Conjetura de Novikov

La conjetura de Novikov es uno de los problemas sin resolver más importantes de la topología . Recibe su nombre de Sergei Novikov , quien la formuló originalmente en 1965.

La conjetura de Novikov se refiere a la invariancia homotópica de ciertos polinomios en las clases de Pontryagin de una variedad , que surgen del grupo fundamental . Según la conjetura de Novikov, las signaturas superiores , que son ciertos invariantes numéricos de variedades diferenciables , son invariantes homotópicas.

La conjetura se ha demostrado para grupos abelianos finitamente generados . Aún se desconoce si la conjetura de Novikov es válida para todos los grupos . No se conocen contraejemplos a la conjetura.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo discreto y${\displaystyle BG}$su espacio de clasificación , que es un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo${\displaystyle K(G,1)}$y, por lo tanto, único salvo equivalencia homotópica como complejo CW . Sea

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

ser un mapa continuo de un sistema cerrado orientado${\displaystyle n}$variedad dimensional${\displaystyle M}$a${\displaystyle BG}$, y

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

Novikov consideró la expresión numérica, encontrada al evaluar la clase de cohomología en la dimensión superior contra la clase fundamental.${\displaystyle [M]}$y conocida como una firma superior :

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

dónde${\displaystyle L_{i}}$es el${\displaystyle i^{\rm {th}}}$polinomio de Hirzebruch , o a veces (de forma menos descriptiva) como el${\displaystyle i^{\rm {th}}}$${\displaystyle L}$-polinomial. Para cada${\displaystyle i}$, este polinomio puede expresarse en las clases de Pontryagin del fibrado tangente de la variedad . La conjetura de Novikov afirma que la signatura superior es un invariante del tipo de homotopía orientada de${\displaystyle M}$para cada uno de esos mapas${\displaystyle f}$y cada una de esas clases${\displaystyle x}$, en otras palabras, si${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$es una equivalencia de homotopía que preserva la orientación, la signatura más alta asociada a${\displaystyle f\circ h}$es igual al asociado a${\displaystyle f}$.

La conjetura de Novikov es equivalente a la inyectividad racional del mapa de ensamblaje en la teoría L. La conjetura de Borel sobre la rigidez de las variedades asféricas es equivalente a que el mapa de ensamblaje sea un isomorfismo .

• Davis, James F. (2000), "Aspectos diversos de la conjetura de Novikov" (PDF) , en Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (eds.), Estudios sobre teoría de la cirugía. Vol. 1 , Annals of Mathematics Studies , Princeton University Press , pp. 195–224 , ISBN  978-0-691-04937-3, MR 1747536 
• John Milnor y James D. Stasheff , Clases características, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton (1974).
• Sergei P. Novikov , Construcción algebraica y propiedades de análogos hermíticos de la teoría k sobre anillos con involución desde el punto de vista del formalismo hamiltoniano. Algunas aplicaciones a la topología diferencial y a la teoría de clases características . Izv.Akad.Nauk SSSR, vol. 34, 1970 I N2, pp.  253–288; II: N3, pp.  475–500. Resumen en inglés en Actes Congr. Intern. Math., vol. 2, 1970, pp.  39–45.

• Biografía de Sergei Novikov
• Bibliografía de la conjetura de Novikov
• Conjetura de Novikov 1993 Actas de la Conferencia de Oberwolfach, Volumen 1
• Conjetura de Novikov, 1993. Actas de la Conferencia de Oberwolfach, Volumen 2.
• Apuntes del seminario Oberwolfach de 2004 sobre la conjetura de Novikov (pdf)
• Artículo de Scholarpedia de SP Novikov (2010)
• La conjetura de Novikov en el atlas de variedades