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Cent (música)

Un centavo comparado con un semitono en un monocordio truncado . Las octavas aumentan exponencialmente cuando se miden en una escala de frecuencia lineal (Hz). Las octavas están...

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Un centavo comparado con un semitono en un monocordio truncado .
Las octavas aumentan exponencialmente cuando se miden en una escala de frecuencia lineal (Hz).
Las octavas están igualmente espaciadas cuando se miden en una escala logarítmica (cents).

El centésimo es una unidad de medida logarítmica que se utiliza para los intervalos musicales . El temperamento igual de doce tonos divide la octava en doce semitonos de cien centésimos cada uno. Normalmente, los centésimos se utilizan para expresar intervalos pequeños, comprobar la entonación o comparar la amplitud de intervalos similares en diferentes sistemas de afinación . Para el oído humano, un centésimo es demasiado pequeño para percibirse entre notas sucesivas.

Los cents, como los describe Alexander John Ellis , siguen una tradición de medir intervalos mediante logaritmos que comenzó con Juan Caramuel y Lobkowitz en el siglo XVII. [ a ] ​​Ellis optó por basar sus medidas en la centésima parte de un semitono,21200{\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}}, por sugerencia de Robert Holford Macdowell Bosanquet . Tras realizar extensas mediciones de instrumentos musicales de todo el mundo, Ellis utilizó cents para informar y comparar las escalas empleadas, [ 1 ] y describió y utilizó aún más el sistema en su edición de 1875 de Sobre las sensaciones del tono de Hermann von Helmholtz . Se ha convertido en el método estándar para representar y comparar tonos e intervalos musicales. [ 2 ] [ 3 ]

Historia

El artículo de Alexander John Ellis , « Sobre las escalas musicales de diversas naciones » [ 1 ] , publicado por el Journal of the Society of Arts en 1885, introdujo oficialmente el sistema de centésimas para ser utilizado en la exploración, mediante la comparación y el contraste, de las escalas musicales de diversas naciones. El sistema de centésimas ya había sido definido en su « Historia del tono musical» , donde Ellis escribe:

"Si suponemos que, entre cada par de notas adyacentes que forman un semitono igual [...], se interponen otras 99 notas que forman intervalos exactamente iguales entre sí, dividiríamos la octava en 1200 centésimas iguales [ sic ] de un semitono igual, o centésimas, como se las puede llamar brevemente." [ 4 ]

Ellis definió el tono de una nota musical en su obra de 1880, Historia del tono musical [ 5 ] , como

"el número de vibraciones dobles o completas, hacia adelante y hacia atrás, que realiza en cada segundo una partícula de aire mientras se escucha la nota". [ 6 ]

Más tarde definió la altura musical como «la altura, o V [de "vibraciones dobles"], de cualquier nota musical determinada que determina la altura de todas las demás notas en un sistema de afinación particular». [ 7 ] Señala que estas notas, cuando suenan sucesivamente, forman la escala del instrumento, y un intervalo entre dos notas cualesquiera se mide por «la razón entre el número de altura menor y el mayor, o por la fracción formada al dividir el mayor entre el menor». [ 8 ] Las alturas absolutas y relativas también se definieron en función de estas razones. [ 8 ]

Ellis señaló que

“El objetivo del afinador es lograr que el intervalo [...] entre dos notas cualesquiera que correspondan a dos teclas adyacentes en todo el instrumento sea exactamente el mismo. El resultado se denomina temperamento igual o afinación, y es el sistema que se utiliza actualmente en toda Europa.” [ 9 ]

Además, proporciona cálculos para aproximar la medida de una proporción en centavos, y agrega que

"Por regla general, no es necesario ir más allá del número entero de centavos más cercano." [ 10 ]

Ellis presenta en este artículo aplicaciones del sistema cent sobre escalas musicales de varias naciones, que incluyen: (I. Escalas heptatónicas) Antigua Grecia y Europa moderna, [ 11 ] Persia, Arabia, Siria y las Tierras Altas de Escocia, [ 12 ] India, [ 13 ] Singapur, [ 14 ] Birmania [ 15 ] y Siam,; [ 16 ] (II. Escalas pentatónicas) Pacífico Sur, [ 17 ] África Occidental, [ 18 ] Java, [ 19 ] China [ 20 ] y Japón. [ 21 ] Y llega a la conclusión de que

«La escala musical no es una, no es “natural”, ni siquiera se fundamenta necesariamente en las leyes de la constitución del sonido musical, tan bellamente elaboradas por Helmholtz, sino que es muy diversa, muy artificial y muy caprichosa». [ 22 ]

Usar

Comparación de intervalos de temperamento igual (negro) y pitagóricos (verde) que muestra la relación entre la razón de frecuencia y los valores de los intervalos, en cents.

