equilibrio de Nash

Un juego puede tener un equilibrio de Nash de estrategia pura o de estrategia mixta . En este último caso, no todos los jugadores emplean siempre la misma estrategia. En cambio, existe una distribución de probabilidad entre las diferentes estrategias.

Supongamos que, en el equilibrio de Nash, cada jugador se pregunta: "Conociendo las estrategias de los demás jugadores y considerándolas como algo inmutable, ¿sufriría una pérdida si cambiara mi estrategia?".

Si la respuesta de cada jugador es "Sí", entonces el equilibrio se clasifica como un equilibrio de Nash estricto . ^{[ 17 ]}

Si, en cambio, para algún jugador, existe una igualdad exacta entre la estrategia en equilibrio de Nash y alguna otra estrategia que da exactamente el mismo pago (es decir, al jugador le es indiferente cambiar y no hacerlo), entonces el equilibrio se clasifica como un equilibrio de Nash débil ^{[ nota 1 ]} o no estricto .

El equilibrio de Nash define la estabilidad solo en términos de desviaciones individuales de los jugadores. En juegos cooperativos, este concepto no es suficientemente convincente. El equilibrio de Nash fuerte permite desviaciones por parte de cualquier coalición imaginable. ^{[ 18 ]} Formalmente, un equilibrio de Nash fuerte es un equilibrio de Nash en el que ninguna coalición, tomando las acciones de sus complementos como dadas, puede desviarse cooperativamente de una manera que beneficie a todos sus miembros. ^{[ 19 ]} Sin embargo, el concepto de Nash fuerte a veces se percibe como demasiado "fuerte" en el sentido de que el entorno permite una comunicación privada ilimitada. De hecho, el equilibrio de Nash fuerte debe ser débilmente eficiente en el sentido de Pareto . Como resultado de estos requisitos, el Nash fuerte es demasiado raro para ser útil en muchas ramas de la teoría de juegos. Sin embargo, en juegos como las elecciones con muchos más jugadores que resultados posibles, puede ser más común que un equilibrio estable.

Un equilibrio de Nash refinado conocido como equilibrio de Nash a prueba de coaliciones (CPNE) ^{[ 18 ]} ocurre cuando los jugadores no pueden hacerlo mejor incluso si se les permite comunicarse y hacer un acuerdo "autoaplicable" para desviarse. Toda estrategia correlacionada respaldada por dominancia estricta iterada y en la frontera de Pareto es un CPNE. ^{[ 20 ]} Además, es posible que un juego tenga un equilibrio de Nash que sea resistente a coaliciones de tamaño menor a un tamaño especificado, k. El CPNE está relacionado con la teoría del núcleo .

En el modelo de Nash, el conjunto de estrategias disponibles para cada jugador es fijo y no depende de las estrategias de los demás jugadores. Un modelo más general permite que estos conjuntos dependan de las estrategias de los demás jugadores; esto se conoce como restricciones acopladas . ^{[ 22 ]} En el modelo de Nash, el conjunto de posibles perfiles de estrategia es un producto cartesiano de los conjuntos de estrategias de los jugadores, mientras que en el modelo más general puede ser un conjunto arbitrario. Cuando existen restricciones acopladas, el equilibrio se conoce como equilibrio de Nash generalizado (ENG) . ^{[ 22 ]}

Rosen ^{[ 23 ]} demostró que, si el conjunto de perfiles de estrategia es cualquier conjunto convexo , y la función de utilidad de cada jugador es continua en todas las estrategias y una función cóncava de la propia estrategia del jugador, entonces existe un GNE; véase juegos cóncavos .

Nash consideró juegos con un número finito de jugadores, en juegos no atómicos el conjunto de jugadores es infinito: hay un continuo de jugadores David Schmeidler ^{[ 24 ]} demostró que existe un equilibrio bajo ciertas condiciones.

El juego de coordinación es un clásico juego de dos jugadores y dos estrategias , como se muestra en la matriz de pagos de la derecha. Existen dos equilibrios de estrategia pura: (A,A), con una ganancia de 4 para cada jugador, y (B,B), con una ganancia de 2 para cada uno. La combinación (B,B) es un equilibrio de Nash, ya que si alguno de los jugadores cambia unilateralmente su estrategia de B a A, su ganancia disminuirá de 2 a 1.

