g-expectativa

En teoría de la probabilidad , la g-expectativa es una expectativa no lineal basada en una ecuación diferencial estocástica hacia atrás (BSDE) desarrollada originalmente por Shige Peng . ^{[ 1 ]}

Dado un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$con${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$es un proceso de Wiener ( d -dimensional) (en ese espacio). Dada la filtración generada por${\displaystyle (W_{t})}$, es decir${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])}$, dejar${\displaystyle X}$ser${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$medible . Consideremos la BSDE dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}}$

Entonces la g-expectativa para${\displaystyle X}$es dado por${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}}$. Tenga en cuenta que si${\displaystyle X}$es un vector m- dimensional, entonces${\displaystyle Y_{t}}$(por cada tiempo)${\displaystyle t}$) es un vector m- dimensional y${\displaystyle Z_{t}}$es un${\displaystyle m\times d}$matriz.

De hecho, la esperanza condicional viene dada por${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}}$y, al igual que la definición formal de expectativa condicional, se deduce que${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]}$para cualquier${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$(y el${\displaystyle 1}$La función es la función indicadora ). ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}}$ satisfacer:

1. ${\displaystyle g(\cdot ,y,z)}$es un${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$- proceso adaptado para cada${\displaystyle (y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}}$
2. ${\displaystyle \int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )}$el espacio L2 (donde${\displaystyle |\cdot |}$es una norma en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$)
3. ${\displaystyle g}$¿Es Lipschitz continuo en${\displaystyle (y,z)}$, es decir, por cada${\displaystyle y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$resulta que${\displaystyle |g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)}$por alguna constante${\displaystyle C}$

Entonces, para cualquier variable aleatoria${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} existe un par único de${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-procesos adaptados${\displaystyle (Y,Z)}$que satisfacen la ecuación diferencial estocástica. ^{[ 2 ]}

En particular, si${\displaystyle g}$Además satisface:

1. ${\displaystyle g}$es continuo en el tiempo (${\displaystyle t}$)
2. ${\displaystyle g(t,y,0)\equiv 0}$a pesar de${\displaystyle (t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

luego para la variable aleatoria terminal${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} se deduce que los procesos de solución${\displaystyle (Y,Z)}$son de cuadrado integrable. Por lo tanto${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$es de cuadrado integrable para todos los tiempos${\displaystyle t}$. ^{[ 3 ]}

• Valor esperado
• Expectativa de Choquet
• Medida de riesgo : casi cualquier medida de riesgo convexa y consistente en el tiempo se puede escribir como${\displaystyle \rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g}[-X]}$^{[ 4 ]}