Un cent es una unidad de medida para la relación entre dos frecuencias. Un semitono temperado (el intervalo entre dos teclas de piano adyacentes) abarca 100 cents por definición. Una octava —dos notas que tienen una relación de frecuencia de 2:1— abarca doce semitonos y, por lo tanto, 1200 cents. La relación de frecuencias separadas por un cent es precisamente igual a 2 1 ⁄ 1200 = 1200 √ 2 , la raíz 1200 de 2, que es aproximadamente1,000 577 7895 . Por lo tanto, aumentar una frecuencia en un centésimo equivale a multiplicar la frecuencia original por este valor constante. Aumentar una frecuencia en 1200 centésimos duplica la frecuencia, lo que resulta en su octava.

Si uno conoce las frecuenciasF1{\displaystyle f_{1}}yF2{\displaystyle f_{2}}de dos billetes, el número de centavosdo{\displaystyle c}midiendo el intervalo desdeF1{\displaystyle f_{1}}aF2{\displaystyle f_{2}}es:

do=1200⋅registro2⁡(F2F1){\displaystyle c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}

Asimismo, si uno sabeF1{\displaystyle f_{1}}y el número de centavosdo{\displaystyle c}en el intervalo desdeF1{\displaystyle f_{1}}aF2{\displaystyle f_{2}}, entoncesF2{\displaystyle f_{2}}es igual a:

F2=F1×2do1200.{\displaystyle f_{2}=f_{1}\times 2^{\frac {c}{1200}}\,.}

Comparación de la tercera mayor en el temperamento justo e igual

La tercera mayor en entonación justa tiene una relación de frecuencia de 5:4 o ~386  cents, pero en temperamento igual es de 400  cents. Esta  diferencia de 14 cents es aproximadamente un séptimo de semitono y lo suficientemente grande como para ser claramente audible, y notablemente disonante para los músicos formados en escalas mesotónicas para una interpretación fiel a la época.

aproximación lineal por tramos

A medida que x aumenta de 0 a 1/12 , la función 2x ​​aumenta casi linealmente desde1.000 00 a1,059 46 , lo que permite una aproximación lineal por partes . Por lo tanto, aunque los centavos representan una escala logarítmica, los intervalos pequeños (menos de 100  centavos) se pueden aproximar vagamente con la relación lineal 1  + 0,000 5946 do{\displaystyle c}en lugar de la verdadera relación exponencial 2 c ⁄ 1200 . El error redondeado es cero cuandodo{\displaystyle c}es 0 o 100, y es solo alrededor de 0,72  centavos de alto endo{\displaystyle c}= 50 (cuyo valor correcto es 2 1 ⁄ 24 ≅  1.029 30 se aproxima mediante 1  + 0,000 5946  ×  50  ≅  1,02973). Este error está muy por debajo de cualquier cosa audible para el ser humano, lo que hace que esta aproximación lineal por partes sea adecuada para la mayoría de los propósitos prácticos.

percepción humana

Las formas de onda de un unísono (azul) frente a un cent (rojo) son prácticamente indistinguibles.

Es difícil establecer cuántos cents son perceptibles para los humanos; esta precisión varía mucho de una persona a otra. Un autor afirmó que los humanos pueden distinguir una diferencia de tono de aproximadamente 5–6 cents. [ 23 ] El umbral de lo que es perceptible, técnicamente conocido como diferencia apenas perceptible (DAP), también varía en función de la frecuencia, la amplitud y el timbre . En un estudio, los cambios en la calidad del tono redujeron la capacidad de los estudiantes de música para reconocer, como desafinados, los tonos que se desviaban de sus valores apropiados en ±12 cents. [ 24 ] También se ha establecido que un mayor contexto tonal permite a los oyentes juzgar el tono con mayor precisión. [ 25 ] "Si bien los intervalos de menos de unos pocos cents son imperceptibles para el oído humano en un contexto melódico, en armonía, cambios muy pequeños pueden causar grandes cambios en los tiempos y la aspereza de los acordes." [ 26 ]