Un ejemplo famoso de juego de coordinación es la caza del ciervo . Dos jugadores pueden elegir cazar un ciervo o un conejo; el ciervo proporciona más carne (4 unidades de utilidad, 2 para cada jugador) que el conejo (1 unidad de utilidad). La condición es que la caza del ciervo debe realizarse de forma cooperativa, por lo que si un jugador intenta cazar el ciervo mientras el otro caza el conejo, el cazador del ciervo fracasará por completo, obteniendo una recompensa de 0, mientras que el cazador del conejo tendrá éxito, obteniendo una recompensa de 1. El juego tiene dos equilibrios, (ciervo, ciervo) y (conejo, conejo), porque la estrategia óptima de un jugador depende de su expectativa sobre lo que hará el otro jugador. Si un cazador confía en que el otro cazará el ciervo, debería cazar el ciervo; sin embargo, si cree que el otro cazará el conejo, también cazará el conejo. Este juego se utiliza como analogía de la cooperación social, ya que gran parte del beneficio que obtienen las personas en sociedad depende de que cooperen y confíen implícitamente unas en otras para actuar de una manera que corresponda a la cooperación.

Conducir en sentido contrario a un coche que viene de frente, y tener que elegir entre desviarse a la izquierda o a la derecha, también es un juego de coordinación. Por ejemplo, con pagos de 10 que significan que no hay colisión y 0 que significa que sí la hay, el juego de coordinación se puede definir con la siguiente matriz de pagos:

En este caso, existen dos equilibrios de Nash de estrategia pura, cuando ambos eligen conducir hacia la izquierda o hacia la derecha. Si admitimos estrategias mixtas (donde se elige una estrategia pura al azar, sujeta a una probabilidad fija), entonces existen tres equilibrios de Nash para el mismo caso: dos que ya hemos visto en la forma de estrategia pura, donde las probabilidades son (0%, 100%) para el jugador uno y (0%, 100%) para el jugador dos; y (100%, 0%) para el jugador uno y (100%, 0%) para el jugador dos, respectivamente. Añadimos otro donde las probabilidades para cada jugador son (50%, 50%).

Una aplicación de los equilibrios de Nash es determinar el flujo de tráfico esperado en una red. Consideremos el gráfico de la derecha. Si suponemos que hay${\displaystyle x}$Si hay "coches" que viajan de A a D , ¿cuál es la distribución esperada del tráfico en la red?

Esta situación puede modelarse como un " juego ", donde cada viajero tiene la opción de elegir entre 3 estrategias y donde cada estrategia es una ruta de A a D (una de ABD , ABCD o ACD ). La "recompensa" de cada estrategia es el tiempo de viaje de cada ruta. En el gráfico de la derecha, un automóvil que viaja por ABD experimenta un tiempo de viaje de${\displaystyle 1+{\frac {x}{100}}+2}$, dónde${\displaystyle x}$es el número de coches que viajan por la arista AB . Por lo tanto, las recompensas para cualquier estrategia dada dependen de las elecciones de los demás jugadores, como es habitual. Sin embargo, el objetivo, en este caso, es minimizar el tiempo de viaje, no maximizarlo. El equilibrio se producirá cuando el tiempo en todos los caminos sea exactamente el mismo. Cuando eso sucede, ningún conductor tiene incentivo alguno para cambiar de ruta, ya que solo puede aumentar su tiempo de viaje. Para el gráfico de la derecha, si, por ejemplo, 100 coches viajan de A a D , entonces el equilibrio se producirá cuando 25 conductores viajen por ABD , 50 por ABCD y 25 por ACD . Cada conductor ahora tiene un tiempo de viaje total de 3,75 (para ver esto, un total de 75 coches toman la arista AB , y de igual manera, 75 coches toman la arista CD ).

Nótese que esta distribución no es, en realidad, socialmente óptima. Si los 100 coches acordaran que 50 viajan por ABD y los otros 50 por ACD , el tiempo de viaje para cualquier coche sería de 3,5, que es menor que 3,75. Este es también el equilibrio de Nash si se elimina la ruta entre B y C , lo que significa que añadir otra ruta posible puede disminuir la eficiencia del sistema, un fenómeno conocido como la paradoja de Braess .

