Numeración de Ostrowski

En matemáticas, la numeración de Ostrowski , llamada así en honor a Alexander Ostrowski , es uno de dos sistemas de numeración relacionados basados ​​en fracciones continuas : un sistema de numeración posicional no estándar para números enteros y una representación no entera de números reales .

Fijemos un número irracional positivo α con desarrollo fraccionario continuo [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...]. Sea ( q _n ) la secuencia de denominadores de los convergentes p _n / q _n a α: entonces q _n = a _n q _{n −1} + q _{n −2} . Sea α n _T n ⁽ α ) donde T es la función de Gauss T ( x ) = {1/ x }, y escribimos β _n = (−1) ^{n +1} α ₀ α ₁ ... α _n : tenemos β _n = a _n β _{n −1} + β _{n −2} .

Cada x real positivo puede escribirse como

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\ }$

donde los coeficientes enteros 0 ≤ b _n ≤ a _n y si b _n = a _n entonces b _{n −1} = 0.

Cada entero positivo N puede escribirse de forma única como

${\displaystyle N=\suma _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\ }$

donde los coeficientes enteros 0 ≤ b _n ≤ a _n y si b _n = a _n entonces b _{n −1} = 0.

Si α es la proporción áurea , entonces todos los cocientes parciales a _n son iguales a 1, los denominadores q _n son los números de Fibonacci y recuperamos el teorema de Zeckendorf sobre la representación de Fibonacci de los números enteros positivos como suma de números de Fibonacci distintos no consecutivos.

• Secuencia completa

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-82332-6.Zbl 1086.11015  ..
• Epifanio, C.; Frougny, C.; Gabriele, A.; Mignosi, F.; Shallit, J. (2012). "Gráficos de Sturm y representaciones de números enteros sobre sistemas de numeración". Matemáticas de aplicaciones discretas . 160 (4–5): 536–547. doi : 10.1016/j.dam.2011.10.029 . ISSN  0166-218X. Zbl  1237.68134.
• Ostrowski, Alejandro (1921). "Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen". Hamb. Abh. (en alemán). 1 : 77–98. JFM  48.0197.04.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-44141-7.Zbl 1014.11015  .