Al escuchar tonos con vibrato , hay evidencia de que los humanos perciben la frecuencia media como el centro del tono. [ 27 ] Un estudio de interpretaciones modernas del Ave María de Schubert encontró que el rango de vibrato típicamente oscilaba entre ±34 cents y ±123 cents con una media de ±71 cents y notó una mayor variación en las arias de ópera de Verdi . [ 28 ]

Los adultos normales pueden reconocer diferencias de tono de tan solo 25 cents con mucha fiabilidad. Sin embargo, los adultos con amusia tienen dificultades para reconocer diferencias de menos de 100 cents y, a veces, presentan problemas con estos intervalos o con intervalos mayores. [ 29 ]

Otras representaciones de intervalos mediante logaritmos

Octava

La representación de intervalos musicales mediante logaritmos es casi tan antigua como los logaritmos mismos. Lord Napier los inventó en 1614. [ 30 ] Ya en 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) describió en una carta a Athanasius Kircher el uso de logaritmos de base 2 en la música. [ 31 ] En esta base, la octava se representa con 1, el semitono con 1/12, etc.

Heptámeros

Joseph Sauveur , en sus Principes d'acoustique et de musique de 1701, propuso el uso de logaritmos en base 10, probablemente debido a la disponibilidad de tablas. Utilizó logaritmos calculados con tres decimales. El logaritmo en base 10 de 2 es aproximadamente igual a 0,301, que Sauveur multiplica por 1000 para obtener 301 unidades en la octava. Para trabajar con unidades más manejables, sugiere tomar 7/301 para obtener unidades de 1/43 de octava. [ b ] La octava se divide, por lo tanto, en 43 partes, llamadas "mérides", que a su vez se dividen en 7 partes, las "heptamerides". Sauveur también imaginó la posibilidad de dividir cada heptameride en 10, pero en realidad no utiliza tales unidades microscópicas. [ 32 ]

Prony

A principios del siglo XIX, Gaspard de Prony propuso una unidad de base logarítmica.212{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}donde la unidad corresponde a un semitono en temperamento igual. [ 33 ] Alexander John Ellis en 1880 describe un gran número de estándares de tono que anotó o calculó, indicando en pronys con dos decimales, es decir, con una precisión de 1/100 de semitono, [ 34 ] el intervalo que los separaba de un tono teórico de 370  Hz, tomado como punto de referencia. [ 35 ]

Centones

Un centítono (también Iring ) es un intervalo musical (2 1 ⁄ 600 ,2600{\displaystyle {\sqrt[{600}]{2}}}) igual a dos centavos (2 2 ⁄ 1200 ) [ 36 ] [ 37 ] propuesto como unidad de medida (Jugarⓘ ) por Widogast Iring enDie reine Stimmung in der Musik(1898) como 600 pasos poroctavay más tarde porJoseph YasserenA Theory of Evolving Tonality(1932) como 100 pasos portono entero.

Iring observó que el Grad/Werckmeister (1,96 cents, 12 por coma pitagórica ) y el schisma (1,95 cents) son casi iguales (≈ 614 pasos por octava) y ambos pueden aproximarse mediante 600 pasos por octava (2 cents). [ 38 ] Yasser promovió el decitone , el centitone y el millitone (10, 100 y 1000 pasos por tono entero = 60, 600 y 6000 pasos por octava = 20, 2 y 0,2 cents). [ 39 ] [ 40 ]

Por ejemplo: Quinta perfecta temperada igual = 700 cents = 175,6 savarts = 583,3 milioctavas = 350 centitones. [ 41 ]

Savart

El savart [ 42 ] fue propuesto por Auguste Guillemin en 1902, [ 43 ] nombrado en honor a Félix Savart (1791-1841), quien, sin embargo, nunca había considerado la posibilidad de medir intervalos mediante logaritmos. La atribución al propio Savart apareció posteriormente en varias fuentes anglosajonas. [ 44 ] [ 45 ]

Guillemin definió por primera vez el savart como el logaritmo decimal mismo, siendo 1 savart el logaritmo de la década (10/1), y el milisavart como el logaritmo en base 10 multiplicado por 1000. Posteriormente, se tomó este último como el propio savart. [ 46 ]

