Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Modelo sigma no lineal

En la teoría cuántica de campos , un modelo σ no lineal describe un campo Σ que toma valores en una variedad no lineal llamada variedad objetivo T. El modelo σ no lineal fue int...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En la teoría cuántica de campos , un modelo σ no lineal describe un campo Σ que toma valores en una variedad no lineal llamada variedad objetivo T. El modelo σ no lineal fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960 , §6) , quienes lo nombraron en honor a un campo correspondiente a un mesón sp llamado σ en su modelo. [ 1 ] Este artículo trata principalmente sobre la cuantización del modelo sigma no lineal; consulte el artículo base sobre el modelo sigma para definiciones generales y formulaciones y resultados clásicos (no cuánticos). 

Descripción

La variedad objetivo T está equipada con una métrica riemanniana g . Σ es una aplicación diferenciable del espacio de Minkowski M (o algún otro espacio) a T.  

La densidad lagrangiana en forma quiral contemporánea [ 2 ] viene dada por

L=12gramo(∂μΣ,∂μΣ)−V(Σ){\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}

donde hemos utilizado una signatura métrica  + −  − −  y la derivada parcial ∂Σ viene dada por una sección del haz de jets de T × M y V es el potencial.

En la notación de coordenadas, con las coordenadas Σ a , a  =  1,  ..., n donde n es la dimensión de T ,  

L=12gramoab(Σ)(∂μΣa)(∂μΣb)−V(Σ).{\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}

En más de dos dimensiones, los modelos σ no lineales contienen una constante de acoplamiento dimensional y, por lo tanto, no son renormalizables perturbativamente. Sin embargo, exhiben un punto fijo ultravioleta no trivial del grupo de renormalización tanto en la formulación reticular [ 3 ] [ 4 ] como en la expansión doble propuesta originalmente por Kenneth G. Wilson . [ 5 ]

En ambos enfoques, el punto fijo del grupo de renormalización no trivial hallado para el modelo con simetría O(n) describe, en dimensiones mayores que dos, el punto crítico que separa la fase ordenada de la desordenada. Además, las predicciones mejoradas de la teoría de la red o de la teoría cuántica de campos pueden compararse con experimentos de laboratorio sobre fenómenos críticos , dado que el modelo O(n) describe ferromagnetos de Heisenberg físicos y sistemas relacionados. Por lo tanto, los resultados anteriores señalan un fallo de la teoría de perturbaciones ingenua para describir correctamente el comportamiento físico del modelo con simetría O(n) en dimensiones superiores a dos, y la necesidad de métodos no perturbativos más sofisticados, como la formulación de la red.

Esto significa que solo pueden surgir como teorías de campo efectivas . Se necesita nueva física en la escala de distancia donde la función de correlación conectada de dos puntos es del mismo orden que la curvatura de la variedad objetivo. Esto se llama la completitud UV de la teoría. Hay una clase especial de modelos σ no lineales con el grupo de simetría interna G *. Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie , entonces el espacio cociente G / H es una variedad (sujeto a ciertas restricciones técnicas como que H sea un subconjunto cerrado) y también es un espacio homogéneo de G o, en otras palabras, una realización no lineal de G. En muchos casos, G / H puede equiparse con una métrica riemanniana que es G -invariante. Este es siempre el caso, por ejemplo, si G es compacto . Un modelo σ no lineal con G/H como variedad objetivo con una métrica riemanniana G -invariante y un potencial cero se llama modelo σ no lineal de espacio cociente (o espacio de clases laterales) .   

Al calcular integrales de trayectoria , la medida funcional debe ser "ponderada" por la raíz cuadrada del determinante de g , 

detgramoDΣ.{\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}

Renormalización

Este modelo demostró ser relevante en la teoría de cuerdas, donde la variedad bidimensional se denomina hoja de mundo . Daniel Friedan aportó una apreciación de su renormalizabilidad generalizada . [ 6 ] Demostró que la teoría admite una ecuación de grupo de renormalización, en el orden principal de la teoría de perturbaciones, en la forma

λ∂gramoab∂λ=βab(T−1gramo)=Rab+O(T2) ,{\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}

R ab es el tensor de Ricci de la variedad objetivo.

