Dominio integralmente cerrado

En álgebra conmutativa , un dominio integralmente cerrado A es un dominio integral cuya clausura integral en su cuerpo de fracciones es el propio A. Dicho de otro modo, si x es un elemento del cuerpo de fracciones de A que es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, entonces x es un elemento de A. Muchos dominios bien estudiados son integralmente cerrados, como lo demuestra la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Un ejemplo explícito es el anillo de enteros Z , un dominio euclidiano . Todos los anillos locales regulares también son integralmente cerrados.

Un anillo cuyas localizaciones en todos los ideales primos son dominios integralmente cerrados es un anillo normal .

Sea A un dominio integralmente cerrado con cuerpo de fracciones K y sea L una extensión de cuerpo de K. Entonces x ∈ L es integral sobre A si y solo si es algebraico sobre K y su polinomio mínimo sobre K tiene coeficientes en A. ^{[ 1 ]} En particular, esto significa que cualquier elemento de L integral sobre A es raíz de un polinomio mónico en A [ X ] que es irreducible en K [ X ].

Si A es un dominio contenido en un cuerpo K, podemos considerar la clausura integral de A en K (es decir, el conjunto de todos los elementos de K que son integrales sobre A ). Esta clausura integral es un dominio integralmente cerrado.

Los dominios integralmente cerrados también juegan un papel en la hipótesis del teorema de descenso . El teorema establece que si A ⊆ B es una extensión integral de dominios y A es un dominio integralmente cerrado, entonces la propiedad de descenso se cumple para la extensión A ⊆ B.

Los siguientes son dominios integralmente cerrados.

• Un dominio ideal principal (en particular: los números enteros y cualquier cuerpo).
• Un dominio de factorización único (en particular, cualquier anillo de polinomios sobre un cuerpo, sobre los números enteros o sobre cualquier dominio de factorización único).
• Un dominio MCD (en particular, cualquier dominio de Bézout o dominio de valoración ).
• Un dominio de Dedekind (en particular, cualquier anillo de enteros de un cuerpo numérico ).
• Un álgebra simétrica sobre un cuerpo (ya que toda álgebra simétrica es isomorfa a un anillo de polinomios en varias variables sobre un cuerpo).
• Dejar${\displaystyle k}$ser un campo de características no 2 y${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$un anillo de polinomios sobre él. Si${\displaystyle f}$es un polinomio no constante libre de cuadrados en${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$es un dominio integralmente cerrado. ^{[ 2 ]} En particular,${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$es un dominio integralmente cerrado si${\displaystyle r\geq 2}$. ^{[ 3 ]}

Para dar un ejemplo que no sea un ejemplo, ^{[ 4 ]} sea k un campo y${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$, la subálgebra generada por t ² y t ³ . Entonces A no es integralmente cerrado: tiene el cuerpo de fracciones${\displaystyle k(t)}$y el polinomio mónico${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$en la variable X tiene raíz t que está en el campo de fracciones pero no en A. Esto está relacionado con el hecho de que la curva plana${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$tiene una singularidad en el origen.

Otro dominio que no es integralmente cerrado es${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}\,]}$; su campo de fracciones contiene el elemento${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$, que no está en A pero satisface el polinomio mónico${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$.

Para un dominio local noetheriano A de dimensión uno, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

• A es integralmente cerrado.
• El ideal máximo de A es principal.
• A es un anillo de valoración discreta (o equivalentemente, A es Dedekind).
• A es un anillo local normal.

Sea A un dominio integral noetheriano. Entonces A es integralmente cerrado si y solo si (i) A es la intersección de todas las localizaciones.${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$por encima de los ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de altura 1 y (ii) la localización${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$en el punto óptimo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de altura 1 es un anillo de valoración discreto.

Un anillo noetheriano es un dominio de Krull si y solo si es un dominio integralmente cerrado.

En el contexto no noetheriano, se tiene lo siguiente: un dominio integral es integralmente cerrado si y solo si es la intersección de todos los anillos de valuación que lo contienen.

Autores como Serre , Grothendieck y Matsumura definen un anillo normal como un anillo cuyas localizaciones en ideales primos son dominios integralmente cerrados. Tal anillo es necesariamente un anillo reducido , ^{[ 5 ]} y esto a veces se incluye en la definición. En general, si A es un anillo noetheriano cuyas localizaciones en ideales maximales son todos dominios, entonces A es un producto finito de dominios. ^{[ 6 ]} En particular, si A es un anillo noetheriano y normal, entonces los dominios en el producto son dominios integralmente cerrados. ^{[ 7 ]} Recíprocamente, cualquier producto finito de dominios integralmente cerrados es normal. En particular, si${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$Si A es noetheriano, normal y conexo, entonces A es un dominio integralmente cerrado. (Cf. variedad lisa ).

