Representación decimal

Una representación decimal de un número real no negativo r es su expresión como una secuencia de símbolos que consta de dígitos decimales tradicionalmente escritos con un solo separador: $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ Aquí , . es el separador decimal , k es un entero no negativo y${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$son dígitos , que son símbolos que representan números enteros en el rango 0, ..., 9.

Comúnmente,${\displaystyle b_{k}\neq 0}$si${\displaystyle k\geq 1.}$La secuencia de la${\displaystyle a_{i}}$—los dígitos después del punto— generalmente es infinito . Si es finito, se supone que los dígitos faltantes son 0. Si todos${\displaystyle a_{i}}$son 0 , el separador también se omite, lo que da como resultado una secuencia finita de dígitos, que representa un número natural .

La representación decimal representa la suma infinita : $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

Todo número real no negativo tiene al menos una de esas representaciones; tiene dos de esas representaciones (con${\displaystyle b_{k}\neq 0}$si${\displaystyle k>0}$) si y solo si uno tiene una secuencia infinita final de 0 y el otro tiene una secuencia infinita final de 9. Para tener una correspondencia biunívoca entre números reales no negativos y representaciones decimales, a veces se excluyen las representaciones decimales con una secuencia infinita final de 9. ^{[ 1 ]}

El número natural${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$, se denomina la parte entera de r , y se denota por un ₀ en el resto de este artículo. La secuencia de la${\displaystyle a_{i}}$representa el número $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ que pertenece al intervalo${\displaystyle [0,1),}$y se llama la parte fraccionaria de r (excepto cuando todos${\displaystyle a_{i}}$son iguales a 9 ).

Cualquier número real puede aproximarse con el grado de precisión deseado mediante números racionales con representaciones decimales finitas.

Asumir${\displaystyle x\geq 0}$. Entonces, para cada entero${\displaystyle n\geq 1}$hay un decimal finito${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$de tal manera que:

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Prueba : Sea${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$, dónde${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$. Entonces${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$y el resultado se obtiene dividiendo todos los lados por${\displaystyle 10^{n}}$. (El hecho de que${\displaystyle r_{n}}$(Tiene una representación decimal finita que se establece fácilmente).

Algunos números reales${\displaystyle x}$tienen dos representaciones decimales infinitas. Por ejemplo, el número 1 puede representarse igualmente por 1.000... como por 0.999... (donde las secuencias infinitas de 0 o 9 finales, respectivamente, se representan por "..."). Convencionalmente, se prefiere la representación decimal sin 9 finales. Además, en la representación decimal estándar de${\displaystyle x}$, una secuencia infinita de ceros finales que aparecen después del punto decimal se omite, junto con el punto decimal mismo si${\displaystyle x}$es un número entero.

Ciertos procedimientos para construir la expansión decimal de${\displaystyle x}$evitará el problema de los 9 finales. Por ejemplo, el siguiente procedimiento algorítmico dará la representación decimal estándar: Dado${\displaystyle x\geq 0}$, primero definimos${\displaystyle a_{0}}$(la parte entera de${\displaystyle x}$) ser el mayor entero tal que${\displaystyle a_{0}\leq x}$(es decir,${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$). Si${\displaystyle x=a_{0}}$El procedimiento finaliza. De lo contrario, para${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ya encontrado, definimos${\displaystyle a_{k}}$inductivamente, sea el mayor entero tal que:

El procedimiento finaliza cuando${\displaystyle a_{k}}$se encuentra tal que se cumple la igualdad en ( * ) ; de lo contrario, continúa indefinidamente dando una secuencia infinita de dígitos decimales. Se puede demostrar que${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$^{[ 2 ]} (escrito convencionalmente como${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$), dónde${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$y el entero no negativo${\displaystyle a_{0}}$se representa en notación decimal . Esta construcción se extiende a${\displaystyle x<0}$aplicando el procedimiento anterior a${\displaystyle -x>0}$y denotando la expansión decimal resultante por${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$.

Toda representación decimal de un número racional se puede convertir en una fracción sumándole sus partes enteras, no repetitivas y repetitivas, y luego convirtiendo esa suma en una sola fracción con un denominador común.

Por ejemplo, para convertir${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$En una fracción se observa el lema: $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{Los exponentes son el número de dígitos no repetidos después del punto decimal (3) y el número de dígitos repetidos (4).}}\end{aligned}}}$$

Así pues, la conversión se realiza de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{de arriba}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{denominador común}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplicando y sumando el numerador}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reduciendo}}\\\end{aligned}}}$$

Si no hay dígitos repetidos, se supone que hay un 0 que se repite indefinidamente, por ejemplo${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$, aunque dado que eso hace que el término repetido sea cero, la suma se simplifica a dos términos y una conversión más sencilla.

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

• Decimal
• Series (matemáticas)
• IEEE 754
• Simón Stevin

• Apostol, Tom (1974). Análisis matemático (Segunda  edición). Addison-Wesley .
• Savard, John JG (2018) [2006]. "Representaciones decimales" . quadibloc . Archivado del original el 16 de julio de 2018. Recuperado el 16 de julio de 2018 .