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modelo lineal general

El modelo lineal general o modelo de regresión multivariante general es una forma compacta de escribir simultáneamente varios modelos de regresión lineal múltiple . En ese senti...

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El modelo lineal general o modelo de regresión multivariante general es una forma compacta de escribir simultáneamente varios modelos de regresión lineal múltiple . En ese sentido, no es un modelo lineal estadístico separado . Los diversos modelos de regresión lineal múltiple se pueden escribir de forma compacta como [ 1 ].

Y=incógnitaB+U,{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}

donde Y es una matriz con series de mediciones multivariadas (cada columna es un conjunto de mediciones de una de las variables dependientes ), X es una matriz de observaciones de variables independientes que podría ser una matriz de diseño (cada columna es un conjunto de observaciones de una de las variables independientes), B es una matriz que contiene parámetros que generalmente se estiman y U es una matriz que contiene errores (ruido). Generalmente se supone que los errores no están correlacionados entre las mediciones y siguen una distribución normal multivariada . Si los errores no siguen una distribución normal multivariada, se pueden usar modelos lineales generalizados para flexibilizar los supuestos sobre Y y U.

El modelo lineal general (GLM) abarca varios modelos estadísticos, incluyendo ANOVA , ANCOVA , MANOVA , MANCOVA y regresión lineal ordinaria . Dentro de este marco, se pueden aplicar tanto la prueba t como la prueba F. El modelo lineal general es una generalización de la regresión lineal múltiple al caso de más de una variable dependiente. Si Y , B y U fueran vectores columna , la ecuación matricial anterior representaría una regresión lineal múltiple.

Las pruebas de hipótesis con el modelo lineal general se pueden realizar de dos maneras: multivariante o mediante varias pruebas univariantes independientes. En las pruebas multivariantes , las columnas de Y se analizan conjuntamente, mientras que en las pruebas univariantes se analizan de forma independiente, es decir, mediante múltiples pruebas univariantes con la misma matriz de diseño.

Comparación con la regresión lineal múltiple

La regresión lineal múltiple es una generalización de la regresión lineal simple al caso de más de una variable independiente, y un caso especial de los modelos lineales generales, restringido a una variable dependiente. El modelo básico para la regresión lineal múltiple es

Yi=β0+β1incógnitai1+β2incógnitai2+…+βpagincógnitaipag+ϵi{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}}o de forma más compactaYi=β0+∑k=1pagβkincógnitaik+ϵi{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{k}X_{ik}}+\epsilon _{i}}

para cada observación i = 1, ... , n .

En la fórmula anterior, consideramos n observaciones de una variable dependiente y p variables independientes. Así, Y i es la i -ésima observación de la variable dependiente, X ik es la i -ésima observación de la k -ésima variable independiente, k = 1, 2, ..., p . Los valores βk representan parámetros a estimar, y ε i es el i- ésimo error normal independiente idénticamente distribuido.

En la regresión lineal multivariante más general, existe una ecuación de la forma anterior para cada una de las m > 1 variables dependientes que comparten el mismo conjunto de variables explicativas y, por lo tanto, se estiman simultáneamente entre sí:

Yij=β0j+β1jincógnitai1+β2jincógnitai2+…+βpagjincógnitaipag+ϵij{\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}}o de forma más compactaYij=β0j+∑k=1pagβkjincógnitaik+ϵij{\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{kj}X_{ik}}+\epsilon _{ij}}

para todas las observaciones indexadas como i = 1, ... , n y para todas las variables dependientes indexadas como j = 1 , ... , m .

Cabe señalar que, dado que cada variable dependiente tiene su propio conjunto de parámetros de regresión que deben ajustarse, desde un punto de vista computacional la regresión multivariante general es simplemente una secuencia de regresiones lineales múltiples estándar que utilizan las mismas variables explicativas.

Comparación con el modelo lineal generalizado

El modelo lineal general y el modelo lineal generalizado (GLM) [ 2 ] [ 3 ] son ​​dos familias de métodos estadísticos comúnmente utilizados para relacionar una serie de predictores continuos y/o categóricos con una única variable de resultado .

