Función de Ursell

En mecánica estadística , una función de Ursell o función de correlación conectada es un cumulante de una variable aleatoria . A menudo se puede obtener sumando sobre diagramas de Feynman conectados (la suma sobre todos los diagramas de Feynman da las funciones de correlación ).

La función Ursell recibió su nombre en honor a Harold Ursell , quien la introdujo en 1927.

Si X es una variable aleatoria, los momentos s _n y los cumulantes (igual que las funciones de Ursell) u _n son funciones de X relacionadas por la fórmula exponencial :

$${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$$

(dónde${\displaystyle \operatorname {E} }$es la expectativa ).

Las funciones de Ursell para variables aleatorias multivariadas se definen de forma análoga a lo anterior, y del mismo modo que los cumulantes multivariados. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

Las funciones de Ursell de una única variable aleatoria X se obtienen a partir de estas estableciendo X = X ₁ = ⋯ = X _n .

Los primeros son dados por $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\[1ex]u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\[1ex]u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\\&+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\[1ex]u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\&-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$$

Percus (1975) demostró que las funciones de Ursell, consideradas como funciones multilineales de varias variables aleatorias, están determinadas de forma única salvo una constante por el hecho de que se anulan siempre que las variables X _i se puedan dividir en dos conjuntos independientes no vacíos.

• Cumulante