Esto se puede ilustrar con un juego para dos jugadores en el que ambos eligen simultáneamente un número entero del 0 al 3 y cada uno gana el número menor en puntos. Además, si un jugador elige un número mayor que el otro, deberá ceder dos puntos.

Este juego tiene un equilibrio de Nash único en estrategia pura: ambos jugadores eligen 0 (resaltado en rojo claro). Cualquier otra estrategia puede mejorarse si un jugador cambia su número a uno menor que el del otro jugador. En la tabla adyacente, si el juego comienza en la casilla verde, al jugador 1 le conviene moverse a la casilla morada y al jugador 2 le conviene moverse a la casilla azul. Aunque no se ajustaría a la definición de un juego competitivo, si el juego se modifica de manera que los dos jugadores ganen la cantidad indicada si ambos eligen el mismo número, y en caso contrario no ganen nada, entonces existen 4 equilibrios de Nash: (0,0), (1,1), (2,2) y (3,3).

Existe una forma numérica sencilla de identificar equilibrios de Nash en una matriz de pagos. Resulta especialmente útil en juegos de dos personas donde los jugadores disponen de más de dos estrategias. En este caso, el análisis formal puede ser demasiado extenso. Esta regla no se aplica cuando se consideran estrategias mixtas (estocásticas). La regla es la siguiente: si el primer número de pago, en el par de pagos de la celda, es el máximo de la columna de la celda y el segundo número es el máximo de la fila , entonces la celda representa un equilibrio de Nash. 

Podemos aplicar esta regla a una matriz de 3×3:

Aplicando esta regla, podemos observar rápidamente (mucho más rápido que con un análisis formal) que las celdas de equilibrio de Nash son (B,A), (A,B) y (C,C). En efecto, para la celda (B,A), 40 es el máximo de la primera columna y 25 es el máximo de la segunda fila. Para (A,B), 25 es el máximo de la segunda columna y 40 es el máximo de la primera fila; lo mismo ocurre con la celda (C,C). Para las demás celdas, uno o ambos miembros del par no son el máximo de las filas y columnas correspondientes.

Dicho esto, la mecánica para encontrar celdas de equilibrio es evidente: se halla el máximo de una columna y se comprueba si el segundo elemento del par es el máximo de la fila. Si se cumplen estas condiciones, la celda representa un equilibrio de Nash. Se comprueban todas las columnas de esta forma para encontrar todas las celdas de equilibrio de Nash. Una matriz N×N puede contener entre 0 y N×N equilibrios de Nash de estrategia pura .

Ejemplos de problemas de teoría de juegos en los que no se cumplen estas condiciones:

1. La primera condición no se cumple si el juego no describe correctamente las cantidades que un jugador desea maximizar. En este caso, no hay ninguna razón particular para que dicho jugador adopte una estrategia de equilibrio. Por ejemplo, el dilema del prisionero no es un dilema si alguno de los jugadores está dispuesto a permanecer encarcelado indefinidamente.
2. Imperfección intencional o accidental en la ejecución. Por ejemplo, si una computadora con una lógica impecable se enfrenta a otra computadora igual de impecable, se alcanzará el equilibrio. La introducción de una imperfección provocará su ruptura, ya sea por la pérdida del jugador que comete el error o por la negación del criterio de conocimiento común , lo que podría conducir a la victoria del jugador. (Un ejemplo sería que un jugador, en el juego de la gallina , pusiera repentinamente el coche en reversa , asegurando así un escenario sin pérdida ni victoria).
3. En muchos casos, la tercera condición no se cumple porque, aunque el equilibrio debe existir, se desconoce debido a la complejidad del juego, por ejemplo en el ajedrez chino . ^{[ 25 ]} O, si se conoce, puede que no todos los jugadores lo conozcan, como cuando se juega al tres en raya con un niño pequeño que desea ganar desesperadamente (cumpliendo así los demás criterios).
4. El criterio del conocimiento común puede no cumplirse incluso si todos los jugadores cumplen, de hecho, con todos los demás criterios. Los jugadores que desconfían erróneamente de la racionalidad de los demás pueden adoptar contraestrategias ante el juego irracional que esperan de sus oponentes. Esta es una consideración importante en el juego de la gallina o en una carrera armamentística , por ejemplo.

