensor de campo electromagnético.${\displaystyle F_{ab}}$en nuestra variedad lorentziana. Para ser clasificada como una solución de electrovacío, estos dos tensores deben satisfacer las dos condiciones siguientes.

1. El tensor del campo electromagnético debe satisfacer las ecuaciones de campo de Maxwell del espaciotiempo curvo sin fuentes .${\displaystyle \,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0}$y${\displaystyle {F^{jb}}_{;j}=0}$
2. El tensor de Einstein debe coincidir con el tensor de energía-impulso electromagnético ,${\displaystyle \textstyle G^{ab}=2(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}F^{mn}\,F_{mn})}$.

La primera ecuación de Maxwell se satisface automáticamente si definimos el tensor de campo en términos de un vector potencial electromagnético.${\displaystyle {\vec {A}}}$En términos del covector dual (o potencial de una forma ) y la forma electromagnética de dos formas , podemos hacer esto estableciendo${\displaystyle F=dA}$. Entonces solo necesitamos asegurarnos de que las divergencias desaparezcan (es decir, que se satisfaga la segunda ecuación de Maxwell para un campo sin fuente ) y que la energía-impulso electromagnética coincida con el tensor de Einstein.

El tensor del campo electromagnético es antisimétrico, con solo dos invariantes escalares algebraicamente independientes,

${\displaystyle I=\star (F\wedge \star F)=F_{ab}\,F^{ab}=-2\,\left(\|{\vec {E}}\|^{2}-\|{\vec {B}}\|^{2}\right)}$

${\displaystyle J=\star (F\wedge F)=F_{ab}\,{\star F}^{ab}=-4\,{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}$

Aquí, la estrella es el operador de estrella de Hodge .

Utilizando estos datos, podemos clasificar los posibles campos electromagnéticos de la siguiente manera:

1. Si${\displaystyle I<0}$pero${\displaystyle J=0}$Tenemos un campo electrostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo eléctrico estático y ningún campo magnético.
2. Si${\displaystyle I>0}$pero${\displaystyle J=0}$Tenemos un campo magnetostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo magnético estático y ningún campo eléctrico.
3. Si${\displaystyle I=J=0}$Se dice que el campo electromagnético es nulo y tenemos un electrovacío nulo .

Los electrovacíos nulos están asociados con la radiación electromagnética. Un campo electromagnético que no es nulo se denomina no nulo , y entonces tenemos un electrovacío no nulo .

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de referencia en lugar de la base de coordenadas se denominan a menudo componentes físicos , porque son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso de una solución de electrovacío, un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

Siempre se puede encontrar un caso en el que el tensor de Einstein tenga una apariencia particularmente simple. Aquí, el primer vector se entiende como un campo vectorial unitario de tipo temporal ; este es tangente en todas partes a las líneas de universo de la familia correspondiente de observadores adaptados , cuyo movimiento está "alineado" con el campo electromagnético. Los últimos tres son campos vectoriales unitarios de tipo espacial .

Para un electrovacío no nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right]}$

dónde${\displaystyle \epsilon }$es la densidad de energía del campo electromagnético, medida por cualquier observador adaptado. A partir de esta expresión, es fácil ver que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío no nulo se genera mediante impulsos en el${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$dirección y rotaciones alrededor del${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$eje. En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío no nulo es un grupo de Lie abeliano bidimensional isomorfo a SO(1,1) x SO(2).

Para un electrovacío nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

De esto es fácil ver que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío nulo incluye rotaciones alrededor del${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$eje; otros dos generadores son las dos transformaciones de Lorentz parabólicas alineadas con el${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$dirección dada en el artículo sobre el grupo de Lorentz . En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío nulo es un grupo de Lie tridimensional isomorfo a E(2), el grupo de isometría del plano euclidiano.

El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos en espaciotiempos curvos que para la electrodinámica en el espaciotiempo plano de Minkowski es una expresión del principio de equivalencia .

El polinomio característico del tensor de Einstein de un electrovacío no nulo debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda +8\pi \epsilon \right)^{2}\,\left(\lambda -8\pi \epsilon \right)^{2}}$

Utilizando las identidades de Newton , esta condición puede ser reexpresada en términos de las trazas de las potencias del tensor de Einstein como

${\displaystyle t_{1}=t_{3}=0,\;t_{4}={t_{2}}^{2}/4}$

dónde

${\displaystyle t_{1}=G^{a}{}_{a},\;t_{2}=G^{a}{}_{b}\,G^{b}{}_{a},\;t_{3}=G^{a}{}_{b}\,G^{b}{}_{c}\,G^{c}{}_{a},\;t_{4}=G^{a}{}_{b}\,G^{b}{}_{c}\,G^{c}{}_{d}\,G^{d}{}_{a}}$

Este criterio necesario puede ser útil para comprobar que una supuesta solución de electrovacío no nula es plausible, y a veces resulta útil para encontrar soluciones de electrovacío no nulas.