Sea A un anillo noetheriano. Entonces ( criterio de Serre ) A es normal si y solo si satisface lo siguiente: para cualquier ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$,

1. Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$tiene altura${\displaystyle \leq 1}$, entonces${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$es regular (es decir,${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$es un anillo de valoración discreto .)
2. Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$tiene altura${\displaystyle \geq 2}$, entonces${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$tiene profundidad${\displaystyle \geq 2}$. ^{[ 8 ]}

El elemento (i) se suele formular como "regular en codimensión 1". Nótese que (i) implica que el conjunto de primos asociados${\displaystyle Ass(A)}$no tiene primos incrustados y, cuando (i) es el caso, (ii) significa que${\displaystyle Ass(A/fA)}$no tiene primo incrustado para ningún divisor de ceros f . En particular, un anillo de Cohen-Macaulay satisface (ii). Geométricamente, tenemos lo siguiente: si X es una intersección completa local en una variedad no singular; ^{[ 9 ]} p. ej., X mismo es no singular, entonces X es de Cohen-Macaulay; es decir, los tallos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$del haz de estructura son Cohen-Macaulay para todos los ideales primos p. Entonces podemos decir: X es normal (es decir, los tallos de su haz de estructura son todos normales) si y solo si es regular en codimensión 1.

Sea A un dominio y K su cuerpo de fracciones. Se dice que un elemento x en K es casi integral sobre A si el subanillo A [ x ] de K generado por A y x es un ideal fraccionario de A ; es decir, si existe un no nulo${\displaystyle d\in A}$de tal manera que${\displaystyle dx^{n}\in A}$a pesar de${\displaystyle n\geq 0}$Se dice que A es completamente integralmente cerrado si todo elemento casi entero de K está contenido en A. Un dominio completamente integralmente cerrado es integralmente cerrado. Recíprocamente, un dominio noetheriano integralmente cerrado es completamente integralmente cerrado.

Supongamos que A es completamente integralmente cerrado. Entonces, el anillo de series de potencias formales${\displaystyle A[[X]]}$es completamente integralmente cerrado. ^{[ 10 ]} Esto es significativo ya que el análogo es falso para un dominio integralmente cerrado: sea R un dominio de valuación de altura al menos 2 (que es integralmente cerrado). Entonces${\displaystyle R[[X]]}$no es integralmente cerrado. ^{[ 11 ]} Sea L una extensión de cuerpo de K . Entonces el cierre integral de A en L es completamente integralmente cerrado. ^{[ 12 ]}

Un dominio integral es completamente cerrado integralmente si y solo si el monoide de divisores de A es un grupo. ^{[ 13 ]}

Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio de integridad A :

1. A está integralmente cerrado;
2. A _p (la localización de A con respecto a p ) es integralmente cerrada para todo ideal primo p ;
3. Un _m es integralmente cerrado para cada ideal maximal m .

1 → 2 resulta inmediatamente de la preservación del cierre integral bajo localización; 2 → 3 es trivial; 3 → 1 resulta de la preservación del cierre integral bajo localización, la exactitud de la localización y la propiedad de que un A -módulo M es cero si y solo si su localización con respecto a cada ideal maximal es cero.

Por el contrario, el "cerrado integralmente" no pasa por el cociente, ya que Z [t]/(t ² +4) no es integralmente cerrado.

La localización de un dominio completamente cerrado integralmente no tiene por qué ser completamente cerrado integralmente. ^{[ 14 ]}

Un límite directo de dominios integralmente cerrados es un dominio integralmente cerrado.

Sea A un dominio noetheriano integralmente cerrado.

Un ideal I de A es divisorial si y solo si todo primo asociado de A / I tiene altura uno. ^{[ 15 ]}

Sea P el conjunto de todos los ideales primos en A de altura uno. Si T es un módulo de torsión finitamente generado, se establece:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

lo cual tiene sentido como suma formal; es decir, un divisor. Escribimos${\displaystyle c(d)}$para la clase divisor de d . Si${\displaystyle F,F'}$son submódulos maximales de M , entonces${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$^{[ 16 ]} y${\displaystyle c(\chi (M/F))}$se denota (en Bourbaki) por${\displaystyle c(M)}$.

• Anillo local Unibranch