Esto representa un flujo de Ricci que obedece a las ecuaciones de campo de Einstein para la variedad objetivo como punto fijo. La existencia de dicho punto fijo es relevante, ya que garantiza, en este orden de la teoría de perturbaciones, que la invariancia conforme no se pierde debido a correcciones cuánticas, de modo que la teoría cuántica de campos de este modelo es coherente (renormalizable).

La adición de interacciones no lineales que representan anomalías quirales de sabor da como resultado el modelo de Wess-Zumino-Witten , [ 7 ] que amplía la geometría del flujo para incluir torsión , preservando la renormalizabilidad y conduciendo también a un punto fijo infrarrojo , debido al teleparalelismo ("geometrostasis"). [ 8 ]

Modelo sigma no lineal O(3)

Un ejemplo célebre, de particular interés debido a sus propiedades topológicas, es el modelo σ no lineal O(3) en 1 + 1 dimensiones, con la densidad lagrangiana  

L=12 ∂μnorte^⋅∂μnorte^{\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}

donde n ̂ =( n 1 , n 2 , n 3 ) con la restricción n ̂ ⋅ n ̂ =1 y μ =1,2.

Este modelo permite soluciones topológicas de acción finita, ya que en el espacio-tiempo infinito la densidad lagrangiana debe anularse, lo que significa que n ̂ = constante en el infinito. Por lo tanto, en la clase de soluciones de acción finita, se pueden identificar los puntos en el infinito como un único punto, es decir, que el espacio-tiempo puede identificarse con una esfera de Riemann .

Dado que el campo n ̂ también reside en una esfera, se evidencia el mapeo S 2 → S 2 , cuyas soluciones se clasifican según el segundo grupo de homotopía de una 2-esfera: Estas soluciones se denominan Instantones O(3) .

Este modelo también puede considerarse en 1+2 dimensiones, donde la topología ahora proviene únicamente de las secciones espaciales. Estas se modelan como R² con un punto en el infinito y, por lo tanto, tienen la misma topología que los instantones O(3) en 1+1 dimensiones. Se les denomina cúmulos del modelo sigma.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente vectorial axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , 16 (4), Sociedad Italiana de Física: 705– 726, Bibcode : 1960NCim...16..705G , doi : 10.1007/BF02859738 , ISSN 1827-6121 , S2CID 122945049  
  2. ↑ Gürsey, F. (1960). "Sobre las simetrías de las interacciones fuertes y débiles". Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230– 240. Bibcode : 1960NCim...16..230G . doi : 10.1007/BF02860276 . S2CID 122270607 . 
  3. ↑ Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford University Press.
  4. ↑ Cardy, John L. (1997). Escalamiento y el grupo de renormalización en física estadística . Cambridge University Press.
  5. ↑ Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). "Renormalización del modelo sigma no lineal en 2 + épsilon dimensiones". Physical Review Letters . 36 (13): 691– 693. Bibcode : 1976PhRvL..36..691B . doi : 10.1103/PhysRevLett.36.691 .
  6. ↑ Friedan, D. (1980). "Modelos no lineales en 2+ε dimensiones" . Physical Review Letters . 45 (13): 1057– 1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F . doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057 .
  7. ↑ Witten, E. (1984). "Bosonización no abeliana en dos dimensiones" . Communications in Mathematical Physics . 92 (4): 455– 472. Bibcode : 1984CMaPh..92..455W . doi : 10.1007/BF01215276 . S2CID 122018499 . 
  8. ↑ Braaten, E.; Curtright, TL; Zachos, CK (1985). "Torsión y geometrostasis en modelos sigma no lineales". Nuclear Physics B . 260 ( 3– 4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B . doi : 10.1016/0550-3213(85)90053-7 .
  • Ketov, Sergei (2009). "Modelo sigma no lineal" . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
  • Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, DS (2002). "Formulaciones del hamiltoniano de forma frontal, integral de trayectoria y BRST del modelo sigma no lineal". International Journal of Theoretical Physics . 41 (10): 1941– 1956. doi : 10.1023/A:1021009008129 . S2CID 115710780 .