En su tesis doctoral, John Nash propuso dos interpretaciones de su concepto de equilibrio, con el objetivo de mostrar cómo los puntos de equilibrio pueden estar relacionados con fenómenos observables.

(...) Una interpretación es racionalista: si asumimos que los jugadores son racionales, conocen la estructura completa del juego, el juego se juega solo una vez y hay un solo equilibrio de Nash, entonces los jugadores jugarán de acuerdo con ese equilibrio .

Esta idea fue formalizada por R. Aumann y A. Brandenburger, 1995, Epistemic Conditions for Nash Equilibrium , Econometrica, 63, 1161-1180, quienes interpretaron la estrategia mixta de cada jugador como una conjetura sobre el comportamiento de los demás jugadores y demostraron que si el juego y la racionalidad de los jugadores son mutuamente conocidos y estas conjeturas son comúnmente conocidas, entonces las conjeturas deben ser un equilibrio de Nash (en general, se necesita una suposición previa común para este resultado, pero no en el caso de dos jugadores. En este caso, las conjeturas solo necesitan ser mutuamente conocidas).

Una segunda interpretación, a la que Nash se refería como la interpretación de la acción de masas, es menos exigente para los jugadores:

No es necesario suponer que los participantes conocen a la perfección la estructura del juego, ni que poseen la capacidad y la disposición para realizar procesos de razonamiento complejos. Se asume que existe una población de participantes para cada posición del juego, la cual será desempeñada a lo largo del tiempo por participantes seleccionados al azar de las diferentes poblaciones. Si existe una frecuencia promedio estable con la que cada estrategia pura es empleada por el miembro promedio de la población correspondiente, entonces esta frecuencia promedio estable constituye un equilibrio de Nash de estrategias mixtas.

Para un resultado formal en esta línea, véase Kuhn, H. y otros, 1996, "The Work of John Nash in Game Theory", Journal of Economic Theory , 69, 153–185.

Debido a las limitadas condiciones en las que se pueden observar los equilibrios de Nash (EN), rara vez se utilizan como guía para el comportamiento cotidiano o se observan en la práctica en las negociaciones humanas. Sin embargo, como concepto teórico en economía y biología evolutiva , los EN tienen poder explicativo. La recompensa en economía es la utilidad (o a veces el dinero), y en biología evolutiva es la transmisión genética; ambas son fundamentales para la supervivencia. Los investigadores que aplican la teoría de juegos en estos campos afirman que las estrategias que no logran maximizar estos EN, por la razón que sea, serán excluidas del mercado o del entorno, al que se le atribuye la capacidad de probar todas las estrategias. Esta conclusión se deriva de la teoría de la " estabilidad " mencionada anteriormente. En estas situaciones, la suposición de que la estrategia observada es realmente un EN a menudo ha sido confirmada por la investigación. ^{[ 26 ]}

La demostración original de Nash (en su tesis) utilizó el teorema del punto fijo de Brouwer (véase, por ejemplo, una variante más adelante). Esta sección presenta una demostración más sencilla mediante el teorema del punto fijo de Kakutani , siguiendo el artículo de Nash de 1950 (él atribuye a David Gale la observación de que dicha simplificación es posible).

Para demostrar la existencia de un equilibrio de Nash, sea${\displaystyle r_{i}(\sigma _{-i})}$ser la mejor respuesta del jugador i a las estrategias de todos los demás jugadores. $${\displaystyle r_{i}(\sigma _{-i})=\mathop {\underset {\sigma _{i}}{\operatorname {arg\,max} }} u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})}$$

Aquí,${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$, dónde${\displaystyle \Sigma =\Sigma _{i}\times \Sigma _{-i}}$, es un perfil de estrategia mixta en el conjunto de todas las estrategias mixtas y${\displaystyle u_{i}}$es la función de pago para el jugador i. Defina una función con valores de conjunto.${\displaystyle r\colon \Sigma \rightarrow 2^{\Sigma }}$de tal manera que${\displaystyle r=r_{i}(\sigma _{-i})\times r_{-i}(\sigma _{i})}$La existencia de un equilibrio de Nash es equivalente a${\displaystyle r}$tener un punto fijo.

