Base de numeración no entera

Una representación no entera utiliza números no enteros como el radio o base de un sistema de numeración posicional . Para un radio no entero β > 1, el valor de

${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$

es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}}$

Los números d _i son enteros no negativos menores que β . Esto también se conoce como β -expansión , un concepto introducido por Rényi (1957) y estudiado en detalle por primera vez por Parry (1960). Todo número real tiene al menos una β -expansión (posiblemente infinita) . El conjunto de todas las β -expansiones que tienen una representación finita es un subconjunto del anillo Z [ β ,  β ⁻¹ ].

Existen aplicaciones de las β -expansiones en la teoría de codificación ^[1] y en modelos de cuasicristales . ^[2]

Las expansiones β son una generalización de las expansiones decimales . Si bien las expansiones decimales infinitas no son únicas (por ejemplo, 1.000... = 0.999... ), todas las expansiones decimales finitas son únicas. Sin embargo, incluso las expansiones β finitas no son necesariamente únicas, por ejemplo φ + 1 = φ ² para β = φ , la proporción áurea . Una elección canónica para la expansión β de un número real dado puede determinarse mediante el siguiente algoritmo voraz , esencialmente debido a Rényi (1957) y formulado como se da aquí por Frougny (1992).

Sea β > 1 la base y x un número real no negativo. Denotemos por ⌊ x ⌋ la función base de x (es decir, el mayor entero menor o igual a x ) y sea { x } = x − ⌊ x ⌋ la parte fraccionaria de x . Existe un entero k tal que β ^k ≤ x < β ^{k +1} .

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

y

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

Para k − 1 ≥   j > −∞ , ponga

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

En otras palabras, la expansión β canónica de x se define eligiendo el d _k más grande tal que β ^k d _k ≤ x , luego eligiendo el d _{k −1} más grande tal que β ^k d _k + β ^{k −1} d _{k −1} ≤ x , y así sucesivamente. Por lo tanto, elige la cadena lexicográficamente más grande que representa a x .

Con una base entera, esto define la expansión de base habitual para el número x . Esta construcción extiende el algoritmo habitual a posibles valores no enteros de β .

Siguiendo los pasos anteriores, podemos crear una expansión β para un número real (los pasos son idénticos para un , aunque primero se debe multiplicar n por${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n<0}$−1 para que sea positivo, entonces el resultado debe multiplicarse por−1 para volverlo negativo nuevamente).

Primero, debemos definir nuestro valor k (el exponente de la potencia de β más cercana mayor que n , así como la cantidad de dígitos en , donde n se escribe en base β ). El valor k para n y β se puede escribir como: ${\displaystyle \lfloor n_{\beta }\rfloor }$${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1}$

Después de encontrar un valor k , se puede escribir como d , donde ${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}$

para k − 1 ≥   j > −∞ . Los primeros k valores de d aparecen a la izquierda del decimal.

Esto también se puede escribir en el siguiente pseudocódigo : ^[3]

función toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precisión = 8 resultado = ""   
	     
	  
	  

	para ( i = k - 1 , i > - precisión - 1 , i -- ) { si ( resultado . length == k ) resultado += "." dígito = floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -= dígito * b ^ i resultado += dígito }          
		      
		
		      
		    
		  
	

	devolver resultado } 

Tenga en cuenta que el código anterior solo es válido para y , ya que no convierte cada dígito a sus símbolos correctos ni a los números negativos correctos. Por ejemplo, si el valor de un dígito es${\displaystyle 1<\beta \leq 10}$${\displaystyle n\geq 0}$10 , se representará como10 en lugar de A.

• JavaScript : ^[3]

  función toBasePI ( num , precisión = 8 ) { sea k = Math.floor ( Math.log ( num ) / Math.log ( Math.PI ) ) + 1 ; si ( k < 0 ) k = 0 ;​​​​​​​         
           
            
  
      deje dígitos = [];   
  
      para ( sea i = k - 1 ; i > ( - 1 * precisión ) - 1 ; i -- ) { sea dígito = Math . floor (( num / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); num -= dígito * Math . pow ( Math . PI , i ); dígitos . push ( dígito );         
                  
               
          
  
          si ( num < 0.1 ** ( precisión + 1 ) && i <= 0 ) break ; }       
              
      
  
      si ( dígitos . longitud > k ) dígitos . splice ( k , 0 , "." );   
            
  
      devolver dígitos .join ( "" ) ; } 
  
  