La principal diferencia entre ambos enfoques radica en que el modelo lineal general asume estrictamente que los residuos seguirán una distribución condicionalmente normal [ 4 ] , mientras que el modelo lineal general flexibiliza esta suposición y permite una variedad de otras distribuciones de la familia exponencial para los residuos [ 2 ] . El modelo lineal general es un caso especial del modelo lineal general en el que la distribución de los residuos sigue una distribución condicionalmente normal.

La distribución de los residuos depende en gran medida del tipo y la distribución de la variable de resultado; los distintos tipos de variables de resultado dan lugar a la variedad de modelos dentro de la familia GLM. Los modelos comúnmente utilizados en la familia GLM incluyen la regresión logística binaria [ 5 ] para resultados binarios o dicotómicos, la regresión de Poisson [ 6 ] para resultados de recuento y la regresión lineal para resultados continuos con distribución normal. Esto significa que se puede hablar de GLM como una familia general de modelos estadísticos o como modelos específicos para tipos de resultados concretos.

Aplicaciones

Una aplicación del modelo lineal general aparece en el análisis de múltiples escáneres cerebrales en experimentos científicos donde Y contiene datos de escáneres cerebrales, X contiene variables de diseño experimental y factores de confusión. Generalmente se prueba de forma univariada (generalmente denominada univariada masiva en este contexto) y a menudo se la conoce como mapeo paramétrico estadístico . [ 12 ]

Véase también

Notas

  1. ^ Mardia, KV ; Kent, JT; Bibby, JM (1979). Análisis multivariante . Academic Press . ISBN 0-12-471252-5.
  2. ^ a b McCullagh, P. ; Nelder, JA (1 de enero de 1983). «Un resumen de los modelos lineales generalizados». Modelos lineales generalizados . Springer US. págs.  21–47 . doi : 10.1007/978-1-4899-3242-6_2 (inactivo el 12 de julio de 2025). ISBN 9780412317606.{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)
  3. ^ Fox, J. (2015). Análisis de regresión aplicada y modelos lineales generalizados . Sage Publications.
  4. ^ Cohen, J.; Cohen, P.; West, SG; Aiken, LS (2003). Análisis de regresión/correlación múltiple aplicado a las ciencias del comportamiento (Informe).
  5. ^ Hosmer Jr, DW, Lemeshow, S., & Sturdivant, RX (2013). Regresión logística aplicada (Vol. 398). John Wiley & Sons.
  6. ^ Gardner, W.; Mulvey, EP; Shaw, EC (1995). "Análisis de regresión de recuentos y tasas: modelos de Poisson, Poisson sobredisperso y binomial negativo". Psychological Bulletin . 118 (3): 392– 404. doi : 10.1037/0033-2909.118.3.392 . PMID 7501743 . 
  7. ^ McCullagh, Peter ; Nelder, John (1989). Modelos lineales generalizados (2.ª ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0-412-31760-6.
  8. ^ LinearModelFit , Centro de documentación del lenguaje Wolfram.
  9. ^ GeneralizedLinearModelFit , Centro de documentación del lenguaje Wolfram.
  10. ^ ls , Ayuda de EViews.
  11. ^ glm , Ayuda de EViews.
  12. ^ Friston, KJ; Holmes, AP; Worsley, KJ; Poline, J.-B.; Frith, CD; Frackowiak, RSJ (1995). "Mapas paramétricos estadísticos en imágenes funcionales: un enfoque lineal general". Human Brain Mapping . 2 (4): 189– 210. doi : 10.1002/hbm.460020402 . S2CID 9898609 . 

Referencias

  • Christensen, Ronald (2020). Respuestas planas a preguntas complejas: La teoría de los modelos lineales (5.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-3-030-32096-6.
  • Wichura, Michael J. (2006). El enfoque sin coordenadas para modelos lineales . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6MR  2283455 .​
  • Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A., eds. (1998). Análisis de regresión aplicada . Springer Texts in Statistics. doi : 10.1007/b98890 . ISBN 0-387-98454-2.
  • Modelos lineales generales: una guía práctica para la toma de decisiones basada en datos.
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