singularidad de cruce normal

En geometría algebraica , una singularidad de cruce normal se asemeja localmente a una unión de hiperplanos de coordenadas . Existen dos variantes de este concepto: un divisor con cruces normales o con cruces normales simples . Estas pueden considerarse las singularidades más simples. Varios teoremas sobre la resolución de singularidades relacionan una variedad arbitraria con un divisor con cruces normales simples en una variedad diferenciable .

Sea X una variedad algebraica sobre un cuerpo perfecto k . (La misma definición se aplica a una variedad compleja X ). Sea D un conjunto finito de subvariedades cerradas de X (entendido como irreducible ), escrito formalmente como una suma,${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}D_{j}}$Para algunos propósitos, se puede identificar D con el subconjunto cerrado.${\displaystyle \cup _{j}D_{j}}$de X. Entonces D es un divisor con cruces normales simples (o un divisor snc ) en X si

• X es suave sobre k ,
• cada${\displaystyle D_{j}}$es suave y de codimensión 1 en X , y
• las variedades${\displaystyle D_{j}}$se intersecan transversalmente en X. Es decir, en un punto p que se encuentra en s de las variedades.${\displaystyle D_{j}}$, la intersección de los espacios tangentes de esos${\displaystyle D_{j}}$'s en p tiene codimensión s en el espacio tangente de X en p .

La condición de transversalidad puede reformularse de varias maneras. Sobre los números complejos, es equivalente a decir que en un punto complejo p que se encuentra en s de las subvariedades, por ejemplo,${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{s}}$, existe un complejo diagrama de coordenadas analíticas alrededor de p en el que p es el origen en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n}):z_{j}\in \mathbb {C} {\text{ para cada }}j\}}$y${\displaystyle D_{j}}$es el hiperplano de coordenadas${\displaystyle \{z_{j}=0\}}$, para${\displaystyle j=1,\ldots ,s}$. ^{[ 1 ]} En el lenguaje de los esquemas , la transversalidad significa que la intersección teórico-esquemática de cualquier s de la${\displaystyle D_{j}}$'s es suave de codimensión s en X (o vacío). ^{[ 2 ]}

Fuera del contexto de las variedades sobre un cuerpo perfecto, se utiliza la siguiente definición más general. Sea X un esquema,${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$una suma formal de subesquemas cerrados integrales . Para cada punto p en X , sea${\displaystyle O_{X,p}}$Sea el anillo local de X en p (el anillo de funciones regulares cerca de p ), con ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$(las funciones que se anulan en p ) y campo residual${\displaystyle k(p)}$Digamos que funciona${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$en${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$formen coordenadas locales en p si se asignan a una base para el${\displaystyle k(p)}$-espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$. Entonces D es un divisor con cruces normales simples en X si X es regular y para cada punto p en X , hay coordenadas locales${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$en p para el cual cada${\displaystyle D_{j}}$que contiene p es igual al subesquema cerrado${\displaystyle \{z_{i(j)}=0\}}$cerca de p para algunos${\displaystyle i(j)}$. ^{[ 3 ]}

Existe una noción más general de divisor, que significa una suma formal de subvariedades de codimensión 1 con coeficientes enteros,${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}a_{j}D_{j}}$Se dice que un divisor D tiene cruces normales simples en X si el divisor "reducido" asociado${\displaystyle \sum _{j=1}^{r}D_{j}}$tiene cruces normales simples en X . ^{[ 3 ]}

Aunque un divisor con cruces normales simples es muy especial, el concepto puede usarse para estudiar variedades arbitrarias usando los teoremas de Heisuke Hironaka sobre resolución de singularidades . Un resultado es: sea X una variedad sobre un cuerpo de característica cero, y sea S un subconjunto cerrado de Zariski que contiene el lugar singular de X y no es todo X. (El caso en que S es igual al lugar singular ya es importante). Entonces hay un morfismo birracional propio f de una variedad suave Y a X tal que f es un isomorfismo sobre X – S y la imagen inversa de S es un divisor con cruces normales simples en Y. [ ^{4 ]} Esta es una afirmación óptima; no siempre se puede hacer que la imagen inversa de ^S sea suave, por ejemplo.

Alexander Grothendieck conjeturó que lo mismo (en términos de esquemas regulares en lugar de variedades suaves) debería ser cierto para las variedades algebraicas sobre cualquier cuerpo, e incluso más generalmente, para los esquemas cuasi-excelentes .

En términos más generales,${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$es un divisor con cruces normales en un esquema X si X es regular y para cada punto p en X , existe un morfismo étale.${\displaystyle X'\to X}$con p en la imagen tal que la imagen inversa de D es un divisor con cruces normales simples en${\displaystyle X'}$. ^{[ 3 ]} Cuando X es una variedad sobre un cuerpo perfecto k , es equivalente decir que la inclusión de D en X es étale-localmente isomorfa a una unión de hiperplanos de coordenadas en el espacio afín.${\displaystyle A_{k}^{n}}$. Un divisor con cruces normales tiene cruces normales simples si y solo si cada componente irreducible de D es regular.

• El subconjunto cerrado${\displaystyle \{xy=0\}}$en el plano afín${\displaystyle A^{2}}$Sobre un campo, visto como un divisor, existen intersecciones normales simples. Esta es la unión de los dos ejes de coordenadas.
• La curva cúbica nodal${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{2}(x+1)\}}$es un divisor con intersecciones normales en el plano afín, pero no tiene intersecciones normales simples. (Las intersecciones normales simples implicarían que cada componente irreducible de D es regular, mientras que en este caso D es irreducible y singular).
• La curva cúbica cuspidal${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{3}\}}$en el plano afín no tiene cruces normales.
• El divisor${\displaystyle \{(y+x^{2})(y-x^{2})=0\}}$en el plano afín, digamos más${\displaystyle \mathbb {C} }$, no tiene intersecciones normales. (Los dos componentes irreducibles son suaves, pero no se intersecan transversalmente).
• El divisor${\displaystyle \{yx(y-x)=0\}}$En el plano afín no existen intersecciones normales. (Cada una de las tres componentes irreducibles es suave, y cualesquiera dos de ellas se intersecan transversalmente, pero las tres juntas no son transversales. La transversalidad implicaría que la intersección de más de n componentes en una variedad n -dimensional es vacía).

Se dice que un esquema Y es snc o tiene cruces normales simples si cada punto tiene un entorno abierto de Zariski que es isomorfo a un divisor con cruces normales simples (considerado como un subesquema cerrado reducido ) en algún esquema regular. Por lo tanto, Y no necesita darse (globalmente) como un subesquema cerrado de un esquema regular. ^{[ 5 ]} De igual modo, un esquema Y tiene cruces normales si cada punto tiene un entorno étale.${\displaystyle Y'\to Y}$de tal manera que${\displaystyle Y'}$es isomorfo a un divisor con cruces normales simples en algún esquema regular. Por ejemplo, las curvas estables son esquemas de cruces normales de dimensión 1.

• Kollár, János (2007), Conferencias sobre resolución de singularidades , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-12923-5, MR 2289519 
• Kollár, János (2013), Singularidades del programa modelo mínimo , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139547895 , ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950 
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica (2 vols.) , Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471 

• Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks