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Articulo de referencia

Expectativa no lineal

En teoría de la probabilidad , una expectativa no lineal es una generalización no lineal de la expectativa . Las expectativas no lineales son útiles en la teoría de la utilidad,...

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En teoría de la probabilidad , una expectativa no lineal es una generalización no lineal de la expectativa . Las expectativas no lineales son útiles en la teoría de la utilidad, ya que se ajustan mejor al comportamiento humano que las expectativas tradicionales. [ 1 ] El uso común de las expectativas no lineales radica en la evaluación de riesgos en condiciones de incertidumbre. Generalmente, las expectativas no lineales se clasifican en expectativas sublineales y superlineales, dependiendo de las propiedades aditivas de los conjuntos dados. Gran parte del estudio de la expectativa no lineal se atribuye al trabajo de matemáticos en las últimas dos décadas.

Definición

Un funcionalmi:H→R{\displaystyle \mathbb {E} :{\mathcal {H}}\to \mathbb {R} } (dondeH{\displaystyle {\mathcal {H}}}es una red vectorial en un conjunto dadoΩ{\displaystyle \Omega }) es una esperanza no lineal si satisface: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

  1. Monotonicidad: siincógnita,Y∈H{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}de tal manera queincógnita≥Y{\displaystyle X\geq Y}entoncesmi[incógnita]≥mi[Y]{\displaystyle \mathbb {E} [X]\geq \mathbb {E} [Y]}
  2. Preservación de constantes: sido∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} }entoncesmi[do]=do{\displaystyle \mathbb {E} [c]=c}

La consideración completa del conjunto dado, el espacio lineal para las funciones dado ese conjunto y el valor esperado no lineal se denomina espacio de esperanza no lineal.

A menudo, también son deseables otras propiedades, por ejemplo, convexidad , subaditividad , homogeneidad positiva y traslación de constantes. [ 2 ] Para que una esperanza no lineal se clasifique además como una esperanza sublineal, también deben cumplirse las dos condiciones siguientes:

  1. Subaditividad: paraincógnita,Y∈H{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}entoncesmi[incógnita]+mi[Y]≥mi[incógnita+Y]{\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\geq \mathbb {E} [X+Y]}
  2. Homogeneidad positiva: paraλ≥0{\displaystyle \lambda \geq 0}entoncesmi[λincógnita]=λmi[incógnita]{\displaystyle \mathbb {E} [\lambda X]=\lambda \mathbb {E} [X]}

Para que una expectativa no lineal se clasifique como una expectativa superlineal, la condición de subaditividad anterior se reemplaza por la condición: [ 5 ]

  1. Superaditividad : paraincógnita,Y∈H{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}entoncesmi[incógnita]+mi[Y]≤mi[incógnita+Y]{\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\leq \mathbb {E} [X+Y]}

Ejemplos

  • Expectativa de Choquet : una integral subaditiva o superaditiva que se utiliza en el procesamiento de imágenes y la teoría de la decisión conductual.
  • g-expectativa a través de BSDE no lineales: frecuentemente utilizada para modelar la incertidumbre de la deriva financiera. [ 6 ]
  • Siρ{\displaystyle \rho }entonces es una medida de riesgomi[incógnita]:=ρ(−incógnita){\displaystyle \mathbb {E} [X]:=\rho (-X)}define una expectativa no lineal.
  • Cadenas de Markov : para la predicción de eventos que experimentan incertidumbres en el modelo. [ 7 ]

Referencias

  1. ↑ Peng, Shige (2017). "Teoría, métodos y significado de la teoría de la expectativa no lineal" . Scientia Sinica Mathematica . 47 (10): 1223– 1254. doi : 10.1360/N012016-00209 . S2CID 125094517 . 
  2. 1 2 Peng, Shige (2006). "G–Expectation, G–Brownian Motion and Related Stochastic Calculus of Itô Type". Abel Symposia . 2 . Springer-Verlag. arXiv : math/0601035 . Bibcode : 2006math......1035P .
  3. ↑ Peng, Shige (2004). "Expectativas no lineales, evaluaciones no lineales y medidas de riesgo". Métodos estocásticos en finanzas (PDF) . Notas de clase en matemáticas. Vol. 1856. págs. 165–138 . doi : 10.1007/978-3-540-44644-6_4 . ISBN   978-3-540-22953-7Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 9 de agosto de 2012 .
  4. ↑ Peng, Shige (2019). Expectativas no lineales y cálculo estocástico bajo incertidumbre . Berlín, Heidelberg: Springer. doi : 10.1007/978-3-662-59903-7 . ISBN 978-3-662-59902-0.
  5. ↑ Molchanov, Ilya; Mühlemann, Anja (2021-01-01). "Expectativas no lineales de conjuntos aleatorios" . Finanzas y estocástica . 25 (1): 5– 41. arXiv : 1903.04901 . doi : 10.1007/s00780-020-00442-3 . ISSN 1432-1122 . S2CID 254080636 .  
  6. ↑ Chen, Zengjing; Epstein, Larry (2002). "Ambigüedad, riesgo y rendimientos de los activos en tiempo continuo" . Econometrica . 70 (4): 1403– 1443. doi : 10.1111/1468-0262.00337 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 3082003 .  
  7. ↑ Nendel, Max (2021). "Cadenas de Markov bajo expectativa no lineal" . Mathematical Finance . 31 (1): 474– 507. arXiv : 1803.03695 . doi : 10.1111/mafi.12289 . ISSN 1467-9965 . S2CID 52064327 .