Análisis multivariado de covarianza

El análisis multivariado de covarianza ( MANCOVA ) es una extensión de los métodos de análisis de covarianza ( ANCOVA ) para abarcar casos donde hay más de una variable dependiente y donde se requiere el control de variables independientes continuas concomitantes ( covariables ). El beneficio más destacado del diseño MANCOVA sobre el MANOVA simple es la eliminación del ruido o error introducido por la covariable. ^{[ 1 ]} Una versión multivariada comúnmente utilizada del estadístico F de ANOVA es la Lambda de Wilks (Λ), que representa la razón entre la varianza (o covarianza) del error y la varianza (o covarianza) del efecto. ^{[ 1 ]}

De forma similar a todas las pruebas de la familia ANOVA , el objetivo principal de la MANCOVA es probar diferencias significativas entre las medias de los grupos. ^{[ 1 ]} El proceso de caracterizar una covariable en una fuente de datos permite reducir la magnitud del término de error, representado en el diseño de la MANCOVA como _error MS . Posteriormente, el Lambda de Wilks general será mayor y más probable que se caracterice como significativo. ^{[ 1 ]} Esto otorga al investigador mayor poder estadístico para detectar diferencias dentro de los datos. El aspecto multivariado de la MANCOVA permite caracterizar las diferencias en las medias de los grupos con respecto a una combinación lineal de múltiples variables dependientes, mientras se controlan simultáneamente las covariables.

Ejemplo de situación en la que MANCOVA es apropiado: Supongamos que un científico está interesado en probar dos nuevos fármacos para evaluar sus efectos sobre las puntuaciones de depresión y ansiedad. Supongamos también que el científico dispone de información sobre la respuesta general a los fármacos en cada paciente; tener en cuenta esta covariable otorgará a la prueba una mayor sensibilidad para determinar los efectos de cada fármaco sobre ambas variables dependientes.

Para que el MANCOVA se utilice adecuadamente, deben cumplirse ciertos supuestos:

1. Normalidad : Para cada grupo, cada variable dependiente debe representar una distribución normal de puntuaciones. Además, cualquier combinación lineal de variables dependientes debe tener una distribución normal. La transformación o eliminación de valores atípicos puede ayudar a garantizar que se cumpla este supuesto. ^{[ 2 ]} La violación de este supuesto puede conducir a un aumento en las tasas de error de tipo I. ^{[ 3 ]}
2. Independencia de las observaciones : Cada observación debe ser independiente de todas las demás; este supuesto se puede cumplir empleando técnicas de muestreo aleatorio . La violación de este supuesto puede conducir a un aumento en las tasas de error de tipo I. ^{[ 3 ]}
3. Homogeneidad de varianzas : Cada variable dependiente debe presentar niveles de varianza similares con respecto a cada variable independiente. La violación de este supuesto puede conceptualizarse como una correlación existente entre las varianzas y las medias de las variables dependientes. Esta violación se denomina a menudo « heterocedasticidad » ^{[ 4 ]} y puede comprobarse mediante la prueba de Levene ^{[ 5 ]} .
4. Homogeneidad de las covarianzas : La matriz de intercorrelación entre las variables dependientes debe ser igual en todos los niveles de la variable independiente. La violación de este supuesto puede conducir a un aumento en las tasas de error de tipo I, así como a una disminución de la potencia estadística . ^{[ 3 ]}

Inspirado en ANOVA , MANOVA se basa en una generalización de la suma de cuadrados explicada por el modelo.${\displaystyle S_{\text{modelo}}}$y el inverso de la suma de cuadrados no explicada por el modelo${\displaystyle S_{\text{res}}^{-1}}$. Las estadísticas más comunes ^{[ 6 ] [ 7 ]} son ​​resúmenes basados ​​en las raíces (o valores propios )${\textstyle \lambda _{p}}$de la matriz${\textstyle A:=S_{\text{modelo}}S_{\text{res}}^{-1}}$.

• Samuel Stanley Wilks${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$distribuido como lambda (Λ)
• el rastro de KC Sreedharan Pillai – MS Bartlett ,${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• el rastro Lawley– Hotelling ,${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• La raíz más grande de Roy (también llamada la raíz más grande de Roy ),${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

En estadística, una covariable representa una fuente de variación que no se ha controlado en el experimento y se cree que afecta a la variable dependiente. ^{[ 8 ]} El objetivo de técnicas como ANCOVA es eliminar los efectos de dicha variación no controlada, para aumentar la potencia estadística y garantizar una medición precisa de la verdadera relación entre las variables independientes y dependientes. ^{[ 8 ]}

Un ejemplo lo proporciona el análisis de la tendencia del nivel del mar realizado por Woodworth (1987). ^{[ 9 ]} En este caso, la variable dependiente (y la de mayor interés) era el nivel medio anual del mar en una ubicación determinada para la cual se disponía de una serie de valores anuales. La variable independiente principal era el "tiempo". Se utilizó una "covariable" que consistía en los valores anuales de la presión atmosférica media anual al nivel del mar. Los resultados mostraron que la inclusión de la covariable permitió obtener mejores estimaciones de la tendencia en función del tiempo, en comparación con los análisis que la omitieron.

• Análisis de función discriminante
• ANCOVA
• MANOVA