• JavaScript: ^[3]

  función fromBasePI ( num ) { let numberSplit = num.split ( /\./ g ) ; let numberLength = numberSplit [ 0 ] .length ;  
         
         
  
      deje que la salida sea 0 ; deje que los dígitos sean = numberSplit.join ( "" ) ;   
         
  
      para ( sea i = 0 ; i < dígitos . length ; i ++ ) { salida += dígitos [ i ] * Math . pow ( Math . PI , numberLength - i - 1 ); }         
               
      
  
      devolver salida ; } 
  
  

La base √ 2 se comporta de una manera muy similar a la base 2, ya que todo lo que hay que hacer para convertir un número de binario a base √ 2 es poner un dígito cero entre cada dígito binario; por ejemplo, 1911 ₁₀ = 11101110111 ₂ se convierte en 101010001010100010101 _{√ 2} y 5118 ₁₀ = 1001111111110 ₂ se convierte en 100000101010101010101010100 _{√ 2} . Esto significa que cada número entero se puede expresar en base √ 2 sin la necesidad de un punto decimal. La base también se puede utilizar para mostrar la relación entre el lado de un cuadrado y su diagonal , ya que un cuadrado con una longitud de lado de 1 _{√ 2} tendrá una diagonal de 10 _{√ 2} y un cuadrado con una longitud de lado de 10 _{√ 2} tendrá una diagonal de 100 _{√ 2.} Otro uso de la base es mostrar la proporción de plata , ya que su representación en la base √ 2 es simplemente 11 _{√ 2.} Además, el área de un octágono regular con una longitud de lado de 1 _{√ 2} es 1100 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 10 _{√ 2} es 110000 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 100 _{√ 2} es 11000000 _{√ 2} , etc.

En la base áurea, algunos números tienen más de una base decimal equivalente: son ambiguos . Por ejemplo: 11 _φ = 100 _φ .

Hay algunos números en base ψ que también son ambiguos. Por ejemplo, 101 _ψ = 1000 _ψ .

Con base e, el logaritmo natural se comporta como el logaritmo común , ya que ln(1 _e ) = 0, ln(10 _e ) = 1, ln(100 _e ) = 2 y ln(1000 _e ) = 3.

La base e es la opción más económica de base β > 1, ^[4] donde la economía de base se mide como el producto de la base y la longitud de la cadena de símbolos necesarios para expresar un rango dado de valores.

La base π se puede utilizar para mostrar más fácilmente la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia , que corresponde a su perímetro ; como circunferencia = diámetro × π, un círculo con un diámetro 1 _π tendrá una circunferencia de 10 _π , un círculo con un diámetro 10 _π tendrá una circunferencia de 100 _π , etc. Además, como el área = π × radio ² , un círculo con un radio de 1 _π tendrá un área de 10 _π , un círculo con un radio de 10 _π tendrá un área de 1000 _π y un círculo con un radio de 100 _π tendrá un área de 100000 _π . ^[5]

En ningún sistema de numeración posicional se puede expresar cada número de forma única. Por ejemplo, en base diez, el número 1 tiene dos representaciones: 1,000... y 0,999... . El conjunto de números con dos representaciones diferentes es denso en los números reales, ^[6] pero la cuestión de clasificar los números reales con expansiones β únicas es considerablemente más sutil que la de las bases enteras. ^[7]

Otro problema es clasificar los números reales cuyas β -expansiones son periódicas. Sea β > 1, y Q ( β ) la extensión de campo más pequeña de los racionales que contienen a β . Entonces cualquier número real en [0,1) que tenga una β -expansión periódica debe estar en Q ( β ). Por otra parte, la inversa no tiene por qué ser cierta. La inversa sí se cumple si β es un número de Pisot , ^[8] aunque no se conocen las condiciones necesarias y suficientes.

• Codificador beta
• Sistemas de numeración posicional no estándar
• Expansión decimal
• Serie de potencias
• Numeración de Ostrowski

• Sidorov, Nikita (2003), "Dinámica aritmética", en Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y taller estadounidense-ucraniano sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21-30 de agosto de 2000 , Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 310, Cambridge: Cambridge University Press , pp. 145-189, ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl1051.37007 ​

• Weisstein, Eric W. "Base". MathWorld .