Transversalidad

En matemáticas , la transversalidad es un concepto que describe cómo se intersecan los espacios ; puede considerarse lo opuesto a la tangencia y desempeña un papel importante en la posición general . Formaliza la idea de una intersección genérica en topología diferencial . Se define considerando las linealizaciones de los espacios que se intersecan en los puntos de intersección.

Se dice que dos subvariedades de una variedad lisa de dimensión finita dada se intersecan transversalmente si en cada punto de intersección , sus espacios tangentes separados en ese punto generan juntos el espacio tangente de la variedad ambiente en ese punto. ^{[ 1 ]} Las variedades que no se intersecan son trivialmente transversales. Si las variedades son de dimensión complementaria (es decir, sus dimensiones suman la dimensión del espacio ambiente ), la condición significa que el espacio tangente a la variedad ambiente es la suma directa de los dos espacios tangentes más pequeños. Si una intersección es transversal, entonces la intersección será una subvariedad cuya codimensión es igual a la suma de las codimensiones de las dos variedades. En ausencia de la condición de transversalidad, la intersección puede no ser una subvariedad, teniendo algún tipo de punto singular .

En particular, esto significa que las subvariedades transversales de dimensión complementaria se intersecan en puntos aislados (es decir, una 0-variedad ). Si tanto las subvariedades como la variedad ambiente están orientadas , su intersección también lo está. Cuando la intersección es de dimensión cero, la orientación es simplemente un signo positivo o negativo para cada punto.

Una notación para la intersección transversal de dos subvariedades${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$de una determinada variedad${\displaystyle M}$es${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}}$. Esta notación se puede leer de dos maneras: ya sea como “${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$intersecar transversalmente” o como notación alternativa para la intersección en teoría de conjuntos${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$de${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$cuando esa intersección es transversal. En esta notación, la definición de transversalidad se lee:

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}\oplus T_{p}L_{2}.}$

La noción de transversalidad de un par de subvariedades se extiende fácilmente a la transversalidad de una subvariedad y una aplicación a la variedad ambiente, o a un par de aplicaciones a la variedad ambiente, preguntando si las proyecciones de los espacios tangentes a lo largo de la preimagen de los puntos de intersección de las imágenes generan todo el espacio tangente de la variedad ambiente. ^{[ 2 ]} Si las aplicaciones son incrustaciones , esto es equivalente a la transversalidad de subvariedades.

Supongamos que tenemos mapas transversales${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M}$y${\displaystyle f_{2}:L_{2}\to M}$dónde${\displaystyle L_{1},L_{2}}$y${\displaystyle M}$son colectores con dimensiones${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$y${\displaystyle m}$respectivamente.

El significado de transversalidad difiere mucho dependiendo de las dimensiones relativas de${\displaystyle M,L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$La relación entre transversalidad y tangencia es más clara cuando${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$.

Podemos considerar tres casos distintos:

1. Cuando${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$, es imposible para la imagen de${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$espacios tangentes de abarcar${\displaystyle M}$espacio tangente de en cualquier punto. Por lo tanto, cualquier intersección entre${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$no puede ser transversal. Sin embargo, las variedades que no se intersecan satisfacen trivialmente la condición, por lo que se puede decir que se intersecan transversalmente.
2. Cuando${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$, la imagen de${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$Los espacios tangentes deben sumar directamente a${\displaystyle M}$espacio tangente en cualquier punto de intersección. Su intersección consiste, por lo tanto, en puntos aislados, es decir, es una variedad de dimensión cero. Si${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$Si están orientados, entonces se puede asignar un signo a cada uno de esos puntos.
3. Cuando${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$Esta suma no tiene por qué ser directa. De hecho, no puede ser directa si${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$son inmersiones en su punto de intersección, como sucede en el caso de subvariedades incrustadas. Si los mapas son inmersiones, la intersección de sus imágenes será una variedad de dimensión${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m.}$

Dadas dos subvariedades suaves cualesquiera, es posible perturbar cualquiera de ellas en una cantidad arbitrariamente pequeña de tal manera que la subvariedad resultante interseque transversalmente con la subvariedad fija. Tales perturbaciones no afectan la clase de homología de las variedades ni de sus intersecciones. Por ejemplo, si las variedades de dimensión complementaria intersecan transversalmente, la suma con signo del número de sus puntos de intersección no cambia incluso si isotopamos las variedades a otra intersección transversal. (Los puntos de intersección se pueden contar módulo 2, ignorando los signos, para obtener un invariante más grueso). Esto se reduce a un producto de intersección bilineal en clases de homología de cualquier dimensión, que es dual de Poincaré al producto de copa en cohomología . Al igual que el producto de copa, el producto de intersección es graduado-conmutativo .

El ejemplo no trivial más sencillo de transversalidad es el de los arcos en una superficie . Un punto de intersección entre dos arcos es transversal si y solo si no es una tangencia, es decir, sus líneas tangentes dentro del plano tangente a la superficie son distintas.

En un espacio tridimensional, dos curvas solo pueden ser transversales si su intersección es vacía, ya que sus espacios tangentes generan, como máximo, un espacio bidimensional. Las curvas transversales a superficies se intersecan en puntos, y las superficies transversales entre sí se intersecan mediante curvas. Las curvas tangentes a una superficie en un punto (por ejemplo, las curvas que se encuentran sobre una superficie) no la intersecan transversalmente.

He aquí un ejemplo más especializado: supongamos que${\displaystyle G}$es un grupo de Lie simple y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es su álgebra de Lie. Por el teorema de Jacobson-Morozov, todo elemento nilpotente${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$puede incluirse en un${\displaystyle {\mathfrak {sl_ {2}}}}$-triple${\displaystyle (e,h,f)}$. La teoría de la representación de${\displaystyle {\mathfrak {sl_ {2}}}}$nos dice que${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$El espacio${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$es el espacio tangente en${\displaystyle e}$a la órbita adjunta${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$y así el espacio afín${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$interseca la órbita de${\displaystyle e}$transversalmente. El espacio${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$Se la conoce como la "rebanada de Slodowy" en honor a Peter Slodowy .

"Transversal" es un sustantivo; el adjetivo es "transverso".

cita de JHC Whitehead , 1959 ^{[ 3 ]}

Se encuentra en el bloque Unicode Operadores matemáticos :

• U+22D4 ⋔ DIAPASÓN ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Se encuentra en el bloque Unicode Operadores matemáticos suplementarios : ^{[ 6 ]}

• U+2ADB ⫛ INTERSECCIÓN TRANSVERSAL ^{[ 7 ] : iii, 74} ( LaTeX :en elpaquete stix ^{[ 8 ]} )\mlcp
• U+2ADA ⫚ HORQUILLA CON TELA ^{[ 9 ] : xv, 28}

• Teorema de transversalidad

• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés diferenciables". Comentario. Matemáticas. Helv. 28 (1): 17– 86. doi : 10.1007/BF02566923 . S2CID 120243638 . 
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.