El teorema del punto fijo de Kakutani garantiza la existencia de un punto fijo si se cumplen las siguientes cuatro condiciones.

1. ${\displaystyle \Sigma }$es compacto, convexo y no vacío.
2. ${\displaystyle r(\sigma )}$no está vacío.
3. ${\displaystyle r(\sigma )}$es hemicontinuo superior
4. ${\displaystyle r(\sigma )}$es convexo.

La condición 1 se satisface por el hecho de que${\displaystyle \Sigma }$es un simplex y, por lo tanto, compacto. La convexidad se deriva de la capacidad de los jugadores para combinar estrategias.${\displaystyle \Sigma }$no está vacío mientras los jugadores tengan estrategias.

Las condiciones 2 y 3 se satisfacen mediante el teorema del máximo de Berge . Porque${\displaystyle u_{i}}$es continuo y compacto,${\displaystyle r(\sigma _{i})}$es no vacío y hemicontinuo superior .

La condición 4 se satisface como resultado de estrategias mixtas. Supongamos que${\displaystyle \sigma _{i},\sigma '_{i}\in r(\sigma _{-i})}$, entonces${\displaystyle \lambda \sigma _{i}+(1-\lambda )\sigma '_{i}\in r(\sigma _{-i})}$Es decir, si dos estrategias maximizan las ganancias, entonces una combinación de ambas estrategias producirá la misma ganancia.

Por lo tanto, existe un punto fijo en${\displaystyle r}$y un equilibrio de Nash. ^{[ 27 ]}

Cuando Nash le planteó este punto a John von Neumann en 1949, von Neumann lo desestimó con la famosa frase: «Eso es trivial, ¿sabes? Es solo un teorema de punto fijo ». (Véase Nasar, 1998, pág.  94).

Tenemos un juego${\displaystyle G=(N,A,u)}$dónde${\displaystyle N}$es el número de jugadores y${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{N}}$es el conjunto de acciones para los jugadores. Todos los conjuntos de acciones${\displaystyle A_{i}}$son finitos. Sea${\displaystyle \Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{N}}$denotamos el conjunto de estrategias mixtas para los jugadores. La finitud de la${\displaystyle A_{i}}$s garantiza la compacidad de${\displaystyle \Delta }$.

Ahora podemos definir las funciones de ganancia. Para una estrategia mixta${\displaystyle \sigma \in \Delta }$, dejamos que la ganancia sea para el jugador${\displaystyle i}$en acción${\displaystyle a\in A_{i}}$ser $${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)=\max\{0,u_{i}(a,\sigma _{-i})-u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})\}.}$$

La función de ganancia representa el beneficio que obtiene un jugador al cambiar unilateralmente su estrategia. Ahora definimos${\displaystyle g=(g_{1},\dotsc ,g_{N})}$dónde $${\displaystyle g_{i}(\sigma )(a)=\sigma _{i}(a)+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)}$$ para${\displaystyle \sigma \in \Delta ,a\in A_{i}}$. Vemos que $${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(a)=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}(a)+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)=1+\sum _{a\in A_{i}}{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)>0.}$$

A continuación definimos: $${\displaystyle {\begin{cases}f=(f_{1},\cdots ,f_{N}):\Delta \to \Delta \\f_{i}(\sigma )(a)={\frac {g_{i}(\sigma )(a)}{\sum _{b\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(b)}}&a\in A_{i}\end{cases}}}$$

