Complejo nervioso

En topología , el complejo nervioso de una familia de conjuntos es un complejo abstracto que registra el patrón de intersecciones entre los conjuntos de la familia. Fue introducido por Pavel Alexandrov ^{[ 1 ]} y actualmente cuenta con numerosas variantes y generalizaciones, entre ellas el nervio de Čech de una cubierta, que a su vez se generaliza mediante hipercubiertas . Captura muchas de las propiedades topológicas interesantes de forma algorítmica o combinatoria. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle I}$ser un conjunto de índices y${\displaystyle C}$ser una familia de conjuntos${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$. El nervio de${\displaystyle C}$es un conjunto de subconjuntos finitos del conjunto de índices${\displaystyle I}$Contiene todos los subconjuntos finitos.${\displaystyle J\subseteq I}$de tal manera que la intersección de la${\displaystyle U_{i}}$cuyos subíndices están en${\displaystyle J}$no está vacío: ^{[ 3 ] : 81}

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ conjunto finito}}{\bigg \}}.}$

En la definición original de Alexandrov, los conjuntos${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico${\displaystyle X}$.

El conjunto${\displaystyle N(C)}$puede contener singletons (elementos${\displaystyle i\in I}$de tal manera que${\displaystyle U_{i}}$no está vacío), pares (pares de elementos)${\displaystyle i,j\in I}$de tal manera que${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$), trillizos, y así sucesivamente. Si${\displaystyle J\in N(C)}$, entonces cualquier subconjunto de${\displaystyle J}$también está en${\displaystyle N(C)}$, haciendo${\displaystyle N(C)}$un complejo simplicial abstracto . Por lo tanto, N(C) a menudo se denomina complejo nervioso de${\displaystyle C}$.

1. Sea X el círculo${\displaystyle S^{1}}$y${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$, dónde${\displaystyle U_{1}}$es un arco que cubre la mitad superior de${\displaystyle S^{1}}$y${\displaystyle U_{2}}$es un arco que cubre su mitad inferior, con cierta superposición en ambos lados (deben superponerse en ambos lados para cubrir toda la${\displaystyle S^{1}}$). Entonces${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$, que es un 1-símplex abstracto.
2. Sea X el círculo${\displaystyle S^{1}}$y${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$, donde cada${\displaystyle U_{i}}$es un arco que cubre un tercio de${\displaystyle S^{1}}$, con cierta superposición con el adyacente${\displaystyle U_{i}}$. Entonces${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$. Tenga en cuenta que {1,2,3} no está en${\displaystyle N(C)}$puesto que la intersección común de los tres conjuntos es vacía; por lo tanto${\displaystyle N(C)}$es un triángulo sin rellenar.
3. Dejar${\displaystyle P}$sea ​​un conjunto finito de puntos en posición general (ningún par de puntos son cocirculares) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y dejar${\displaystyle C=\{V_{p}\}_{p\in P}}$sea ​​el conjunto de celdas del diagrama de Voronoi de${\displaystyle P}$Entonces el nervio${\displaystyle N(C)}$es la triangulación de Delaunay de${\displaystyle P}$. ^{[ 4 ]} Nótese que las celdas de Voronoi son conjuntos cerrados, por lo que se trata de un nervio de una cubierta cerrada en lugar de una abierta; sin embargo, la definición de nervio se aplica a familias de conjuntos arbitrarias.

Dado que se le dio una cobertura abierta${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$, o más generalmente una cubierta en un sitio , podemos considerar los productos de fibra por pares${\ Displaystyle U_ {ij} = U_ {i} \ times _ {X} U_ {j}}$, que en el caso de un espacio topológico son precisamente las intersecciones${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$. El conjunto de todas esas intersecciones puede denominarse${\displaystyle C\times _{X}C}$y las intersecciones triples como${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$.

Al considerar los mapas naturales${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$y${\ Displaystyle U_ {i} \ a U_ {ii}}$, podemos construir un objeto simplicial${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$definido por${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$, producto de fibra n-plegada. Este es el nervio Čech. ^{[ 5 ]}

Al tomar componentes conexas obtenemos un conjunto simplicial , que podemos realizar topológicamente:${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$.

El complejo nervioso${\displaystyle N(C)}$es un objeto combinatorio simple. A menudo, es mucho más simple que el espacio topológico subyacente (la unión de los conjuntos en${\displaystyle C}$). Por lo tanto, una pregunta natural es si la topología de${\displaystyle N(C)}$es equivalente a la topología de${\displaystyle \bigcup C}$.

En general, esto no tiene por qué ser así. Por ejemplo, se puede cubrir cualquier n -esfera con dos conjuntos contraíbles.${\displaystyle U_{1}}$y${\displaystyle U_{2}}$que tienen una intersección no vacía, como en el ejemplo 1 anterior. En este caso,${\displaystyle N(C)}$es un 1-símplex abstracto, que es similar a una línea pero no a una esfera.

Sin embargo, en algunos casos${\displaystyle N(C)}$refleja la topología de X. Por ejemplo, si un círculo está cubierto por tres arcos abiertos que se intersecan de dos en dos como en el Ejemplo 2 anterior, entonces${\displaystyle N(C)}$es un 2-símplex (sin su interior) y es homotópicamente equivalente al círculo original. ^{[ 6 ]}

Un teorema nervioso (o lema nervioso ) es un teorema que proporciona condiciones suficientes sobre C que garantizan que${\displaystyle N(C)}$refleja, en cierto sentido, la topología de${\displaystyle \bigcup C}$Un teorema nervioso functorial es un teorema nervioso que es functorial en un sentido apropiado, lo cual es crucial, por ejemplo, en el análisis topológico de datos . ^{[ 7 ]}