El savart se ha descrito sin limitar el número de decimales, por lo que el valor de su unidad varía según las fuentes. Con cinco decimales, el logaritmo en base 10 de 2 es 0,30103, lo que da 301,03 savarts en la octava. [ 47 ] Este valor suele redondearse a 1/301 o a 1/300 de octava. [ 48 ] [ 49 ]

Archivos de sonido

Los siguientes archivos de audio reproducen distintos intervalos. En cada caso, la primera nota que se reproduce es el do central. La siguiente nota es más aguda que el do, según el valor asignado en centésimas de tono. Finalmente, ambas notas se reproducen simultáneamente.

Tenga en cuenta que el umbral de discriminación de tono (JND) es de 5 a 6 centésimas de tono. Si se tocan por separado, las notas pueden no presentar una diferencia audible, pero al tocarlas simultáneamente, se puede escuchar un pulso (por ejemplo, si se toca el do central y una nota 10 centésimas más alta). En cualquier instante, las dos ondas se refuerzan o se cancelan mutuamente en mayor o menor medida, según su relación de fase instantánea . Un afinador de pianos puede verificar la precisión de la afinación midiendo el tiempo de los pulsos cuando se tocan dos cuerdas a la vez.

Toca el do central y 1 centésimo más arribaⓘ , frecuencia de batido = 0,16HzToca el Do central y 10,06 centavos más arriba.ⓘ , frecuencia de batido = 1,53 Hz Toca el do central y 25 centavos más arriba.ⓘ , frecuencia de batido = 3,81 Hz

Véase también

Referencias

Notas a pie de página

  1. ↑ Caramuel mencionó el posible uso de logaritmos binarios para la música en una carta a Athanasius Kircher en 1647; este uso a menudo se atribuye a Leonhard Euler en 1739 (véase Logaritmo binario ). Isaac Newton describió logaritmos musicales usando el semitono ( 12 √ 2 ) como base en 1665; Gaspard de Prony hizo lo mismo en 1832. Joseph Sauveur en 1701, y Félix Savart en la primera mitad del siglo XIX, dividieron la octava en 301 o 301,03 unidades. Véase Barbieri 1987 , pp. 145–168 y también la ley de eponimia de Stigler .
  2. ↑ 301 solo se puede dividir por 7 o por 43.

Citas

  1. 1 2 Ellis 1885 , págs. 485-527.
  2. ↑ Benson 2007 , p. 166: El sistema más empleado en la literatura moderna.
  3. ↑ Renold 2004 , pág. 138.
  4. ↑ Ellis 1880 , pág. 295.
  5. ↑ Ellis 1880 , págs. 293-336.
  6. ↑ Ellis 1880 , págs. 293-294.
  7. ↑ Ellis 1880 , pág. 294.
  8. 1 2 Ellis 1885 , pág. 487.
  9. ↑ Ellis 1885 , pág. 491.
  10. ↑ Ellis 1885 , pág. 488.
  11. ↑ Ellis 1885 , págs. 491-492.
  12. ↑ Ellis 1885 , págs. 492-500.
  13. ↑ Ellis 1885 , págs. 500-505.
  14. ↑ Ellis 1885 , págs. 505-506.
  15. ↑ Ellis 1885 , pág. 506.
  16. ↑ Ellis 1885 , págs. 506-507.
  17. ↑ Ellis 1885 , pág. 507.
  18. ↑ Ellis 1885 , págs. 507-508.
  19. ↑ Ellis 1885 , págs. 508-514.
  20. ↑ Ellis 1885 , págs. 514-520.
  21. ↑ Ellis 1885 , págs. 520-525.
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  23. ↑ Loeffler 2006 .
  24. ^ Geringer y Worthy 1999 , págs .
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  33. ↑ Gaspard de Prony, Instrucción élémentaire sur les moyens de calculer les intervaloles musicaux , París, 1832. En línea:.
  34. ↑ La precisión es la misma que con los centavos, pero Ellis aún no había ideado esta unidad.
  35. ↑ Alexander John Ellis, "Sobre la historia del tono musical", Journal of the Society of Arts , 1880, reimpreso en Studies in the History of Musical Pitch , Frits Knuf, Ámsterdam, 1968, págs. 11-62.
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Fuentes

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