El polinomio característico de un electrovacío nulo se anula idénticamente , incluso si la densidad de energía es distinta de cero . Esta posibilidad es un análogo tensorial del conocido principio de que un vector nulo siempre tiene longitud nula, incluso si no es el vector cero. Por lo tanto, todo electrovacío nulo tiene un autovalor cuádruple , a saber, cero.

En 1925, George Yuri Rainich presentó condiciones puramente matemáticas necesarias y suficientes para que una variedad lorentziana admita una interpretación en la relatividad general como un electrovacío no nulo . Estas condiciones comprenden tres algebraicas y una diferencial. A veces, resultan útiles para comprobar que un supuesto electrovacío no nulo sea realmente lo que afirma ser, o incluso para encontrar tales soluciones.

Charles Torre ha encontrado condiciones necesarias y suficientes análogas para un electrovacío nulo . ^{[ 1 ]}

En ocasiones, se puede suponer que la energía de campo de cualquier campo electromagnético es tan pequeña que sus efectos gravitatorios pueden despreciarse. Entonces, para obtener una solución de electrovacío aproximada, solo necesitamos resolver las ecuaciones de Maxwell en una solución de vacío dada . En este caso, el campo electromagnético se suele denominar campo de prueba , por analogía con el término partícula de prueba (que denota un objeto pequeño cuya masa es demasiado pequeña para contribuir apreciablemente al campo gravitatorio ambiental).

Aquí, es útil saber que cualquier vector de Killing que pueda estar presente satisfará automáticamente (en el caso de una solución de vacío) las ecuaciones de Maxwell del espaciotiempo curvo . ^{[ 2 ]}

Cabe señalar que este procedimiento equivale a suponer que el campo electromagnético, pero no el gravitatorio, es "débil". A veces podemos ir incluso más allá; si el campo gravitatorio también se considera "débil", podemos resolver de forma independiente las ecuaciones de campo de Einstein linealizadas y las ecuaciones de Maxwell (espaciotiempo plano) sobre un fondo de vacío de Minkowski. Entonces, el tensor métrico (débil) proporciona la geometría aproximada; el fondo de Minkowski es inobservable por medios físicos, pero matemáticamente mucho más sencillo de manejar, siempre que podamos recurrir a este truco.

Entre las soluciones de electrovacío individuales no nulas más destacadas se incluyen:

• Electrovacío de Reissner-Nordström (que describe la geometría alrededor de una masa esférica cargada),
• Electrovacío de Kerr-Newman (que describe la geometría alrededor de un objeto cargado y giratorio),
• Electrovacío de Melvin (un modelo de campo magnetostático con simetría cilíndrica),
• Electrovacío de Garfinkle-Melvin (similar al anterior, pero incluyendo una onda gravitacional que viaja a lo largo del eje de simetría),
• Electrovacío de Bertotti-Robinson: este es un espaciotiempo simple que tiene una notable estructura de producto; surge de una especie de "explosión" del horizonte del electrovacío de Reissner-Nordström,
• Electrovacíos de Witten (descubiertos por Louis Witten ).

Entre las soluciones individuales de electrovacío nulo más destacadas se incluyen:

• la onda plana electromagnética monocromática , una solución exacta que es el análogo relativista general de las ondas planas en el electromagnetismo clásico,
• Electrovacío de Bell-Szekeres (un modelo de ondas planas en colisión).

Algunas familias conocidas de electrovacíos son:

• Electrovacíos de Weyl-Maxwell: esta es la familia de todas las soluciones de electrovacío axisimétricas estáticas; incluye el electrovacío de Reissner-Nordström,
• Electrovacíos de Ernst-Maxwell: esta es la familia de todas las soluciones de electrovacío axisimétricas estacionarias; incluye el electrovacío de Kerr-Newman,
• Electrovacíos de Beck-Maxwell: todas las soluciones de electrovacío cilíndricamente simétricas no rotatorias,
• Electrovacíos de Ehlers-Maxwell: todas las soluciones de electrovacío estacionarias cilíndricas simétricas,
• Electrovacíos de Szekeres: todos los pares de ondas planas que colisionan, donde cada onda puede contener radiación gravitacional y electromagnética; estas soluciones son electrovacíos nulos fuera de la zona de interacción , pero generalmente electrovacíos no nulos dentro de la zona de interacción, debido a la interacción no lineal de las dos ondas después de que colisionan.

Muchos espaciotiempos de onda pp admiten un tensor de campo electromagnético que los convierte en soluciones de electrovacío nulas exactas.

• Clasificación de los campos electromagnéticos
• Soluciones exactas en relatividad general
• Grupo Lorentz

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.Consulte la sección 5.4 para las condiciones de Rainich, la sección 19.4 para los electrovacíos de Weyl-Maxwell, la sección 21.1 para los electrovacíos de Ernst-Maxwell, la sección 24.5 para las ondas pp, la sección 25.5 para los electrovacíos de Szekeres, etc.
• Griffiths, JB (1991). Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1. El recurso definitivo sobre la colisión de ondas planas, incluyendo los ejemplos mencionados anteriormente.