Clasificación de los campos electromagnéticos

En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de campos electromagnéticos consiste en una clasificación puntual de bivectores en cada punto de una variedad lorentziana . Se utiliza en el estudio de soluciones de las ecuaciones de Maxwell y tiene aplicaciones en la teoría de la relatividad de Einstein .

El campo electromagnético en un punto p (es decir, un evento) de un espaciotiempo lorentziano está representado por un bivector real F = F ^ab definido sobre el espacio tangente en p .

El espacio tangente en p es isométrico como espacio real con producto interno a E ^1,3 . Es decir, posee la misma noción de magnitud vectorial y ángulo que el espaciotiempo de Minkowski . Para simplificar la notación, asumiremos que el espaciotiempo es el de Minkowski. Esto tiende a difuminar la distinción entre el espacio tangente en p y la variedad subyacente; afortunadamente, esta especialización no conlleva ninguna pérdida, por razones que analizaremos al final del artículo.

El teorema de clasificación para campos electromagnéticos caracteriza el bivector F en relación con la métrica lorentziana η = η _ab , definiendo y examinando las llamadas "direcciones nulas principales". Expliquemos esto.

El bivector F ^ab produce un operador lineal antisimétrico F ^a _b = F ^ac η _cb definido al bajar un índice con la métrica. Actúa sobre el espacio tangente en p mediante r ^a → F ^a _b r ^b . Usaremos el símbolo F para denotar tanto el bivector como el operador, según el contexto.

Mencionamos una dicotomía derivada del álgebra exterior. Un bivector que puede escribirse como F = v ∧ w , donde v y w son linealmente independientes, se denomina simple . Cualquier bivector no nulo sobre un espacio vectorial de 4 dimensiones es simple o puede escribirse como F = v ∧ w + x ∧ y , donde v , w , x e y son linealmente independientes; ambos casos son mutuamente excluyentes. Enunciada de esta manera, la dicotomía no hace referencia a la métrica η , sino únicamente al álgebra exterior. Sin embargo, es fácil observar que el operador lineal antisimétrico asociado F ^a _b tiene rango 2 en el primer caso y rango 4 en el segundo. ^{[ 1 ]}

Para enunciar el teorema de clasificación, consideramos el problema de valores propios para F , es decir, el problema de encontrar valores propios λ y vectores propios r que satisfagan la ecuación de valores propios.

${\displaystyle F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.}$

La antisimetría de F implica que:

• o bien el vector propio r es un vector nulo (es decir, η ( r , r ) = 0 ), o bien el valor propio λ es cero, o ambas cosas .

Un subespacio unidimensional generado por un vector propio nulo se denomina dirección nula principal del bivector.

El teorema de clasificación caracteriza las posibles direcciones nulas principales de un bivector. Establece que una de las siguientes condiciones debe cumplirse para cualquier bivector distinto de cero:

• El bivector tiene una dirección nula principal "repetida"; en este caso, se dice que el bivector mismo es nulo .
• El bivector tiene dos direcciones nulas principales distintas; en este caso, el bivector se denomina no nulo .

Además, para cualquier bivector no nulo, los dos valores propios asociados con las dos direcciones nulas principales distintas tienen la misma magnitud pero signo opuesto, λ = ± ν , por lo que tenemos tres subclases de bivectores no nulos:

• tipo espacial : ν = 0
• tipo temporal  : ν ≠ 0 y rango F = 2
• no simple : ν ≠ 0 y rango F = 4 ,

donde el rango se refiere al rango del operador lineal F.

La clasificación algebraica de bivectores dada anteriormente tiene una aplicación importante en la física relativista : el campo electromagnético está representado por un campo tensorial de segundo rango antisimétrico (el tensor del campo electromagnético ), por lo que obtenemos inmediatamente una clasificación algebraica de los campos electromagnéticos.

En una carta cartesiana en el espaciotiempo de Minkowski con signatura métrica mayoritariamente negativa, , el tensor del campo electromagnético tiene componentes ${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+---)}$

${\displaystyle F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)}$

donde y denotan respectivamente las componentes de los campos eléctrico y magnético, medidas por un observador inercial (en reposo en nuestras coordenadas). Como es habitual en la física relativista, nos resultará conveniente trabajar con unidades geometrizadas en las que . En el formalismo de " gimnasia de índices " de la relatividad especial, la métrica de Minkowski se utiliza para elevar y descender índices. ${\ Displaystyle E_ {x}, E_ {y}, E_ {z}}$${\displaystyle B_{x},B_{y},B_{z}}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle \eta }$

Los invariantes fundamentales del campo electromagnético son:

${\displaystyle P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}}$

${\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}{c}}}$.

(Fundamental significa que cualquier otro invariante puede expresarse en términos de estos dos.)

Un campo electromagnético nulo se caracteriza por . En este caso, los invariantes revelan que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares y que tienen la misma magnitud (en unidades geometrizadas). Un ejemplo de campo nulo es una onda electromagnética plana en el espacio de Minkowski . ${\displaystyle P=Q=0}$

Un campo no nulo se caracteriza por . Si , existe un sistema de referencia inercial para el cual el campo eléctrico o el campo magnético se anulan. (Estos corresponden respectivamente a los campos magnetostático y electrostático ). Si , existe un sistema de referencia inercial en el cual los campos eléctrico y magnético son proporcionales. ${\displaystyle P^{2}+Q^{2}\neq \,0}$${\displaystyle P\neq 0=Q}$${\displaystyle Q\neq 0}$

Hasta ahora solo hemos hablado del espaciotiempo de Minkowski . Según el principio de equivalencia (fuerte) , si simplemente reemplazamos el "marco inercial" anterior por un campo de marco , todo funciona exactamente igual en variedades curvas.

• Landau, Lev D.; Lifshitz, EM (1973). La teoría clásica de los cuerpos . Nueva York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Véase la sección 25 .