Es fácil ver que cada${\displaystyle f_{i}}$es una estrategia mixta válida en${\displaystyle \Delta _{i}}$También es fácil comprobar que cada${\displaystyle f_{i}}$es una función continua de${\displaystyle \sigma }$y por lo tanto${\displaystyle f}$es una función continua. Como producto vectorial de un número finito de conjuntos convexos compactos,${\displaystyle \Delta }$También es compacto y convexo. Aplicando el teorema del punto fijo de Brouwer a${\displaystyle f}$y${\displaystyle \Delta }$concluimos que${\displaystyle f}$tiene un punto fijo en${\displaystyle \Delta }$llámalo${\displaystyle \sigma ^{*}}$Afirmamos que${\displaystyle \sigma ^{*}}$es un equilibrio de Nash en${\displaystyle G}$Para ello, basta con demostrar que $${\displaystyle \forall i\in \{1,\cdots ,N\},\forall a\in A_{i}:\quad {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0.}$$

Esto simplemente indica que ningún jugador obtiene beneficio alguno al cambiar unilateralmente su estrategia, lo cual es precisamente la condición necesaria para un equilibrio de Nash.

Ahora supongamos que las ganancias no son todas cero. Por lo tanto,${\displaystyle \exists i\in \{1,\cdots ,N\},}$y${\displaystyle a\in A_{i}}$de tal manera que${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$. Entonces $${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a)=1+\sum _{a\in A_{i}}{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>1.}$$

Así que deja $${\displaystyle C=\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a).}$$

También denotaremos${\displaystyle {\text{Gain}}(i,\cdot )}$como el vector de ganancia indexado por acciones en${\displaystyle A_{i}}$. Desde${\displaystyle \sigma ^{*}}$es el punto fijo que tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}=f(\sigma ^{*})&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}=f_{i}(\sigma ^{*})\\&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}={\frac {g_{i}(\sigma ^{*})}{\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*})(a)}}\\[6pt]&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}={\frac {1}{C}}\left(\sigma _{i}^{*}+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\right)\\[6pt]&\Rightarrow C\sigma _{i}^{*}=\sigma _{i}^{*}+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\\&\Rightarrow \left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}={\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\\&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}=\left({\frac {1}{C-1}}\right){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot ).\end{aligned}}}$$

Desde${\displaystyle C>1}$tenemos eso${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$es algún escalamiento positivo del vector${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )}$Ahora afirmamos que $${\displaystyle \forall a\in A_{i}:\quad \sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))=\sigma _{i}^{*}(a){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)}$$

Para ver esto, primero si${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$Entonces esto es cierto por definición de la función de ganancia. Ahora supongamos que${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$. Por nuestras declaraciones anteriores tenemos que $${\displaystyle \sigma _{i}^{*}(a)=\left({\frac {1}{C-1}}\right){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$$

y por lo tanto el término de la izquierda es cero, lo que nos da que toda la expresión es${\displaystyle 0}$según sea necesario.

Así que finalmente tenemos eso $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})\\&=\left(\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})\right)-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})\\&=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))\\&=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)&&{\text{ by the previous statements }}\\&=\sum _{a\in A_{i}}\left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}(a)^{2}>0\end{aligned}}}$$

donde la última desigualdad se deduce de${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$es un vector distinto de cero. Pero esto es una clara contradicción, por lo que todas las ganancias deben ser cero. Por lo tanto,${\displaystyle \sigma ^{*}}$es un equilibrio de Nash para${\displaystyle G}$según sea necesario.

En el juego de emparejar monedas, el jugador A pierde un punto ante B si A y B juegan la misma estrategia y gana un punto ante B si juegan estrategias diferentes. Para calcular el equilibrio de Nash de estrategia mixta, se asigna a A la probabilidad${\displaystyle p}$de jugar H y${\displaystyle (1-p)}$de jugar T, y asignar a B la probabilidad${\displaystyle q}$de jugar H y${\displaystyle (1-q)}$de jugar T.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing H}}]=(-1)q+(+1)(1-q)=1-2q,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing T}}]=(+1)q+(-1)(1-q)=2q-1,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing H}}]=\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing T}}]\implies 1-2q=2q-1\implies q={\frac {1}{2}}.\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing H}}]=(+1)p+(-1)(1-p)=2p-1,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing T}}]=(-1)p+(+1)(1-p)=1-2p,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing H}}]=\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing T}}]\implies 2p-1=1-2p\implies p={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, un equilibrio de Nash de estrategia mixta en este juego es que cada jugador elija aleatoriamente H o T con${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$y${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$.